從2013年高考選擇(填空)題讀高考命題意圖

●陳堯明 (上虞區(qū)教體局教研室 浙江紹興 312300)

2013年高考早已塵埃落定，盤點和研究這些高考試題，無不折射出命題者的智慧和他們的匠心獨具.這些試題既蘊含著諸多的數(shù)學思想、方法及數(shù)學的本質(zhì)，同時又傳遞和引領著今后一段時期的數(shù)學教育理念和教學的改革方向.本文以2013年浙江省數(shù)學高考理科選擇(填空)題為基本題，分析其命題意圖.

1 緊密聯(lián)系課本內(nèi)容

選擇題第 1，2，3，4，5，11，12 題都是課本“影子題”，即每個題目都可在課本中找到類似題，其難度相當于課本練習題或簡單習題.只要基礎知識扎實，前3 個題目可“一望即知”，而第 4，5，6，13，14題都在平時的練習、檢測或課本的每章復習題中出現(xiàn)過類似的題目.只要認真復習教材，讀完題目基本上就能確定解決方案.

2 重視數(shù)學本質(zhì)的考查

2013年選擇(填空)題不少試題都呈現(xiàn)出對數(shù)學本質(zhì)的考查.

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析解決本題的方法頗多，可以用投影法、坐標法或基向量法，也可采用淘汰法，雖然淘汰法是求解單一選擇題的有力利器，特別是當所選題目有較高難度時，更能體現(xiàn)出它的獨到之處，但淘汰法需要對每一個選項進行驗證而耗時，很不經(jīng)濟.

圖1

學生最直接的思考方法是建立坐標系，利用坐標將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，進而借助函數(shù)的恒成立問題演繹出三角形的形狀，這是一種單線型的思路.在思維難度高一層的是利用投影概念或基向量法，這2種方法都是基于對投影和基向量這2個數(shù)學概念上的本質(zhì)理解.

如果將問題轉(zhuǎn)化為極化恒等式如(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2，也就是我們平時常說的平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形對角線的平方和等于4條邊的平方和，則問題會簡潔很多.

取BC中點 N，AB中點 M，聯(lián)結 PC，PN，MC，P0B(如圖1)，由極化恒等式可知

由點 P的任意性知，P0N⊥AB，即CM⊥AB，從而AC=BC.故選 D.

對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查，要創(chuàng)設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數(shù)學問題，注重問題的多樣性，體現(xiàn)思維的發(fā)散性.可以說，利用極化恒等式是解決此題思維的再高層次，因為極化恒等式它剔除了問題的“浮土層”，突出了問題的數(shù)學本質(zhì)，這顯然也是本題的立意所在.

例2 已知 e為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1，2)，則 ( )

A.當k=1時，f(x)在x=1處取到極小值

B.當k=1時，f(x)在x=1處取到極大值

C.當k=2時，f(x)在x=1處取到極小值

D.當k=2時，f(x)在x=1處取到極大值

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析本題考查導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則和極值的判定方法.我們知道，當k=1時，函數(shù)f(x)圖像“穿過”點(1，0)，對應方程 f(x)=0來說，存在一個解x=1;當k=2時，函數(shù)f(x)的圖像“相切”x軸于點(1，0)，對應方程f(x)=0來說，存在2個相同的解x1=x2=1.盡管圖像都經(jīng)過點(1，0)，但蘊藏的數(shù)學“風景”不同，具有本質(zhì)上的差異.因此，基于導數(shù)本質(zhì)上的理解，選項A，B肯定是錯誤的，考察函數(shù)f(x)=(ex-1)(x-1)2，當x＞1且趨于 +∞時，f(x)也趨于 +∞，不難知道f(x)在x=1處取到極小值.故選C.

“少考一點算，多考一點想”，從數(shù)學的本質(zhì)立意，是2013年數(shù)學試題命題的一個亮點.

3 傳統(tǒng)與創(chuàng)新相結合

作為高等院校的招生考試，毋容置疑應優(yōu)先考慮選拔性的要求，但也應顧及一般性的要求.如何框定兩者的平衡點，試題傳統(tǒng)與創(chuàng)新是很好的技術點.為了控制整個選擇(填空)題組的難度，試題的設置就要兼顧傳統(tǒng)與創(chuàng)新這2個方面.如果試題偏重于傳統(tǒng)題，則選拔性差;反之，如果創(chuàng)新題太多，不易發(fā)揮正常水平.2013年選擇(填空)題的17個試題中，傳統(tǒng)與創(chuàng)新比例恰當，除了第 7，8，10，16，17題外，其余均為傳統(tǒng)題.這也成功實現(xiàn)了基本題的命題功能.下面以第16題為例作一詮釋：

例3 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點.若sin∠BAM=，則 sin∠BAC= ______.

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析2013年數(shù)學高考首次將解斜三角形設置在填空題中，但作為三角大題的“接班”題，既不能像大題那樣“厚重”，又不失具有一定的區(qū)分度，設置一個動態(tài)的三角是情理之中，恰到好處.

不妨設 AC=1，BC=2x(見圖2)，則

圖2

由余弦定理得

4 突出了數(shù)學能力的考查

記憶能力和觀察能力是數(shù)學能力的先導，對概念、公式、性質(zhì)、定理的記憶是必備的，可以說每個題目都蘊含著對記憶力和觀察力的考查.第13題是典型的三視圖，通過觀察學生實現(xiàn)三維空間圖形在大腦上的定格，明確該空間圖形是怎樣的幾何體，才能準確無誤地計算出幾何體的體積.

空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力是《考試說明》中已明確的四大基本能力.2013年的選擇(填空)題組的設計，充分考慮了四大基本能力的考查，有些試題還同時考查了幾種能力.如重點突出推理論證能力的有第7，8，10，17題，考查運算求解能力的有第 6，9，11，13，15題，考查空間想象能力的有第12題，而第7，14，16，17題又綜合考查了運用數(shù)學知識和方法分析問題和解決問題的能力.

例4 將6個字母 A，B，C，D，E，F(xiàn)排成一排，且A，B均在 C的同側，則不同的排法數(shù)共有______種(用數(shù)字作答).

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析此題考查了除空間想象能力之外的其他三大能力.按字母C的位置分類討論：

5 加強了速度的考查功能

對數(shù)學基礎知識的考查，既要全面又要突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內(nèi)容，要占較大的比例，構成數(shù)學試卷的主體.顯而易見，高考試題的設計離不開試題對教材知識的覆蓋面，選擇(填空)題共17題，分值達78分，因而對解題速度提出了較高的要求.考生在解題時必須牢記解題的相關知識與方法，具備靈活、敏捷的解題思維，不僅要會解、解對，同時也要解得快.不同的解法，表現(xiàn)出解題速度的巨大差異.比如例4還可以這樣解：6個字母 A，B，C，D，E，F(xiàn) 全排有種排法，而對于字母A，B，C 來說，“A，B 均在 C 的同側”占了 A，B，C全排列的，因此不同的排法數(shù)共有=480種.

又如例3，也可利用中點分三角形等面積，即由 S△ABM=S△ACM得

例5 設 e1，e2為單位向量，非零向量 b=xe1+ye2，x，y∈R.若 e1，e2的夾角為，則的最大值等于______.

(2013年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析 此題解法很多，一般用向量的代數(shù)法.根據(jù)題意，得

從上述過程不難看出，分子、分母同除以x的代數(shù)變形，對考生來說技術要求有點高，而且還應考慮到等號取到的條件是否具備.事后從學生的反饋看，學生在基本題的解答中，此題的耗時還是不少的.

圖3 圖4

［1］ 中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學課程標準(實驗)［M］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］ 浙江省教育考試院.浙江省普通高考考試說明［M］.杭州：浙江攝影出版社，2013.