傳送帶問題的歸納與分析

(江蘇省如東縣豐利中學，江蘇 如東 226408)

傳送帶類問題很容易與科學、生產和生活實際相聯系，所涉及的知識點較多,如受力分析、牛頓運動定律、運動學規律、動能定理和能量的轉化和守恒等，對學生的分析和綜合能力要求很高，學生普遍對這類問題感到困難.希望通過對下面幾類典型問題的分析，能對傳送帶問題的教學有所幫助.

1 水平傳送帶

(1)物塊的初速度為零

例1 如圖1所示，一平直的傳送帶以速度v=2m/s做勻速運動，傳送帶把A處的小物塊運送到B處，A、B相距L=10m.從A處把小物塊無初速地放到傳送帶上，經過時間t=6s能傳送到B處.欲用最短的時間把小物塊從A處傳送到B處，小物塊可視為質點.求傳送帶的運行速度至少多大？

圖1

解析：把小物塊無初速地放到傳送帶上，小物塊在傳送帶施加的滑動摩擦力作用下，開始做勻加速運動，小物塊的速度不斷增加.若小物塊在達到傳送帶另一端時速度小于或等于傳送帶速度，物塊在傳送帶上一直做是勻加速運動；若小物塊在達到傳送帶另一端前速度已等于傳送帶速度，此后，物塊不受摩擦力，則物塊在傳送帶上先做勻加速運動，然后做勻速運動.

圖2

在加速度仍為a、位移一定的情況下，要回答小物塊以什么方式運動時間最短，借助如圖2所示的v—t圖象可以證明：當物塊做勻加速運動的時間最短.

(2)物塊的初速度不為零

例2 質量為m的物塊從傳送帶的左端以初速度v0水平進入長為L的靜止的傳送帶，最后物塊落在水平地面的Q點，如圖3所示.已知傳送帶的上表面距地面高h，物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ，則當傳送帶轉動時，物塊仍以初速度v0滑上傳送帶，則小物塊的各種可能運動形式有哪些?最落在Q點的左邊還是右邊?

圖3

解析：設傳送帶靜止時物塊滑到右端的速度為vt，物塊從右端滑出后做平拋運動，當傳送帶轉動時，要判斷物塊落在Q點的左邊還是右邊，其實就是要判斷物塊到達傳送帶右端時速度大于vt、小于vt、還是等于vt.

當傳送帶逆時針方向轉動時，物塊的運動情況與傳送帶靜止時相同，滑出傳送帶后做平拋運動仍落在Q點.

當傳送帶順時針轉動時，可能出現五種情況：

①當傳送帶的速度v1≤vt時，物塊相對傳送帶向右運動，物塊一直做勻減速運動，離開傳送帶時的速度為vt，因而仍將落在Q點.

②當傳送帶的速度vtvt，因而將落在Q點的右邊.

③當傳送帶的速度v3=v0時，物塊以速度v0與傳送帶一起做勻速運動，離開傳送帶時的速度大小是v0>vt，故將落在Q點右側.

本題既考查考生的基礎知識，又考查考生的推理能力、分析綜合能力，是培養學生探究習慣和提高學生探究能力的一道好題.

(3)物塊做往復運動

圖4

(1)物塊到達曲面底端B處時的速度大小；

(2)物塊在斜面上運動離C點的最遠距離；

(3)物塊的最終運動形式及其在斜面上運動的總路程.

(2)物塊由A到B加速運動，B到C和C到D均做勻減速運動，根據動能定理有mg(H-xsin30°)-μ1mgL-μ2mgxcos30°=0，解得x=1m.

即恰好到達C處.說明物塊不可能再次沖上斜面，物塊在傳送帶的滑動摩擦力作用下向B加速運動，然后沖上曲面再滑下，再次滑上傳送帶減速運動恰好到達C處.最終物塊從曲面上某處到C間往復運動.所以物塊在斜面上運動的總路程s=2x=2m.

本題物塊的運動過程比較多，要正確解題，除了要分析物塊受的摩擦力方向及物塊的運動形式外，還要注意解題方法的選取，物塊在傳送帶和斜面上運動時，也可以用牛頓運動定律和運動學規律處理，但過程比較復雜，容易出錯，而用動能定理解題比較簡單.

2 傾斜傳送帶

(1)沿傳送帶向下運動

圖5

例4 如圖5所示，傳送帶與水平面夾角為37°，并以v=10m/s運行，在傳送帶的A端輕輕放一個小物塊，物塊與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.5，AB長16米，小物塊可視為質點，取g=10m/s2.求：以下兩種情況下物塊從A到B所用的時間.

(1)傳送帶順時針方向轉動；

(2)傳送帶逆時針方向轉動.

圖6

解析：(1)傳送帶順時針方向轉動時，物塊受力如圖6所示，物塊沿傳送帶向下做勻加速運動.根據牛頓第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma，解得a=gsinθ-μgcosθ=2m/s2.

傳送帶順時針方向轉動時，物塊從A到B所用的時間為4s.

圖7

(2)傳送帶逆時針方向轉動物體受力如圖7所示，開始物塊相對傳送帶向上運動，物塊受摩擦力方向向下，向下做勻加速運動.根據牛頓第二定律有mgsinθ+μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2.

經1s后，物塊速度達到10m/s，由于動摩擦因數μ=0.5

所以傳送帶逆時針方向轉動時，物塊從A到B所用的時間為t=t1+t2=2s.

處理這類問題的關鍵是受力分析和運動分析，特別是對摩擦力的分析,是解題的突破口.

(2)隨傳送帶向上運動

圖8

例5 如圖8所示，與水平面成θ角的傳送帶在電動機的帶動下以恒定速率v向上運動，現將質量為m的小物塊(視為質點)輕輕地放在A處，最后到達B處.小物塊到達B處時恰好達到傳送帶的速率v，AB的高度差為h，重力加速度為g.在小物塊從A到B的過程中，求：

(1)傳送帶對小物塊做的功及系統產生的熱量；

(2)電動機由于傳送物塊多消耗的電能.

設傳送帶對小物塊的滑動摩擦力為f，A到B的距離為x，則W=fx.

3 平斜交接的傳送帶

例6 一傳送帶裝置示意如圖9所示，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為圓弧形(圓弧由光滑模板形成，未畫出)，經過CD區域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切.現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h.穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L.每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動.已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N.這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動,不計輪軸處的摩擦.求電動機的平均輸出功率P.

解析：以地面為參考系(下同)，設傳送帶的運動速度為v0，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，設這段路程為s，所用時間為t，加速度為a，則對小箱有：

圖9

在這段時間內，傳送帶運動的路程為：

s0=v0t，由以上可得：s0=2s.

可見，在小箱加速運動過程中，小箱獲得的動能與發熱量相等.

已知相鄰兩小箱的距離為L，所以v0T=NL.

本題的關鍵是運動狀態分析和能量分析,這對學生分析解決問題的能力是一個挑戰.