淺談幾何證明中如何添置輔助線

張文勝

若有一條河橫在你面前，阻斷你的去路，而在你苦于無法順利過河時卻發現有一座橋，心里肯定萬分高興，因為若沒有這座橋，你可能要繞一個大圈子才能到達河的彼岸，甚至過不去.同樣，添置輔助線在幾何證明中起著過河搭橋的作用，通過添置輔助線，把已知元素和未知元素聯想起來，在證明或解題時，就能如魚得水，得心應手.

添置輔助線的方法雖然千差萬別，但總會有規律可循的，并不是“混連瞎碰”.下面筆者談談在幾何圖形中如何添置輔助線.

一、抓“關鍵點”，連“關鍵線”，作“關鍵線”

平面幾何圖形中，常有不少具備一定特征的點，如：線段的交點、線段的中點、圓心、直線與圓相切的切點、兩圓的交點等.這些點經常是證明的“關鍵點”.如圓的輔助線的作法規律是：弦與弦心距，親密緊相連；兩圓相切，公切線；兩圓相交，公共弦；遇切點，作半徑；圓與圓，心心連；遇直徑，想直角；直角相對（共弦）點共圓.

已知切線的“作”（過點D作DG⊥OB，垂足為G）.只要證明DE=DG（角平分線上的點到其兩邊的距離相等），從而得證.

二、移出圖形，添補圖形

有時，為了找到較好的證明或解題的方法，可以添置輔助線或添補一部分圖形.如在三角形中，常延長中線一倍，構造成平行四邊形或新三角形.有時，利用等底等高的三角形面積相等，等底（兩底）等高的梯形面積相等的方法解題.

圖3【例3】如圖3，已知半圓的直徑AB=40cm，點C、D是這個半圓的三等分點.求證：弦AC、AD和弧CD圍成的圖形的面積S等于半圓面積的三分之一.

分析：求不規則圖形的面積時，往往采用化不規則圖形為規則圖形的方法，利用它們的面積相等求解.弦AC、AD和弧CD圍成的圖形是不規則圖形，是無法用已知條件來計算的，但它的面積S剛好等于扇形OCD的面積，即等于半圓面積的三分之一.

三、和差倍分，截長補短

平面幾何證題千姿百態，因而添置輔助線的方法也變化多端.有時同一問題可以找出幾種添置輔助線的方法，而使一題多解.

（責任編輯鐘偉芳）

若有一條河橫在你面前，阻斷你的去路，而在你苦于無法順利過河時卻發現有一座橋，心里肯定萬分高興，因為若沒有這座橋，你可能要繞一個大圈子才能到達河的彼岸，甚至過不去.同樣，添置輔助線在幾何證明中起著過河搭橋的作用，通過添置輔助線，把已知元素和未知元素聯想起來，在證明或解題時，就能如魚得水，得心應手.

添置輔助線的方法雖然千差萬別，但總會有規律可循的，并不是“混連瞎碰”.下面筆者談談在幾何圖形中如何添置輔助線.

一、抓“關鍵點”，連“關鍵線”，作“關鍵線”

平面幾何圖形中，常有不少具備一定特征的點，如：線段的交點、線段的中點、圓心、直線與圓相切的切點、兩圓的交點等.這些點經常是證明的“關鍵點”.如圓的輔助線的作法規律是：弦與弦心距，親密緊相連；兩圓相切，公切線；兩圓相交，公共弦；遇切點，作半徑；圓與圓，心心連；遇直徑，想直角；直角相對（共弦）點共圓.

已知切線的“作”（過點D作DG⊥OB，垂足為G）.只要證明DE=DG（角平分線上的點到其兩邊的距離相等），從而得證.

二、移出圖形，添補圖形

有時，為了找到較好的證明或解題的方法，可以添置輔助線或添補一部分圖形.如在三角形中，常延長中線一倍，構造成平行四邊形或新三角形.有時，利用等底等高的三角形面積相等，等底（兩底）等高的梯形面積相等的方法解題.

圖3【例3】如圖3，已知半圓的直徑AB=40cm，點C、D是這個半圓的三等分點.求證：弦AC、AD和弧CD圍成的圖形的面積S等于半圓面積的三分之一.

分析：求不規則圖形的面積時，往往采用化不規則圖形為規則圖形的方法，利用它們的面積相等求解.弦AC、AD和弧CD圍成的圖形是不規則圖形，是無法用已知條件來計算的，但它的面積S剛好等于扇形OCD的面積，即等于半圓面積的三分之一.

三、和差倍分，截長補短

平面幾何證題千姿百態，因而添置輔助線的方法也變化多端.有時同一問題可以找出幾種添置輔助線的方法，而使一題多解.

（責任編輯鐘偉芳）

若有一條河橫在你面前，阻斷你的去路，而在你苦于無法順利過河時卻發現有一座橋，心里肯定萬分高興，因為若沒有這座橋，你可能要繞一個大圈子才能到達河的彼岸，甚至過不去.同樣，添置輔助線在幾何證明中起著過河搭橋的作用，通過添置輔助線，把已知元素和未知元素聯想起來，在證明或解題時，就能如魚得水，得心應手.

添置輔助線的方法雖然千差萬別，但總會有規律可循的，并不是“混連瞎碰”.下面筆者談談在幾何圖形中如何添置輔助線.

一、抓“關鍵點”，連“關鍵線”，作“關鍵線”

平面幾何圖形中，常有不少具備一定特征的點，如：線段的交點、線段的中點、圓心、直線與圓相切的切點、兩圓的交點等.這些點經常是證明的“關鍵點”.如圓的輔助線的作法規律是：弦與弦心距，親密緊相連；兩圓相切，公切線；兩圓相交，公共弦；遇切點，作半徑；圓與圓，心心連；遇直徑，想直角；直角相對（共弦）點共圓.

已知切線的“作”（過點D作DG⊥OB，垂足為G）.只要證明DE=DG（角平分線上的點到其兩邊的距離相等），從而得證.

二、移出圖形，添補圖形

有時，為了找到較好的證明或解題的方法，可以添置輔助線或添補一部分圖形.如在三角形中，常延長中線一倍，構造成平行四邊形或新三角形.有時，利用等底等高的三角形面積相等，等底（兩底）等高的梯形面積相等的方法解題.

圖3【例3】如圖3，已知半圓的直徑AB=40cm，點C、D是這個半圓的三等分點.求證：弦AC、AD和弧CD圍成的圖形的面積S等于半圓面積的三分之一.

分析：求不規則圖形的面積時，往往采用化不規則圖形為規則圖形的方法，利用它們的面積相等求解.弦AC、AD和弧CD圍成的圖形是不規則圖形，是無法用已知條件來計算的，但它的面積S剛好等于扇形OCD的面積，即等于半圓面積的三分之一.

三、和差倍分，截長補短

平面幾何證題千姿百態，因而添置輔助線的方法也變化多端.有時同一問題可以找出幾種添置輔助線的方法，而使一題多解.

（責任編輯鐘偉芳）