總體最小二乘平差方法在GPS高程擬合中的應用研究

龔循強，陳 磬，周秀芳

(1. 西南交通大學 地球科學與環境工程學院，四川 成都 611756； 2. 江西省數字國土重點實驗室(東華理工大學)，江西 南昌 330013； 3. 四川省應急測繪保障與地質災害監測工程技術研究中心，四川 成都 610041； 4. 江西核工業測繪院，江西 南昌 330038； 5. 四川農業大學 經濟管理學院，四川 成都 611130)

一、引 言

GPS高程擬合是將高程異常值與平面坐標近似描述為多項式關系，利用同時已知大地高和正常高的公共點組成誤差方程，進而求解多項式系數。目前，普遍采用最小二乘(LS)求解GPS高程擬合的多項式系數，該方法具有簡單、方便等優勢，但也同樣存在未顧及系數矩陣誤差這一客觀現象。基于此，已有相關學者采用能夠同時顧及系數矩陣和觀測向量誤差的總體最小二乘[1-2](TLS)平差方法進行參數估計，從而使得估計結果更加精確。文獻[3]采用基于迭代法的TLS求解參數估值，其實質等同于基于奇異值分解的總體最小二乘(SVD-TLS)，該方法存在未考慮系數矩陣部分有誤差的情況，且現今較多文獻[4-6]對TLS的求解都是考慮系數矩陣中的全部誤差，而在測繪實踐中，經常會遇到方程式系數矩陣部分有誤差的情況，這種情況需采用混合總體最小二乘(LS-TLS)求解。

近年來，關于GPS高程擬合方法的研究較多[7-8]，而對擬合模型的最佳解算方法卻較少涉及。本文在對TLS平差方法進行理論研究的基礎上，針對LS和SVD-TLS存在對模型系數矩陣和觀測向量誤差估計不合理，造成估計結果不嚴密的現象，嘗試采用LS-TLS進行GPS高程擬合，在合理考慮系數矩陣和觀測向量誤差的情況下，利用本文提出的基于TLS平差的粗差探測方法進行粗差剔除后，對GPS高程擬合參數進行求解。最后結合真實數據，分別利用LS、SVD-TLS和LS-TLS進行GPS高程平面擬合，并對擬合結果進行了比較分析。

二、總體最小二乘平差方法

目前，LS是對擬合函數參數求解的最常用方法，但這種方法不能顧及系數矩陣中的誤差。而TLS平差方法能夠同時顧及觀測向量和系數矩陣誤差，使得函數的解算結果更合理。

1. 基于奇異值分解的總體最小二乘

奇異值分解是線性代數中一種重要的矩陣分解，同時也是對TLS參數估計的常用方法，能較好地處理病態矩陣問題。在函數模型中同時顧及系數矩陣和觀測向量誤差，設矩陣方程為

(A+ΔA)X=L+ΔL

(1)

假設觀測次數為n，參數個數為m，通常情況下n>m，將增廣矩陣B=[AL]奇異值分解為B=UΣVT，SVD-TLS的解可由增廣矩陣右奇異向量的最后一列求得，進一步可以計算得到殘差平方和及單位權中誤差。

2. 混合總體最小二乘

由式(1)可以看出，SVD-TLS求解參數的同時考慮了觀測向量和系數矩陣中的全部誤差。然而在測繪實踐中，經常會遇到系數矩陣部分有誤差的情況，若采用SVD-TLS求解顯然是不嚴密的，目前解決這類問題的適宜方法是LS-TLS。假設A1沒有誤差影響，則顧及系數矩陣和觀測向量誤差，LS-TLS函數模型為

A1X1+(A2+ΔA2)X2=L+ΔL

(2)

3. 基于總體最小二乘平差的粗差探測方法

TLS平差是研究數據擬合的有效方法，其不僅考慮到觀測向量含有誤差，同時也考慮到系數矩陣含有誤差的情況，反映了觀測向量和系數矩陣的總體數據特征。因此，不管對于二維數據擬合還是對于多維數據擬合，總體數據的態勢都將在直線或平面一定范圍內出現。對于總體觀測數據來說，如果有某一個觀測量含有粗差或異常值，則該觀測數據必定相對于其他數據離擬合的直線或平面的距離要大。

由于TLS平差所形成的擬合直線或擬合平面反映的是總體觀測數據的變化趨勢，因此，如果觀測數據中沒有粗差或異常值，基于TLS平差所形成的擬合殘差必定分布于某個誤差橢圓內。若某個觀測數據擬合殘差超出了這個誤差橢圓，則可以認為此觀測數據有可能含有粗差或異常值。基于該思想可以利用TLS擬合殘差及極限誤差的相關特性探尋觀測數據中的粗差或異常值。下面以平面擬合為例進行具體詳解，步驟如下：

1) 設有平面方程z=a+bx+cy，利用TLS平差對其進行擬合，求出參數的估計值。

2) 求出中誤差σ，并取置信區間為(-2σ,2σ)。

3) 求出擬合殘差Vi，判定每一個擬合殘差是否在置信區間內。

4) 若擬合殘差超出置信區間，則可認為形成該擬合殘差的觀測數據中含有粗差，可以將其剔除；反之，則認為數據中不存在粗差。

三、實例分析

以上簡要闡述了采用LS、SVD-TLS和LS-TLS進行參數估計及精度評定的方法，并給出了基于TLS平差的粗差探測方法。下面采用真實數據進行GPS高程平面擬合，分別利用LS、SVD-TLS和LS-TLS進行計算，并從模型、參數估值、殘差平方和及單位權中誤差等幾個方面對各自的GPS高程擬合結果進行比較分析。

以文獻[11]例5.8中的GPS水準擬合觀測數據作為樣本，并在數據中加入一定的粗差，觀測數據見表1，選取測站點的坐標為自變量(x,y)，各點的高程異常值作為因變量δh，則有δh=a+bx+cy。

表1 加入粗差后的GPS水準擬合觀測數據

由于該平面方程系數矩陣部分含有誤差，因此采用LS-TLS求解擬合參數，根據本文提出的基于TLS平差的粗差探測方法進行粗差的探測與剔除。由參數估計值求得中誤差σ=1.695 8，即得置信區間為(-3.391 6,3.391 6)，并求出擬合殘差Vi，各測站點的擬合殘差如圖1所示。

判定每個測站點的擬合殘差是否在置信區間內，對存在粗差的測站數據進行剔除，根據圖1及求出的置信區間可將5、8、17、20測站數據剔除。同時采用LS、SVD-TLS和LS-TLS 3種方法對剔除粗差后的GPS水準擬合數據進行平面擬合，求出擬合參數、殘差平方和及單位權中誤差，結果見表2。

圖1 測站點的LS-TLS擬合殘差

求解方法abcS殘/m^σ0/mLS-144.95040.12000.19052.79500.4317SVD-TLS-147.93200.12250.19392.71000.4250LS-TLS-145.08030.12010.19072.66000.4211

表2中分別采用LS、SVD-TLS和LS-TLS求解了擬合平面參數，由于TLS平差方法同時顧及了系數矩陣x、y和觀測向量δh的誤差，因此建立的模型更加符合實際情況，其模型的殘差平方和及單位權中誤差優于LS。

從平面方程δh=a+bx+cy可以看出，部分系數矩陣和觀測向量都是由GPS數據組成的矩陣，采用LS進行平面擬合，其只顧及了觀測向量δh的誤差，因此擬合的平面并不精確；采用SVD-TLS進行平面擬合，所得擬合平面與LS和LS-TLS的擬合平面相差較大，通過分析構建的函數模型和解算方法發現，SVD-TLS將系數矩陣中不存在誤差的常數項部分也考慮了進去，因而造成擬合結果變異；LS-TLS合理地顧及了系數矩陣x、y和觀測向量δh的誤差，因此建立的模型更加合理，所得擬合精度最優，較LS和SVD-TLS擬合平面結果更加接近實際，故可認為合理考慮系數矩陣和觀測向量誤差的LS-TLS擬合平面結果最為可靠。

四、結 論

本文采用TLS平差方法進行GPS高程擬合，在利用提出的基于TLS平差的粗差探測方法進行粗差剔除的基礎上，結合真實數據，進行擬合平面的參數計算及精度評定。通過LS、 SVD-TLS和LS-TLS的比較分析研究，得出如下相關結論：

1) 采用本文提出的基于TLS平差的粗差探測方法能較好地對數據中存在的粗差進行探測與剔除。

2) 在GPS高程擬合參數估計中，由于LS沒有考慮系數矩陣存在誤差的情況，因此擬合結果并不嚴密。SVD-TLS 將系數矩陣中不含誤差的常數矩陣進行考慮，造成擬合結果變異。

3) 采用LS-TLS進行GPS高程擬合參數估計，它同時合理地顧及系數矩陣和觀測向量誤差，所得擬合精度最優，因此可認為LS-TLS擬合平面的結果最為可靠。

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