一類最值問題的另類解法

邵達

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齊次最值問題的解法多種多樣，作者在用換元法解決這類問題的過程中發現，可以將問題轉化為求一個分子分母均為齊次式，且次數相等的問題，進而用賦值法加以解決.

關鍵詞： 不等式 二次方程 齊次 賦值

筆者在復習不等式時碰到了這樣的一類最值問題.2011年浙江高考第16題：設x，y為實數，若4x +y +xy=1，則2x+y的最大值是？搖？搖？搖？搖.這類問題是復習題中必出現的一類問題，它的解法多種多樣，對于標準答案的解答，筆者不在這里詳述，只想提出對這類問題的另類思考和拓展.

解析1：看到條件等式的二次背景，其實質就是一個標準形式的橢圓經仿射變換形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，則x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

當且僅當x= ，y= 時取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我們都可以通過配方，找到其標準形式下對應的圓錐曲線.那么，類似上述的最值問題可以通過圓錐曲線的參數方程解決.

筆者嘗試將二元變成三元，再來看看這類問題，先嘗試系數比較簡單的.

變式1.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖？搖.

解析：首先，xy+yz取正數時達到最大值，以下基于這種認識，我們不妨設xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的對稱性，可知

= ≤ = ，

當x= y=z時取到最大值 .

我們把系數變復雜，有

變式2.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析1：本題的配湊的系數難以觀察得出，可利用待定系數.這是一個比較常規的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

當x= y= z時取到最大值 .

從分子入手的方法請讀者自己思考.

解析2：由于上面的解法較繁瑣，因此我們嘗試能否像原題那樣進行換元解決.

可設x +y +z =r ，利用球的參數方程換元.同時，我們觀察到這里的r，最后必定約去.故可直接設x +y +z =1，設x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

當x= y= z時取到最大值 .

由此啟發，我們發現對于分子分母是齊二次的分式的最值問題，大可以對其中某一個量進行賦值.

回顧2011年的浙江省高考題，其實可以轉化為求 的最大值的問題.

于是我們又有如下做法.

解2：令2x+y=1，則y=1-2x

= = = ≤

故原題中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更絕的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0時，上式的值為1.下同.endprint

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齊次最值問題的解法多種多樣，作者在用換元法解決這類問題的過程中發現，可以將問題轉化為求一個分子分母均為齊次式，且次數相等的問題，進而用賦值法加以解決.

關鍵詞： 不等式 二次方程 齊次 賦值

筆者在復習不等式時碰到了這樣的一類最值問題.2011年浙江高考第16題：設x，y為實數，若4x +y +xy=1，則2x+y的最大值是？搖？搖？搖？搖.這類問題是復習題中必出現的一類問題，它的解法多種多樣，對于標準答案的解答，筆者不在這里詳述，只想提出對這類問題的另類思考和拓展.

解析1：看到條件等式的二次背景，其實質就是一個標準形式的橢圓經仿射變換形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，則x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

當且僅當x= ，y= 時取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我們都可以通過配方，找到其標準形式下對應的圓錐曲線.那么，類似上述的最值問題可以通過圓錐曲線的參數方程解決.

筆者嘗試將二元變成三元，再來看看這類問題，先嘗試系數比較簡單的.

變式1.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖？搖.

解析：首先，xy+yz取正數時達到最大值，以下基于這種認識，我們不妨設xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的對稱性，可知

= ≤ = ，

當x= y=z時取到最大值 .

我們把系數變復雜，有

變式2.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析1：本題的配湊的系數難以觀察得出，可利用待定系數.這是一個比較常規的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

當x= y= z時取到最大值 .

從分子入手的方法請讀者自己思考.

解析2：由于上面的解法較繁瑣，因此我們嘗試能否像原題那樣進行換元解決.

可設x +y +z =r ，利用球的參數方程換元.同時，我們觀察到這里的r，最后必定約去.故可直接設x +y +z =1，設x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

當x= y= z時取到最大值 .

由此啟發，我們發現對于分子分母是齊二次的分式的最值問題，大可以對其中某一個量進行賦值.

回顧2011年的浙江省高考題，其實可以轉化為求 的最大值的問題.

于是我們又有如下做法.

解2：令2x+y=1，則y=1-2x

= = = ≤

故原題中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更絕的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0時，上式的值為1.下同.endprint

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齊次最值問題的解法多種多樣，作者在用換元法解決這類問題的過程中發現，可以將問題轉化為求一個分子分母均為齊次式，且次數相等的問題，進而用賦值法加以解決.

關鍵詞： 不等式 二次方程 齊次 賦值

筆者在復習不等式時碰到了這樣的一類最值問題.2011年浙江高考第16題：設x，y為實數，若4x +y +xy=1，則2x+y的最大值是？搖？搖？搖？搖.這類問題是復習題中必出現的一類問題，它的解法多種多樣，對于標準答案的解答，筆者不在這里詳述，只想提出對這類問題的另類思考和拓展.

解析1：看到條件等式的二次背景，其實質就是一個標準形式的橢圓經仿射變換形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，則x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

當且僅當x= ，y= 時取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我們都可以通過配方，找到其標準形式下對應的圓錐曲線.那么，類似上述的最值問題可以通過圓錐曲線的參數方程解決.

筆者嘗試將二元變成三元，再來看看這類問題，先嘗試系數比較簡單的.

變式1.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖？搖.

解析：首先，xy+yz取正數時達到最大值，以下基于這種認識，我們不妨設xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的對稱性，可知

= ≤ = ，

當x= y=z時取到最大值 .

我們把系數變復雜，有

變式2.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析1：本題的配湊的系數難以觀察得出，可利用待定系數.這是一個比較常規的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

當x= y= z時取到最大值 .

從分子入手的方法請讀者自己思考.

解析2：由于上面的解法較繁瑣，因此我們嘗試能否像原題那樣進行換元解決.

可設x +y +z =r ，利用球的參數方程換元.同時，我們觀察到這里的r，最后必定約去.故可直接設x +y +z =1，設x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

當x= y= z時取到最大值 .

由此啟發，我們發現對于分子分母是齊二次的分式的最值問題，大可以對其中某一個量進行賦值.

回顧2011年的浙江省高考題，其實可以轉化為求 的最大值的問題.

于是我們又有如下做法.

解2：令2x+y=1，則y=1-2x

= = = ≤

故原題中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更絕的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0時，上式的值為1.下同.endprint