Abel公式在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

李鴻昌

(北京師范大學(xué)貴陽附屬中學(xué),貴州 貴陽 550081)

Abel公式本身是一個恒等式,它源自大學(xué)的“數(shù)學(xué)分析”課程,在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用. 例如,通過Abel公式,可以證明用來判斷級數(shù)收斂的Abel判別法和Dirichlet判別法.另外,因?yàn)锳bel公式只涉及兩個實(shí)數(shù)組,而且方法是初等的,所以學(xué)生容易理解并接受[1]. 許多與求和相關(guān)的競賽試題,都有Abel公式背景.若能熟練掌握Abel公式,則可看透問題的本質(zhì),迅速解決問題.

1 Abel公式

可簡記為

證明因?yàn)閎1=B1,bn=Bn,bk=Bk-Bk-1(k=2,3,…,n-1),所以(a1-a2)B1+(a2-a3)B2+…+(an-1-an)Bn-1+anBn=B1a1+(B2-B1)a2+…+(Bn-Bn-1)an=a1b1+a2b2+…+anbn.

2 如何使用Abel公式

3 Abel公式在競賽試題中的應(yīng)用

3.1 在代數(shù)不等式中的應(yīng)用

由Abel公式,得

點(diǎn)評上式倒數(shù)第二步是逆用Abel公式.

證明由Abel公式,得

=nS(n).

我們將其推廣,可得到一般性命題:

于是,由Abel公式,得

我們將其推廣,可得到一般性命題:

這個不等式顯然成立,因?yàn)?/p>

證明由題設(shè),可知

a1c1+a2c2+…+ancn≥a1b1+a2b2+…+anbn.

由均值不等式,對k=1,2,…,n,有

又因?yàn)閍k≥ak+1(k=1,2,…,n),所以由Abel公式,得

證明由Abel公式,得到

因?yàn)閥1

應(yīng)用Abel公式,可得

3.2 在三角不等式中的應(yīng)用

因此,由Abel公式得

再進(jìn)一步推廣,可得:

3.3 與數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合的妙用

當(dāng)n=1時,結(jié)論顯然成立.

假設(shè)對于1≤k≤n-1,有Ak≤[kx],則由Abel公式,得

所以,由歸納假設(shè)及[x]+[y]≤[x+y],有

=n[nx],

故An≤[nx].

4 結(jié)束語

Abel公式可導(dǎo)出一系列有價值的命題,而且也為數(shù)學(xué)奧林匹克的命題提供了理論依據(jù).從上文的案例來看,不難發(fā)現(xiàn)有許多的奧林匹克競賽試題的命題背景均與Abel公式有關(guān).

應(yīng)用Abel公式,可以較好地解決一些較復(fù)雜的、帶有約束條件的、涉及數(shù)列求和的不等式問題,而這些問題用其他方法是不易解決的.通過學(xué)習(xí)Abel公式,可讓學(xué)生熟悉求和符號∑的用法,培養(yǎng)學(xué)生的恒等變形能力與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),提高運(yùn)算效率與解題能力,尤其是解決競賽中的不等式問題.