逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)與混沌

曹 毅

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

0 引言

偽軌跟蹤性質(zhì)是動(dòng)力系統(tǒng)中的一個(gè)重要概念，它與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和混沌有密切的關(guān)聯(lián)[1－3]。隨著動(dòng)力系統(tǒng)研究的不斷深入，學(xué)者發(fā)展了各種不同的跟蹤技術(shù)[4－7]。文獻(xiàn)[8]給出了一種新的跟蹤性概念——逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)。它與傳遞性，Ruelle－Takes混沌，性質(zhì)P等動(dòng)力系統(tǒng)有密切的聯(lián)系。因此，對(duì)具有逐點(diǎn)跟蹤性質(zhì)系統(tǒng)的研究是一件有意義的工作。本文證明了:若X連通，f是具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)的鏈可遷映射，則(1)f是Ruelle－Takes意義下混沌的;(2)f是拓?fù)浠旌系?(3)f具有性質(zhì)P。

1 定義和引理

定義1設(shè){xi}+∞i=0是X中的序列，如果對(duì)于任意i≥0，有d(f(xi)，xi+1)＜δ，則稱序列{xi}+∞i=0為f的一個(gè) δ偽軌。如果 x，y∈X，ε ＞0，存在 X 上的一個(gè)有限 ε 偽軌{x0，x1，…，xn}，使得 x0=x，xn=y，則稱{x0，x1，…，xn}為一個(gè)從x到y(tǒng)的ε鏈，n+1稱為該ε鏈的長(zhǎng)度。如果?ε＞0，?x，y∈X都存在一個(gè)從x到y(tǒng)的ε鏈，則稱f是鏈可遷的。

定義2 設(shè)f:X→X是連續(xù)映射，若對(duì)于任意ε＞0，總存在一實(shí)數(shù)δ＞0，使得f的任意δ偽軌{x0，x1，…}，對(duì)于某個(gè)N＞0，有{xN，xN+1，…}總能被X中某點(diǎn)相對(duì)于fε跟蹤，則稱f滿足逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)。

定義3 設(shè)動(dòng)力系統(tǒng)(X，f)，若對(duì)于每一對(duì)X的任意非空開(kāi)集U，V，總存在一個(gè)n＞0，使得fn(U)∩V≠?，則稱f是拓?fù)淇蛇w的;若對(duì)于每一對(duì)X的任意非空開(kāi)集U，V，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N，有fn(U)∩V≠?，則稱f是拓?fù)浠旌系摹?/p>

定義4 對(duì)于x∈X，若存在 ε＜0，對(duì)于任意 δ＞0，總存在 y∈X及 n∈?，當(dāng) d(x，y)＜ε時(shí)，有d(fn(x)，fn(y))＞δ，則稱f敏感依賴初始條件。如f:X→X是拓?fù)淇蛇w的和敏感依賴于初始條件的，則稱f是Ruelle－Takes意義下混沌的。

定義5 如對(duì)于X的任意兩個(gè)非空開(kāi)集U0，U1，總存在N∈?，對(duì)于任意k≥2及任意s={s(1)，s(2)，…，s(k)}∈{0，1}k，存在 x∈X，使得 x∈Us(1)，fN(x)∈Us(2)，…，f(k－1)N(x)∈Us(k)，則稱 f具有性質(zhì)P。

引理1 設(shè)f:X→X是連續(xù)映射，且具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，則對(duì)于任意l∈?，則fl也具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)。

證明:設(shè)?l∈? ，{xi}+∞i=0是fl的一個(gè) δ偽軌，即對(duì)于任意i≥0，有d(f(xi)，xi+1)＜ δ，則{x0，f(x0)，f2(x0)，…，fl－1(x0)，x1，f(x1)，f2(x1)，…，fl－1(x1)，x2，f(x2)，f2(x2)…}，即 yli+m=fm(xi)(0≤m≤l－1，i≥0)為f的一個(gè)δ偽軌。由于f具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，所以對(duì)于?ε＞0，存在X中的一點(diǎn)z，使得對(duì)某個(gè) N ＞0，d(fi(z)，yN+i)＜ ε(當(dāng) i≥0)。設(shè) N mod l=k(0≤k≤1 －1)，對(duì)?I≥0，取 i=lI+l－k亦成立，即d(flI+l－k(z)，yN+lI+l－k)＜ ε。而，即＜ε，即存在 N1=及點(diǎn)z1=fl－k(z)，有 d(flI(z1)，xN1+I)＜ε，所以fl也具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)。

引理2[1]若X連通，f:X→X鏈可遷，則f是鏈混合的。

引理3[8]設(shè)X是緊致度量空間，若f具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，對(duì)?n∈?，fn鏈可遷，則f敏感依賴于初始條件。

引理4[8]若f具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，對(duì)?n∈?，fn鏈可遷，則fn是拓?fù)淇蛇w的。

引理5[9]若fl是拓?fù)浠旌系模琹∈? ，則fl是鏈混合的。

引理6[8]設(shè)X是緊致度量空間，f:X→X是具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)的連續(xù)映射，且f是拓?fù)浠旌系模瑒tf具有性質(zhì)P。

2 定理

定理1 若f:X→X具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，?l∈?，fl是鏈混合的，則fl是拓?fù)浠旌系摹?/p>

證明 設(shè)?x，y∈X，B(x，ε1)={Z∈X:d(x，z)＜ε1}，B(y，ε2)={Z∈X:d(y，z)＜ ε2}。設(shè) f具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，由引理1知，對(duì)?l∈?，fl也具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)。故對(duì)于0＜ε＜min{ε1，ε2}，存在δ＞0，使得fl的任一δ偽軌，存在一正整數(shù)N∈?，能被X中某點(diǎn)相對(duì)于flε跟蹤。由于fl是鏈混合的，存在N1∈?，當(dāng)n≥N1時(shí)，總存在一個(gè)長(zhǎng)度為n的x到y(tǒng)的δ1鏈，也存在N2∈?，當(dāng)n≥N2時(shí)，總存在一個(gè)長(zhǎng)度為n的y到x的δ2鏈。設(shè)及，取 δ=max{δ1，δ2}，則 A 是 fl的一 δ偽軌，且(zN，zN+1，…)被 X 中的某點(diǎn) ωε 跟蹤。則存在 i＜j∈Z+，使得 zN+i=x，zN+j=y滿足 d(fli(ω)，zN+i)＜ ε，d(flj(ω)，zN+j)＜ ε，故fl(j－i)(B(x，ε1))∩B(y，ε2)≠?，而 j－i=N1，即 flN1(B(x，ε1))∩B(y，ε2)≠?。

所以存在 N1＞0，對(duì)?n≥N1，有 fln(B(x，ε1))∩B(y，ε2)≠?，故 fl是拓?fù)浠旌系摹?/p>

推論1 若f:X→X具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，則fl是拓?fù)浠旌系漠?dāng)且僅當(dāng)fl是鏈混合的。證明 由引理5和定理1即得。

此結(jié)論推廣了文獻(xiàn)[9]中的推論1。

定理2 若X連通，f是具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)的鏈可遷映射，則

(1)f是Ruelle－Takes意義下混沌的;

(2)f是拓?fù)浠旌系?

(3)f具有性質(zhì)P。

證明 由引理2可知f是鏈混合的，從而?n∈?，fn鏈可遷。由引理3，若f具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，則f敏感依賴于初始條件。由引理4即得f是Ruelle－Takes意義下混沌的.由定理1，可由f是鏈混合和具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)推出f是拓?fù)浠旌系模鴉具有性質(zhì)P可由引理6得到。

定理3 設(shè)(X，d)是緊致度量空間，f:X→X連續(xù)，若f是X上的具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)的等度連續(xù)映射，φ=K?X，f(K)?K，則f|K具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，且對(duì)于任給ε＞0，存在δ＞0，存在一N＞0，K中任一δ偽軌{xi}ni=0(0＜n≤+∞)總被xNε逐點(diǎn)跟蹤。

證明 因?yàn)閒等度連續(xù)，則對(duì)于任給ε＞0，存在0＜δ＜ε，使得任意給定 x，y∈X，當(dāng) d(x，y)＜δ，有由于f具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，對(duì)于，存在 δ1＞0，對(duì) X 中的任一 δ1偽軌，總存在 N ＞0，(zN，zN+1，…)被 X 中某點(diǎn)跟蹤。設(shè){xi}ni=0(0＜n≤+∞)是 K中任一 δ1偽軌，故存在N ＞0，存在 y∈X，使得 d(fi(y)，xN+1又因?yàn)閤N∈K，f(K)?K，所以任給 n∈Z+，fn(xN)∈K。而d(y，xN)，所以對(duì)于任給的n∈Z+，有d(fl(y)，fi(xN))，從而d(fi(xN)，xN+1)＜ε，即xN相對(duì)于f|K逐點(diǎn)偽軌跟蹤δ1偽軌{xi}ni=0(0＜n≤+∞)。由ε，n的任意性知f|K具有逐點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)。

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