數列易錯點分析

林明霞

數列內容是高考重點內容，然而在解答數列題時，總是會在一些細節處丟分，現列舉如下，引以為戒.

易錯點1：運用公式“a =S -S ”不當致誤

例1：數列{a }前n項和s 且a =1，a = s ，求數列{a }的通項公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故數列{a }從第二項開始為等比數列

故a =1（n=1） ？搖 （n≥2）.

【誤區】此題在應用s 與a 的關系時誤認為a =s -s 對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證.易得出數列{a }為等比數列的錯誤結論.

易錯點2：運用等比數列求和公式時忽視公比的限制條件致誤

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：當x=0時S=1；當x=1時S=n+1；當x≠1時S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【誤區】忽視等比數列公比q≠0的前提條件直接按等比數列求和，然后利用等比數列求和時忽視對公比q=1和q≠1的討論.

易錯點3：忽視等差數列的公差的限制條件致誤

例3：在公差為d的等差數列{a }中，已知a ，a ，a 成等比數列.已知數列{a }前10項和為45，求數列{a }的通項公式.

解析：由題意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

當d=0時10a =45，則a = ，∴a = .

當9d=a 時，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易錯點4：由遞推公式證明數列是等比數列或等差數列時定義運用不當

例4：已知數列{a }中首項a =1，當n為奇數時a =2a ，當n為偶數時，a =a +1，求a ，a 并證明數列{a +1}是等比數列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

當n≥2時a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比數列.

【誤區1】求a ，a 代錯遞推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的錯誤結論.

【誤區2】錯誤利用定義證明 為定值，導致證明無法進行下去.為了預防證明目標不明的現象，只需設b =a +1，然后利用定義證明 =2（n≥2）即可.

易錯點5：忽視參數的值致誤

例5：已知等差數列前n項和S =n +3n+p，則S =？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，則a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【誤區】忽視等差數列前n項和特征，直接代入公式出錯.類似的還有等比數列前n項和S =a-3 時應有a=1.

易錯點6：忽視特殊項致誤

例6：已知等差數列{a }的通項公式a =5n-75，則前n項和S 取得最小值時的正整數n是？搖？搖？搖？搖.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15時前n項和最小.

【誤區】該數列是首項為負，公差為正的單調遞增數列，因此認為前面的所有負值項之和最小，忽視了負值項與正值項之間的零值項導致出錯.

易錯點7：數列最值意義不清致誤

例7：已知數列{a }滿足a =33，a -a =2n，則 的最小值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上為增函數，在（0， ]上為減函數，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【誤區】忽視了n為正整數，直接利用基本不等式求最值導致結論出錯.實際上研究數列的最值時，往往借助函數的思想利用導數研究數列的單調性解決.也可以利用數列的單調性的判斷方法：設b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n為正整數，所以n≤6，即{b }當1≤n≤6單調遞減，當n≥7時單調遞增，所以當n=6時 取得最小值.endprint

數列內容是高考重點內容，然而在解答數列題時，總是會在一些細節處丟分，現列舉如下，引以為戒.

易錯點1：運用公式“a =S -S ”不當致誤

例1：數列{a }前n項和s 且a =1，a = s ，求數列{a }的通項公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故數列{a }從第二項開始為等比數列

故a =1（n=1） ？搖 （n≥2）.

【誤區】此題在應用s 與a 的關系時誤認為a =s -s 對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證.易得出數列{a }為等比數列的錯誤結論.

易錯點2：運用等比數列求和公式時忽視公比的限制條件致誤

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：當x=0時S=1；當x=1時S=n+1；當x≠1時S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【誤區】忽視等比數列公比q≠0的前提條件直接按等比數列求和，然后利用等比數列求和時忽視對公比q=1和q≠1的討論.

易錯點3：忽視等差數列的公差的限制條件致誤

例3：在公差為d的等差數列{a }中，已知a ，a ，a 成等比數列.已知數列{a }前10項和為45，求數列{a }的通項公式.

解析：由題意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

當d=0時10a =45，則a = ，∴a = .

當9d=a 時，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易錯點4：由遞推公式證明數列是等比數列或等差數列時定義運用不當

例4：已知數列{a }中首項a =1，當n為奇數時a =2a ，當n為偶數時，a =a +1，求a ，a 并證明數列{a +1}是等比數列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

當n≥2時a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比數列.

【誤區1】求a ，a 代錯遞推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的錯誤結論.

【誤區2】錯誤利用定義證明 為定值，導致證明無法進行下去.為了預防證明目標不明的現象，只需設b =a +1，然后利用定義證明 =2（n≥2）即可.

易錯點5：忽視參數的值致誤

例5：已知等差數列前n項和S =n +3n+p，則S =？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，則a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【誤區】忽視等差數列前n項和特征，直接代入公式出錯.類似的還有等比數列前n項和S =a-3 時應有a=1.

易錯點6：忽視特殊項致誤

例6：已知等差數列{a }的通項公式a =5n-75，則前n項和S 取得最小值時的正整數n是？搖？搖？搖？搖.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15時前n項和最小.

【誤區】該數列是首項為負，公差為正的單調遞增數列，因此認為前面的所有負值項之和最小，忽視了負值項與正值項之間的零值項導致出錯.

易錯點7：數列最值意義不清致誤

例7：已知數列{a }滿足a =33，a -a =2n，則 的最小值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上為增函數，在（0， ]上為減函數，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【誤區】忽視了n為正整數，直接利用基本不等式求最值導致結論出錯.實際上研究數列的最值時，往往借助函數的思想利用導數研究數列的單調性解決.也可以利用數列的單調性的判斷方法：設b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n為正整數，所以n≤6，即{b }當1≤n≤6單調遞減，當n≥7時單調遞增，所以當n=6時 取得最小值.endprint

數列內容是高考重點內容，然而在解答數列題時，總是會在一些細節處丟分，現列舉如下，引以為戒.

易錯點1：運用公式“a =S -S ”不當致誤

例1：數列{a }前n項和s 且a =1，a = s ，求數列{a }的通項公式.

解析：由a =1，a = s 得a = s （n≥2）a -a = s - s = a （n≥2），得a = a （n≥2）.又a =1，a = ，故數列{a }從第二項開始為等比數列

故a =1（n=1） ？搖 （n≥2）.

【誤區】此題在應用s 與a 的關系時誤認為a =s -s 對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證.易得出數列{a }為等比數列的錯誤結論.

易錯點2：運用等比數列求和公式時忽視公比的限制條件致誤

例2：求和S=1+x+x +…+x

解析：當x=0時S=1；當x=1時S=n+1；當x≠1時S= ，

∴S=n+1，x=1 ，x≠1.

【誤區】忽視等比數列公比q≠0的前提條件直接按等比數列求和，然后利用等比數列求和時忽視對公比q=1和q≠1的討論.

易錯點3：忽視等差數列的公差的限制條件致誤

例3：在公差為d的等差數列{a }中，已知a ，a ，a 成等比數列.已知數列{a }前10項和為45，求數列{a }的通項公式.

解析：由題意a =a ·a 即（a +3d） =a ·（a +7d），即9d =a ·d，

∴d=0或9d=a .

當d=0時10a =45，則a = ，∴a = .

當9d=a 時，得10a + d=45，得a =3，d= ，∴a = .

易錯點4：由遞推公式證明數列是等比數列或等差數列時定義運用不當

例4：已知數列{a }中首項a =1，當n為奇數時a =2a ，當n為偶數時，a =a +1，求a ，a 并證明數列{a +1}是等比數列.

解析：a =2a =2，a =a +1=3，

當n≥2時a =a +1，a =2a ，

∴a =2a +1，∴a +1=2a +2，∴ =2（n≥2），所以{a +1}是等比數列.

【誤區1】求a ，a 代錯遞推公式，得出a =a +1=2，a =2a =4的錯誤結論.

【誤區2】錯誤利用定義證明 為定值，導致證明無法進行下去.為了預防證明目標不明的現象，只需設b =a +1，然后利用定義證明 =2（n≥2）即可.

易錯點5：忽視參數的值致誤

例5：已知等差數列前n項和S =n +3n+p，則S =？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =S =4+p，S =10+p，S =18+p，則a =6，a =8，∴a =4+p=4，∴p=0，∴S =40.

【誤區】忽視等差數列前n項和特征，直接代入公式出錯.類似的還有等比數列前n項和S =a-3 時應有a=1.

易錯點6：忽視特殊項致誤

例6：已知等差數列{a }的通項公式a =5n-75，則前n項和S 取得最小值時的正整數n是？搖？搖？搖？搖.

解析：由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05（n+1）-75≥0，∴14≤n≤15，∴n=14或15時前n項和最小.

【誤區】該數列是首項為負，公差為正的單調遞增數列，因此認為前面的所有負值項之和最小，忽視了負值項與正值項之間的零值項導致出錯.

易錯點7：數列最值意義不清致誤

例7：已知數列{a }滿足a =33，a -a =2n，則 的最小值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析：a =（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）+a

=2×（n-1）+2×（n-2）+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f（x）=x+ -1（x>0）在[ ，+∞）上為增函數，在（0， ]上為減函數，

又n∈N ，f（5）= ，f（6）= ，∴（ ） =f（6）= .

【誤區】忽視了n為正整數，直接利用基本不等式求最值導致結論出錯.實際上研究數列的最值時，往往借助函數的思想利用導數研究數列的單調性解決.也可以利用數列的單調性的判斷方法：設b = ，由b -b =[（n+1）+ -1]-（n+ -1）>0，得1- >0，即n（n+1）<33又n為正整數，所以n≤6，即{b }當1≤n≤6單調遞減，當n≥7時單調遞增，所以當n=6時 取得最小值.endprint