阻尼最速落徑問題和約束與運動定理的聯系

丁光濤

(安徽師范大學物理與電子信息學院,蕪湖 241000)

1 引 言

變分法在數學、力學、物理學和工程科學中扮演著重要的角色,在分析力學的新進展中變分原理仍是熱點課題[1?5].最早提出的變分命題就是最速落徑問題,設重力場中不在同一鉛垂線上兩點,質點從上一點沿一光滑曲線自由滑動到下一點,確定下滑時間最短的曲線問題就是最速落徑問題,這是一種最簡單的變分問題.近年來有相當多的對阻尼系統的研究,主要涉及積分和Lagrange力學逆問題[6?10],本文將阻尼運動的研究拓展到最速落徑變分問題.為此,我們從兩個方向拓展最速落徑問題:一是質點從始點以某一初速度開始下滑,而不是從靜止自由下滑情況;二是阻尼媒質中的最速落徑問題[3],給出了這個問題的求解方法.在討論這兩個拓展問題時,指出了約束條件與系統的運動定理以及守恒定律之間的關聯,這實質上是一種新的構成約束的機理,并且得到如下結論,即微分形式運動定理的可積和不可積與這種約束的完整和非完整相對應.

2 初速度不為零的最速落徑問題

2.1 自由下滑的最速落徑問題

質點沿鉛垂平面內光滑曲線y=y(x),從A開始自由下滑到不在同一鉛垂線上的B點,取x軸為水平軸,y軸鉛垂向下,質點經過P(x,y)點速度為v,則該過程經歷的時間為

式中y′=dy/dx.變量y和v之間存在關系可以根據動能定理確定

設在A點y=0,v=0,質點質量為m.直接積分(2)式得到

代入(1)式得到

這就是最速落徑問題的泛函,它的極小值對應的曲線就是最速落徑––旋輪線.

2.2 初速度為v0的最速落徑問題

設質點開始下滑的速度不為零,即在A點y=0,v=v0,則積分式(2)得到

這表明變量y和v之間關系與初始條件相關.與(5)式對應的泛函(4)變換為引入簡單的變量變換這個問題就變換成自由下滑的最速落徑問題.

3 阻尼媒質中的最速落徑問題

由于質點在阻尼媒質中運動,故質點所受主動力除了重力外,還有阻尼力mR(v),其大小是速度的函數,方向與速度相反.這里仍然討論從A點自由下滑,方程(1)成立,但是聯系v和y的動能定理方程(2)應當改寫成

式中

(7)式與(2)式的重要區別在于(7)式不能直接積分.將y和v看作x的函數,由(7)式對x求微商得到

式中v′=dv/dx,y和v之間的關系由上述微分方程表示.

(3)和(5)式由(2)式直接積分導出,并且利用初始條件式確定了積分常數,這兩個方程都相當于變量y和v之間的一個完整約束,因此可以在泛函中消去變量v.(9)式也來自于動能定理(7),可以看作y和v之間的一個非完整約束條件,因此,阻尼最速落徑問題就是帶有非完整約束條件的變分問題,這種問題可以引入不定乘子來求解.

引入不定乘子λ,則從(1)和(9)式導出如下泛函:

對應的Lagrange函數為

L?中不顯含y和x,故由此得到一個循環積分

和一個Jacobi積分

從上述兩個積分可以導出新的積分

解(14)式,可以得到λ和v之間的函數關系

由Lagrange函數(11),可以導出對應于變量v的運動方程

從(12)和(13)式可以得到

由(12)和(16)式可以導出

從(17)和(18)式導出

將(15)式λ=λ(v)代人(19)式后,積分得到以 v為參數的阻尼最速落徑參數方程

積分常數由端點條件

確定.

4 約束與運動定理相聯系的意義

經典力學中約束是重要的概念,尤其在分析力學中可以說是奠基性的概念,然而在涉及約束特別是非完整約束的一些基本問題時仍然存在分歧和爭議,文獻[9]及其中收錄的大量參考文獻,充分反映了我國力學界從上個世紀80年代末以來,在這個領域里的爭鳴、討論和取得的多方面進展.但是,傳統的對約束的研究更多地集中在約束的數學層面上,例如,約束方程、Pfaff約束的可積性、微分約束的幾何性質以及變分微分的交換性等問題上,然而,約束不是單純的數學問題,而是綜合的力學物理學問題,80年代以來的討論說明僅僅在數學層面上研究約束是不夠的,應當重視約束力的分析,重視約束條件的實現方式以及約束的力學和物理本質的研究.關于第一積分作為非完整約束的研究[10],實際上已經把約束和系統的動力學規律聯系起來,本文在一定意義上是上述研究過程的繼續,得到的結論表明有些系統的約束條件,并不是來自具體機構的限制,不是來自控制機理的調節,不是來自特殊類型力的作用,而是正常系統力學運動規律的表現;不僅一些系統的某些運動積分可以看作約束,而且直接從運動定理就能夠構成約束,特別是微分形式的運動定理是否能夠直接積分分別對應著完整和非完整約束,顯然,這是一種新型的約束.

5 結 論

1)本文討論了經典最速落徑問題的兩種拓展問題:一是下滑初速不為零的最速落徑問題,指出通過簡單的坐標變換,這種問題就轉化為自由下滑的最速落徑問題;二是受到阻尼力作用的最速落徑問題,我們完善了文獻[3]中求解該問題的步驟和方法.

2)在討論最速落徑問題的過程中,發現這也是一種約束條件下的變分問題.在相關泛函被積式中所出現的力學變量之間存在的約束條件,實質上是運動定理的表現,其中有些可以直接積分而成為有限形式,甚至就是守恒定律,對應的守恒量數值由初始條件確定;有些不能直接積分,保持著微分或微商形式.這些變量之間的動力學關系構成了系統變量之間的約束條件,其中傳統的最速落徑問題中,可以直接積分成為有限形式,是完整約束;而阻尼最速落徑問題中不能積分成為有限形式,是非完整約束.

3)阻尼最速落徑問題中出現的約束是一種新型的約束,這種系統內在的約束條件,源于系統力學運動規律,文獻[11]指出“當應用基本原理推導系統運動微分方程時,約束本身的性質有極大影響. ······因此,必須研究和區分約束的類型.” “按約束的實現可分為被動約束與主動約束.被動約束是靠接觸或摩擦被動地實現的.主動約束是靠輔助能源主動地實現的,如伺服約束.”然而,本文指出的約束不同于上述主動和被動約束.這種新型的約束對系統運動形式,以及選取研究系統運動的方法有什么影響;以及在力學和物理學層面上約束本質的多樣性,與非完整力學中處理非完整約束的多種模型之間,是否存在相關性,存在什么樣的相關性等問題都值得進一步深入研究.

[1]Courant R,Hilbert D(translated by Qian M,Guo D R)1958 Methods of Mathematical Physics Vol.I(Beijing:Science Press)pp129–135(in Chinese)[柯朗 R, 希伯爾特D著(錢敏郭敦仁譯)1958數學物理方法卷I(北京:科學出版社)第129—135頁]

[2]Goldstein H,Poole C,Safko J 2005 Classical Mechanics(3rd Ed.)(Beijing:Higher Education Press)

[3]Smirnov V E(translated by Chen C Z)1958 Textbook of Higher Mathematics Vol.IV-I(Beijing:People Education Press)pp232–234(in Chinese)[斯米爾諾夫 V E 著(陳傳璋譯)1958高等數學教程第四卷第一分冊(北京:人民教育出版社)第232—234頁]

[4]Zhang H B,Chen L Q,Liu R W 2005 Chin.Phys.B 14 1063

[5]Zhang H B,Chen L Q,Gu S L,Liu C Z 2007 Chin.Phys.16 582

[6]Musielak Z E 2008 J.Phys.A:Math.Their.41 055205

[7]Cieslinski J L,Nikiciuk T 2010 J.Phys.A:Math.Their.43 175205

[8]Ding G T 2011 Acta Phys.Sin.60 044503(in Chinese)[丁光濤 2011物理學報 60 044503]

[9]Ding G T 2012 Acta Phys.Sin.61 020204(in Chinese)[丁光濤 2012物理學報 61 020204]

[10]Ding G T 2013 Acta Phys.Sin.62 064501(in Chinese)[丁光濤 2013物理學報 62 064501]

[11]Luo S K,Zhang Y F 2008 Advances in the Study of Dynamics of Constrained Systems(Beijing:Science Press)(in Chinese)[羅紹凱,張永發2008約束系統動力學研究進展(北京:科學出版社)]