“大地測量學基礎”課程啟發法教學幾個問題的解釋

丁士俊，郭際明，程新明，向 東

(武漢大學 測繪學院，湖北 武漢 430079)

一、引 言

大地測量學是地球科學的重要學科分支之一，它是大地測量、工程測量、攝影測量與遙感、地圖以及地理信息等專業的基礎學科。在大地測量、工程測量、攝影測量與遙感等相關測繪專業合并為一個測繪專業的背景下，面對測繪技術與測繪教育的新形勢，按照全國測繪教學指導委員會關于編寫測繪工程專業系列基礎教材的計劃和要求，《大地測量學基礎》是專為測繪工程專業本科生編寫的一門基礎性教材。該教材以現代大地測量學理論體系為基礎，以現代大地測量學的新成就和未來發展為出發點，正確處理好經典內容和現代發展的關系，全書以傳統應用大地測量學、橢球大地測量學、控制測量學等多種版本教材為基礎，以幾何大地測量學、物理大地測量學及現代空間大地測量學為基本體系框架的基礎上編寫的，教材大量刪減了過時的內容，引進最新的大地測量新成果，提出未來發展方向，較為系統地闡述了大地測量學的基本概念、基本理論和測量技術與方法。通過近幾年的教學情況來看，為了克服以往填鴨式的教學模式，充分利用學生已掌握的知識，開展啟發式教學，充分調動學生的自主學習的積極性，培養學生分析問題、解決問題的能力，提高教學質量,有針對性對一些相關問題探討啟發式教學方法與教學內容，本文通過以下幾方面對此加以討論。

二、課堂教學與課外自主學習的統一

在大地測量教學過程中，對于基本概念、基本理論、基本技術方法在課堂上要加以充分講解，把教學內容分為基本內容、選學內容和自學內容。其次突出重點難點，對于重點內容要講深講透，難點內容主要從提出問題、分析問題及解決問題的方法入手，讓學生了解其過程，理清其思路。突出科學思維辯證邏輯方法，以素質教育培養學生的能力為目的，調整課堂的教學方式與方法。過去在教學內容與時間基本相符的情況下，課堂的教學基本上是填鴨式的教學模式。為了提高學生學習的主動性與創造性，改變過去那種一統式的教學方式，將教學內容與時間分為老師主講課、學生自學、討論課等部分，在自學與討論課的環節中，其內容要有針對性，教師在教學的過程中要積極加以組織，學生是學習的主體，教師起到引導、解疑、歸納的作用，這樣在激發學生學習主動性的同時，學生對相關知識的理解得到了進一步的深化，拓寬了視野。下面僅以教材中兩個知識點的教學加以闡述。

1. 大地坐標與空間直角坐標的關系

在空間大地測量數據處理中，空間直角坐標與空間大地坐標的相互關系是大地測量數據處理的一個最基本而最為重要的關系式。在《大地測量學基礎》教材中，首先建立子午平面直角坐標與大地坐標的關系，然后確定空間直角坐標與子午平面直角坐標的關系，通過子午平面直角坐標過渡，最后得到橢球面上點P0的空間直角坐標(X,Y,Z)與大地坐標(B,L)的關系[1-2](如圖1所示)

(1)

圖1 空間直角坐標與大地坐標關系

ρ=ρ0+Hn

(2)

(3)

方法2：因為法線垂直于過P0點橢球的切平面，切平面包含過P0子午線的切線與平行圈的切線，因此法線垂直于該點子午線的切線與平行圈的切線，只要求出過該點子午線的切線與平行圈的切線的單位向量，即可求出過P0點法線的單位向量。基于上述思想，根據橢球面參數方程式(1)，分別固定大地經度與大地緯度，即可得到子午線與平行圈空間的參數方程，分別對各自的參數方程求導，得到子午線與平行圈在P0的切線的單位向量，假設子午線在P0點切線的單位向量為nB,平行圈在該點的切線的單位量為nL,則過P0點法線的單位向量n為[1]

n=nB×nL

(4)

式中，|nB|=(sinBcosL-sinBsinLcosB)；|nL|=(cosBsinLcosBcosL0)。由式(4)同樣可得到式(3)的結論。由式(1)—式(3)聯立得到地面點大地坐標與空間直角坐標的關系式

(5)

2. 子午線曲率半徑的計算

為了讓學生充分利用自身所掌握的知識與基本理論，來解決專業課程中的一些理論問題，就子午線曲率半徑的計算問題，除了采用教材中所介紹的方法之外，在教學過程中啟發學生，利用所掌握的高等數學知識來解決子午線曲率半徑的計算。由高等數學可知，已知某曲線方程y=f(x)，則曲線任意點的曲率半徑k可由式(6)來加以計算[2]

(6)

在旋轉橢球體子午面內，子午線曲線方程可由直角坐標來描述，即

(7)

也可采用大地緯度B或歸化緯度u的參數方程來加以表達[3-4]

通過對表3實驗數據的分析，隨著脂肪添加量的增加，薏米雞肉餅的亮度、紅度、黃度均呈現先變大后變小的趨勢。觀察薏米雞肉餅的色澤也是由金黃色逐漸到紅棕色的變化。脂肪可以影響肉制品的光澤度和口感，當脂肪添加量為10.0%時，薏米雞肉餅的色澤光亮，口感柔和。由此可以確定脂肪最佳添加量為10.0%。

(8)

顯然，子午線曲率半徑的計算可分別對式(7)或參數方程式(8)分別求導來加以計算。以歸化緯度u為參數的參數方程為例，對該參數方程求導一階和二階導數，即得到

(9)

(10)

將式(9)與式(10)代入式(6)得

(11)

(12)

由此從另一思路導出了大地坐標與空間直角坐標及橢球面子午線曲率半徑的計算公式。上述兩方面的內容在教材中都沒有涉及，在教學中可引導學生加以思考，或以討論課的形式來加以討論，讓學生加深對此問題的理解與掌握。

三、 實驗教學與理論教學的相互補充

實驗教學是教學的又一重要環節，通過實驗可以明確對理論掌握的準確度，進一步加深對理論問題的理論與掌握。從多年的教學情況來看，由于課程的內容較多，教學的學時相對較短，在教學的過程中，往往會忽略一些知識點細節性的問題介紹。如在本課程的教學中，通常情況下設有4學時的編程計算課，主要完成“大地測量學基礎”課程中一些常見的基本計算，如大地坐標與空間直角坐標的相互換算、大地主題的正反算(平均高斯引數法與白塞爾方法)、高斯投正反算與鄰帶換算、不同平面坐標系之間的坐標轉換、不同空間三維坐標系的轉換(包括不同ITRF框架間的相互轉換)等。通過編程計算練習，一方面可以幫助學生加深對理論的理解，另一方面可以提高學生解決實際問題的能力，幫助學生認識到自己在學習中存在的問題與不足。根據多年教學經驗，主要存在以下問題：一是由于課堂理論教學對于一些知識點細節性的問題介紹得不夠，造成了學生對計算問題往往考慮得不夠全面；二是教材中個別問題的數學模型不夠精確；三是學生對計算數據的精度把握不夠準確。本文針對上述問題從以下幾方面加以說明。

1. 由空間直角坐標計算大地坐標應注意的問題

隨著空間科學的發展，各種衛星如地球同步衛星、GPS衛星等的廣泛應用，衛星在空間的瞬時位置在地心空間坐標系中可由大地坐標或空間直角坐標表示，因此大地坐標與空間直角坐標的相互換算應用非常廣泛。由空間直角坐標計算大地坐標是一個相對復雜的計算問題，到目前為止，為了解決該問題許多大地測量工作者作了大量的研究，提出了許多算法，已有的算法歸結起來可分為迭代法與直接解法[5]。在《大地測量學基礎》教材中僅介紹了一種迭代方法，其具體模型如下[3-4]：

大地經度計算

(13)

大地緯度的迭代計算

(14)

大地高的計算

(15)

(16)

在實驗課程計算中，由于教材對計算的一些細節問題沒有加以介紹，教師在授課時也往往會忽略。如計算時要考慮通用性，其主要表現在適合整個地球體及點高出橢球面、低于橢球面、點位于赤道，以及橢球旋轉軸方向等特殊情況，對于這些計算的細節問題必須要全面加以考慮，只有這樣所編寫的程序才會顧及各種不同的情況，這些問題學生一般難以考慮到，只有通過實驗引導與啟發學生如何來加以解決，這樣可以彌補課堂上理論教學的不足。就上述計算而言，大地經度的計算涉及象限的判斷

(17)

(18)

圖2 地面點大地經緯度與大地高示意圖

2. 高斯平均引數法大地主題解算問題

在《大地測量學基礎》教材大地主題解算章節中，根據大地線長短，把大地主題解算分為短距離(400 km以內)，中距離(400～1000 km)及長距離(1000 km以上)3種，教材中所介紹的高斯平均引數法和白塞爾方法分別適合于短距離與長距離解算。實驗計算表明，高斯平均引數法解算精度按照教材中現有模型計算，在400 km附近達不到要求，通過與白塞爾方法對比計算，可以讓學生進一步明確高斯平均引數法解的適用范圍，這一點在課堂理論教學中沒有得到體現，只有通過實驗計算才有一個比較明確的認識。另外通過計算表明，在舊版《大地測量學基礎》教材中[3]，高斯平均引數法反算數學模型不夠準確，在新版教材中[4,6]給出改進計算公式，即

(19)

按照上述公式解算，大地線長度在200 km范圍內滿足計算精度要求。

3. 實驗數據的有效數位的確定

“大地測量學基礎”課程實驗計算中，已知數據與計算數據包括大地經度與大地高(B,L,H)、空間直角坐標(X,Y,Z)以及高斯平面坐標(x,y)等。在計算過程中，各數據的取位(即有效數字的位數確定)問題，學生一般難以把握，通常可以從以下關系式來加以解釋。由高斯投影正算可知，高斯投影正算已知大地經緯度(B，L)計算高斯平面坐標(x,y)，對高斯投影正算公式求導，可得到如下微分公式[4，7]

(20)

式中各系數為

(21)

四、結束語

“大地測量學基礎”課程2009年被評為國家精品課程，筆者積極進行了該課程的理論教學與實驗教學探索，探討啟發式教學的新模式、新方法與新內容，使理論教學與實驗教學更緊密地結合在一起。通過實驗教學，可彌補課堂理論教學的不足，解決理論教學中存在的一些問題，發揮學生的主觀能動性，提高學生自主學習的能力與分析問題、解決問題的能力，使本科教學上一個新的層次，尤其是在提高教學質量等方面具有非常重要的作用和指導意義。

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