永久性最低提取利益保證變額年金的公平保證費用定價

李秀芳,孫 芳,焦永剛

（南開大學，天津 300000)

一、研究背景

2011年5月，《關于發展變額年金保險試點的通知》和《變額年金保險管理暫行辦法》頒布，同年6月-7月，兩家首批變額年金試點公司工銀安盛人壽（原金盛人壽）和中美聯泰大都會人壽分別推出“保得贏”和“步步穩贏”的變額年金產品。2012年3月，華泰人壽推出“吉年保利”變額年金產品。2013年5月，中美聯泰大都會人壽公布的變額年金單位價格顯示，穩贏利益投資賬戶賣出價較去年同期增長1.5-2個百分點（數據來源：21財經聚合搜索）。工銀安盛人壽的和諧投資賬戶賣出價較去年同期增長約0.5個百分點。但是，變額年金同時是一款風險較大的產品，在金融危機中易受到較大沖擊，其風險成為首要考慮的問題。

關于具有最低收益保證變額年金的定價問題吸引了很多國內外學者。早在1977年，Boyle和Schwartz等人將金融中的布萊克-斯科爾頓模型利用到了年金的定價問題。 Milevsky、Posner（2001）用風險中性理論對最低身故利益保證（Guaranteed Minimum Death Benefit，GMDB）進行了定價。Mudavanhu、Zhou（2002）在 GMDB 定價模型中考慮了死亡率、失效率以及退保因素。國內變額年金保險市場發展還處于初級階段，關于變額年金領域的研究和文獻較少。李冰清、廖樸（2012）研究了變額年金業務的風險問題。劉迪（2011）研究了具有最低提取利益保證變額年金的定價，但是沒有考慮保單持有人在保險期限內的生存和死亡概率，不符合實際。李方方（2012）在常利率和波動率下考慮了最低提取利益保證的重置條款、獎勵條款、懲罰條款加入了定價模型。

2003年，在美國市場上出現的一種新型的GMWB產品，即永久性有最低提取保證的變額年金（Guaranteed Lifelong Withdrawal Benefits，GLWB）。該產品保證保單持有人每年可以領取最低給付保證額度的年金直至死亡，每年取款額有限制，而總取款額無限制。提供GLWB的變額年金保險產品除了風險較高之外，可以有效地降低投保人的長壽風險，一定程度上非常符合當前消費者需求，如今已經逐漸占領了美國變額年金保險市場，但是相關的定價研究較少。Gabriella Piscopo（2009）研究了在固定利率和固定波動率下GLWB的定價。本文在已有的研究基礎上，對永久性最低領取利益保證變額年金產品進行定價研究，改進Gabriella Piscopo（2009）定價模型中常利率和常數波動率的弊端，運用Regime-Switching模型進行數值模擬，考慮經濟狀態轉變對保證費用的影響，得出更公平、更符合實際的定價，為國內保險公司設計開發此類產品提供一些建議和理論指導。

二、變額年金的定價

假設年齡為的人初始時刻以躉繳一筆保費購買變額年金產品，保單持有人每年可以領取最低提取保證額度的年金。

1、資產模型與假設

假設市場是無套利市場，持續交易，忽略交易費用,允許賣空，無稅收。在風險中性概率空間中（W，Ft｛｝，Q），Q為風險中性測度。記St表示t時刻保單持有人變額年金賬戶中未提取任何費用前的資產價值，在風險中性測度Q下滿足如下隨機微分方程：

變額年金賬戶提供兩種支出：保險公司最低給付保證的費用（為賬戶余額的一定比例，記為a）和保單持有人在時刻的提取款gt。因此考慮上述兩種支出后，投保人變額年金賬戶可描述為：

Wt表示t時刻變額年金賬戶余額。（1）式在t＜t0時成立，其中t0表示Wt第一次達到0時的時刻。若t＜t0，則Wt=0。在有最低給付保證的變額年金產品中，若t＞t0，即Wt=0時，投保人每年可以獲得最低給付保證 G。提取款 gt在 t＜t0時，原則上可以?。?，Wt］的任意值，但是若時gt＞G，保險公司收取額外的保險費用，目的是不鼓勵投保人過早提取完年金。

我們進一步假設死亡事件與金融事件為不相關事件。Tx令表示年齡為x歲的人的剩余壽命，tPx表示x歲的人在t年后仍然生存的概率，即tPx=P（Tx＞t），t=0,1,L,n-x。 進一步，我們用tPx表示x歲的人在接下來t年內死亡的概率，特別地對t=1，我們簡單地用qx表示x歲的人在一年內死亡的概率，即qx=P（Tx＜t）。因此，對于x歲的人在t年后的一年內死亡的概率表示為tpxqx+t，即tpxqx+t=P（t＜Tx＜t+1）。

2、GLWB公平保證費用定價

上述的投資動態模型與Chen和Forsyth（2008）、Gerber和 Shiu （2003）等人的定價模型一致。追隨前面的保險文獻，我們假設存在一風險中性測度，在此風險測度下支付流可以用風險中性計算公式定價為期望貼現值，而這種風險中性測度的存在意味著市場為無套利的。我們討論在靜態決策下GLWB的公平保證費用定價問題。假設投保人以最低保證額度領取年金，即gt=G。在靜態決策下（1）式表示為：

其中對于 t3t0，Wt=0

GLWB允許投保人在生存時每年領取最低給付保證的年金，死亡時將賬戶余額全部返還。因此保單持有人既享有生存利益又享有死亡價值。V0令表示GLWB在t=0時的貼現價值，則V0應為保單持有人生存時的領取的總年金期望貼現值與其死亡時年金賬戶余額期望貼現值之和，即V0=LB0+DB0（其中LB0表示保單持有人生存時的領取的總年金貼現值，DB0表示保單持有人死亡時能夠遺留下的遺產貼現值）。

其中n為保單持有人可能活的最大年齡。下面計算DB0。因為永久性最低給付保證變額年金承諾在保單持有人死亡時若賬戶余額不為空，則賬戶余額全部返還。假設保單持有人在時間t=T時死亡，則保險公司返還給保單持有人指定的遺產繼承人的金額應為 Max（WT，0），即：

DBT=Max（WT，0）

通過 Karatzas和 Shreve（1992），可推導出：

為了化簡上式，引入測度Qs，利用測度變換從Q 到 Qs，

Xt在新測度下的表達式為：

因此，我們考慮（4）和（5）中的關于死亡時間和WT兩種期望得到：

由（3）和（6），我們得到：

由公平原則，得：

由上述方程可得到公平保證費用a。

顯然，若保單持有人考慮動態策略，即不再以最低保證額度領取年金，則保險公司收取的費用應大于上述的費用a。

三、運用Regime-Switching模型對GLWB定價的模擬分析

下面我們利用Regime-Switching模型模擬變額年金的定價，并進行相關敏感分析。

假設表示時刻的金融市場的虛擬狀態變量，且隨機過程是Markov過程，且是一個半鞅。和分別表示市場狀態為時的市場利率與波動率，且假設Xt表示t時刻的金融市場的虛擬狀態變量，且隨機過程｛X（t）:t≥ ｝0 是Markov過程，且是一個半鞅。rXt和σXt分別表示市場狀態為Xt時的市場利率與波動率，且

其中r1、r2和 σ1、σ2均為常數， 而且我們知道，在經濟狀態較好時市場利率大波動率小，經濟狀態差時正好相反，因此又有內在關系：r1≥r2、σ1≤σ2。根據劉迪（2011），假設經濟狀態轉變時間間隔Δ＝1/12，馬氏鏈的轉移矩陣為：表示投保人的保證收益率。 根據 Gabriella、Piscopo（2012），保證收益率取g=0.05（美國變額年金市場投保人的保證收益率）。假設初始經濟狀態為X0=e1，則公平保證費用對利率和波動率的敏感性分析，如下表所示：

四、模擬分析

首先，假設保險公司設計的GLWB產品的銷售對象是60歲的男性，令g=G w0

表1 公平保證費用對利率和波動率的敏感性分析

其中0.064為2009年的保險公司行業收益率，0.0339為2012年的保險公司行業收益率,0.049為兩者的平均值。

由表1可以看出，當不變，增加50%時，公平保證費用減少86%。當不變，增加50%時，公平保證費用減少41%。因此，保證費隨著利率的增加而減少，其中對公平保證費用的影響幅度更大。因此，為了獲得充足保證費用、降低風險，保險公司對未來經濟狀態的變化需正確評估，采取合理的利率水平。同時，公平保證費用隨著波動率的增加而增加，其中的影響更為顯著。當保單持有人選擇高風險資產投資時，變額年金賬戶余額不足，風險會增加，保險公司必須通過增加保費來保證最低利益的給付。

公平保證費用對Regime-switching模型的敏感性分析如表2所示：

表2 Regime-switching模型的敏感性分析

從組合B與組合A的對比中可以發現：若采用Regime-switching考慮經濟狀態對利率的影響，考慮經濟狀態有向好的狀態發展的可能，則公平保證費用由225降為93。采用Regime-switching考慮經濟狀態對利率和波動率的影響，則組合A與組合C的比較發現，不考慮經濟狀態向發展的可能，公平保證費用提高1.52倍。因此，考慮經濟狀態的轉變對公平保證費用的影響，則保單持有人可享受經濟狀態好轉帶來的收益，繳納的保證費用更加公平。由上表，可以看出經濟狀態轉變對公平保證費用有較大影響。因此，保險公司在對GLWB產品進行定價時，要考慮經濟變化帶來的風險，正確評估所處的經濟狀態以及未來經濟發展的趨勢，得到更為公平的保證費用。

表3 不同取款率下對投保人初始年齡的敏感性分析

上表顯示，若投保人初始領取年金年齡較低，則為了避免繳納過高的保證費用，最低保證取款率不應過高。死亡率隨著年齡的變化有著顯著的變化，由于GLWB產品的領取時期較長，GLWB產品的公平保證費用對投保人初始領取年金年齡很敏感。表3顯示，在取款率相等的情況下，保證費用隨著投保人初始領取年金年齡的增加而減少。因此，為了降低費用，建議投保人推遲初始領取年金的年齡。若65歲以后開始領取年金，由于費用低廉，可以適當選擇提高取款率，從而獲得好的生活品質。因此，可建議保單持有人在6歲以后開始領取年金。

綜上，年齡和死亡率對GLWB產品的公平保證費用影響嚴重。長壽風險對GLWB產品產生較大影響，保險公司在設計產品時避免死亡率預測失誤，及時更新生命表，嚴格限制投保人初始領取年金的年齡，必要時需尋找合適的再保險來轉移風險。

五、結論

隨著人均壽命的增加和通貨膨脹的加劇，長壽風險帶來的影響越來越受到人們的關注，對于消費者來說，購買永久性年金可以有效地降低長壽風險。GLWB產品既可以轉移長壽風險，還可以享受投資帶來的收益，滿足消費者的需求。本文對該類產品進行定價研究，改進了Gabriella Piscopo（2009）的定價模型，在模型中考慮經濟狀態的轉變對公平保證費用的影響。對結果分析發現，利率和波動率等市場相關量的變動對GLWB產品的保證費用影響很大，因此，為了獲得充足保證費用，保險公司要謹慎的對利率和波動率進行假設，采取合理的利率和波動率。對Regime-switching模型的敏感性分析得出，經濟狀態的變化給GLWB產品的保證費用有影響。保險公司為了降低經濟狀態轉變帶來的風險，在定價時需考慮經濟狀態變化，從而獲得更為充足，公平的費用。同時，取款率和投保人領取年金的初始年齡對公平保證費用也有重大影響，尤其是年齡和死亡率對GLWB產品的公平保證費用影響嚴重。

綜上，保險公司在設計GLWB產品時，尤其要考慮市場風險、長壽風險對保證費用的影響，采取合理的風險對沖方法，有效降低風險。

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