談談動態平衡中那些不變的力

(南京市第二十九中學，江蘇 南京 210036)

共點力平衡問題是高考的熱點，尤其是動態平衡問題.所謂“動態”即有力在變，所謂“平衡”即在變化的整個過程中物體受到的所有力的合力為零，這樣的狀態我們也稱為準靜態.也就是無限接近靜止狀態，其實可以當成靜止來處理.動態平衡問題通常會出現“緩慢”、“慢慢”、“逐漸”等典型的表述，抓住這些字眼然后結合題意進一步分析.我們發現在共點力動態平衡問題中，有這么一類題，條件在發生變化，物體也在緩慢移動.從表面看在動，其實各力的大小和方向都保持不變.這樣的題有什么樣的特征，用到哪些知識，應該如何分析，就讓我們一起來探討吧.

1 問題的由來

通過下面的例題，我們希望找到這類題所遵循的共同規律，達到做一題會一類的效果.

例1 如圖1所示，晾曬衣服的繩子兩端分別固定在兩根豎直桿上的A、B兩點，繩子的質量及繩與衣架掛鉤間摩擦均忽略不計，衣服處于靜止狀態．如果保持繩子A端在桿上位置不變且繩長也不變，將B端在桿上分別移動到不同的位置．下列判斷正確的是( ).

圖1

A．B端移到B1位置時，繩子張力不變

B．B端移到B2位置時，繩子張力變小

C．繩對掛鉤的彈力變小

D．繩對掛鉤的彈力不變

圖2

分析：對掛鉤進行受力分析，如圖2所示，受豎直向下的拉力FT(大小等于衣服的重力G)、沿繩的拉力FT1和FT2.由于是光滑的掛鉤掛在繩子上，而同一根繩子上的拉力相等，即FT1=FT2.又因為衣服處于靜止狀態，FT1和FT2的合力與FT等大反向.所以FT1和FT2的合力方向豎直向上，那么繩OA和OB與豎直方向的夾角相等都為θ.且有2FT1cosθ=mg.

圖3

設繩子的長度為L，兩桿間的距離為d，那么延長AO交另一桿于D點，如圖3所示，由幾何關系易得OB等于OD，那么AD就等于繩長L.所以sinθ=d/L.那么在保證A點不動的情況下將B點移動到B1或B2，繩長不發生變化，即θ不變，所以繩中拉力不變.移動后的圖形如圖4所示.答案為A、D.

圖4

通過上面的分析我們發現，無論B點在桿上怎么移動，只要保證L和d不變，那么θ角就不變，兩力的夾角不變，兩力的合力也不變，那么這兩個力必然不變.

2 問題的探究

當然，我們不必滿足于B點在桿上移動的情況，其實掌握上面的規律，B點無論移動到哪里我們都可以很快的給出答案，不妨來看下面例題.

圖5

例2 如圖5所示，晾曬衣服的繩子輕且光滑，懸掛衣服的衣架的掛鉤也是光滑的，輕繩兩端分別固定在兩根豎直桿上的A、B兩點，衣服處于靜止狀態．如果保持繩子A端位置不變，將B端分別移動到不同的位置．下列判斷正確的是( ).

A．B端移到B1位置時，繩子張力變大

B．B端移到B2位置時，繩子張力變小

C．B端在桿上位置不動，將桿移動到虛線位置時，繩子張力變大

D．B端在桿上位置不動，將桿移動到虛線位置時，繩子張力變小

分析：在上題的基礎上，在桿上移動B點不改變θ角，很快判斷A和B都是錯的.將桿移動到圖中虛線位置，那么d變小，而L不變，則根據sinθ=d/L得θ角變小.再根據力的合成規律，兩個大小相等的力保持合力不變，減小兩個力的夾角，那么這兩個力都變小.可以判斷D正確.

圖6

這讓我們想到兩個小孩提一桶水，怎樣提最省力.無論兩小孩手臂之間的夾角多大，水的總重力是一定的，即兩個小孩對水的拉力的合力是個定值，所以在夾角變小時拉力變小.可以從圖示中直觀的得出這個結論，如圖6所示，在對角線不變的情況下，兩臨邊夾角越小，這兩個邊越小，即分力越小.

例3 在上海世博會最佳實踐區，江蘇城市案例館中穹形門窗充滿了濃郁的地域風情和人文特色．如圖7所示，在豎直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸長的輕繩通過輕質光滑滑輪懸掛一重物G．現將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近(C點與A點等高)．則繩中拉力大小變化的情況是( ).

A．先變小后變大

B．先變小后不變

C．先變大后不變

D．先變大后變小

分析：當繩子的右端從B點移動到支架右側圓心等高處的過程中，繩子和豎直方向的夾角θ在不斷變大，所以繩中的拉力也隨之增大.再往下移到C點的過程中，θ角不變，所以繩中拉力不發生變化.所以繩中拉力大小變化的情況是先變大后不變．故選C.

掌握了這其中的規律，知道繩子端點的移動導致的繩子和豎直方向的夾角變化情況，豎直移動夾角不變，水平靠近夾角變小，水平遠離夾角變大.再根據力的合成的知識，在合力不變的情況下，兩等大的分力的大小隨夾角的變大而變大、變小而變小.這樣一來，做這類題就覺得很輕松了.

圖8

例4 如圖8甲所示，將一條輕而柔軟的細繩一端拴在天花板上的A點，另一端拴在豎直墻上的B點，A和B到O點的距離相等，繩的長度是OA的兩倍．圖8乙所示為一質量可忽略的動滑輪K，動滑輪下端懸掛一質量為m的重物．一切摩擦可忽略．

(1)現將動滑輪和重物一起掛到細繩上，在達到平衡時，繩所受的拉力是多大？

(2)保持A點固定不動，將B點逐漸上移至O點，繩子的拉力如何變化？

(3)保持A點固定不動，將B點逐漸上移至C點，繩子的拉力如何變化？

圖9

分析：(1)畫出動滑輪和物體達到平衡時的受力圖(如圖9)．由于滑輪是掛到繩上的，AB仍為一條繩，因此繩各處的張力大小相等．

(2)保持A點固定不動，將B點逐漸上移至O點，兩繩與豎直方向的夾角不變，所以繩子拉力不變.

3 問題的一般意義

要能夠真正掌握這類題的規律，還得學會去分析問題最本質的東西.不能膚淺的認為水平移動θ角就變化.最本質的是力的合成的知識和共點力平衡的條件.

例5 如圖10所示，A、B兩物體的質量分別為mA、mB，且mA>mB，整個系統處于靜止狀態.滑輪的質量和一切摩擦均不計，如果繩一端由Q點緩慢地向左移到P點，整個系統重新平衡后，物體A的高度和兩滑輪間繩與水平方向的夾角θ的變化情況是( ).

圖10

A．物體A的高度升高

B．物體A的高度降低

C．θ角不變

D．θ角變小

分析：由于Q點在緩慢移動，所以系統始終處于平衡狀態.對A分析可知，繩中的拉力FT大小始終為mAg.對B分析，由力的平衡可得2Fsinθ=mBg，故θ角不變.又因懸點由Q移動到P，左側部分繩子變長，如圖11所示，故A應升高.所以A、C正確.

圖11

這道題看上去懸點在水平移動，但和前面的題是不同的.通過對A的分析可知繩中的拉力始終不變，這樣就可以從力不變推知夾角不變，和前面的由夾角不變推知力不變剛好相反.題目是千變萬化的，但所考察的知識和規律是相對固定的，只有掌握了其中的解題方法才能以不變應萬變.

參考文獻：

蔣亞林 .力學動態平衡問題解法指導 . 中學物理, 2014,32(1) .

吳含章 .力學動態平衡問題的解法類析 .新高考：高一物理，2013，(5) .