淺談常微分方程的課堂教學建設

岳宗敏

常微分方程是本科數學專業的核心基礎課程，內容包括：微分方程建模、初等積分法、線性系統、常系數線性系統、若干振動問題、一般理論、定性理論初步。自微積分創立以來，人們就開始研究微分方程。從最初的初等求解技巧到今天日益發達的數值模擬技術，從早期對方向場的理解到今天關于微分方程定性理論、分岔理論的成熟知識體系，三百多年的歷史使這門數學分支不僅成為了數學學科中隊伍最大、綜合性最強的領域之一，而且成為數學以外學科最為關注的領域之一。也正是因為科技發展對于微分方程的要求越來越強烈，所以各個學校都在結合自身的特點，開展一些教學上的改革，在課堂上展開多種形式的教學，力圖使學生能夠深刻理解微分方程所要傳達的信息。

常微分方程課堂教學建設的主要內容

數學類各專業培養具有良好的數學基礎和數學思維能力，受到數學建模、計算機和數學軟件方面的基本訓練，在數學和數學應用方面受到良好的教育，具有較高的科學素養和較強的創新意識，具備科學研究、解決實際問題及軟件開發等方面的基本能力和較強的更新知識能力的綜合人才。常微分方程課程是繼數學分析、高等代數之后的一門重要基礎課程，為學習泛函分析、偏微分方程等后繼課程提供強有力支撐，也是應用性很強的一門課程，在實現數學、力學等專業培養目標中具有不可替代的重要作用。綜合考慮該課程的特點，以及與其他相關課程的銜接問題，明確課程定位，確立本課程的具體目標為：（1）強化理論基礎，服務后續課程；（2）強化建模思想和方法，鼓勵學生思考，提高動手能力，培養創新意識。為此，加強課堂建設，需要從以下幾方面入手：

1.把課堂知識模塊化，突出重點加強難點

知識模塊分為概念篇、計算篇、理論篇、應用篇，其中概念篇主要包含微分方程基本概念定義等；計算篇主要包含微分方程初等積分法，高階微分方程解法，微分方程組的解法等；理論篇主要包含解的存在唯一性，解的定性理論等；應用篇包含常微分方程模型介紹，使用數學軟件Matlab、Mathematic以及Maple求解有關的常微分方程。學時上安排為：概念篇2課時，計算篇35課時，理論篇8課時，應用篇8課時，習題及討論課3課時。

重點為一階微分方程解的存在唯一性定理證明，各類一階微分方程的求解，線性微分方程的解的性質與結構，高階線性齊次和非齊次方程的求解，常系數齊次線性微分方程組基解矩陣的概念及求法。難點為一階微分方程解的存在唯一性定理證明，多重特征根情形下線性微分方程組的基本解組的求法，對實際問題進行建模與分析。

重點內容的解決主要通過習題課、討論、答疑等多種方法，理論性強的內容通過了解學生基礎，采取啟發、精講、補充相關知識等多種方法相結合，循序漸進。難點內容分別采取以下方法解決：（1）對解的存在唯一性定理的證明：通過代數方程和具體的一階微分方程作為引例，給出證明思路，然后將它分解成相對獨立的四個子命題來證明；（2）對多重特征根情形下線性微分方程組的基本解組的求法：詳細講解相關理論，總結推導結果，再通過一些典型的例子說明基本解組的具體求法；（3）實際問題進行建模與分析：通過分析實際問題的背景，補充相關理論知識，建立相關的微分方程模型。

通過以上的方式，既保障了基本教學內容，同時通過把教學的內容作了新的梳理，余出一定的時間給學生去思考與討論，訓練學生分析問題解決問題的能力。

2.采取靈活的教學模式，提高課堂教學質量

為了充分發揮教師在教學活動中的主導作用和學生在教學活動中的主體地位，改變過去單純重視知識傳授和模仿繼承前人知識的教學模式，實現知識傳授與能力培養相結合、模仿繼承與創新發展相結合的教學模式，我們對教學法進行了改革，充分發揮學生的積極性，培養學生分析問題和解決問題的能力。

例如我們將教學分為三個階段[1]：第一階段，以經典的微分方程模型為導入點,進而引入相關的微分方程理論知識,課堂“講、練、問、答”四位一體，以板書與多媒體相結合的方式，使學生掌握基本理論和方法；第二階段，轉被動為主動，以學生自學為主，教師為輔。選取適當的內容讓學生來講解，教師合理引導；第三階段，深層討論與拓展，把對微分方程興趣濃厚的學生組成討論班，討論班在每次章節結束的時候會給全班同學帶來本章節內容在實際中應用的有關報告以及多媒體的演示（獨立報告三十分鐘）。

其次可以在教師講解的基礎上，開展案例或者討論教學。將學生進行分組，針對不同組的實際情況，安排不同的自學內容，包括實際模型的建立，某個知識點的鞏固，知識點的深入討論，課堂內容總結，軟件應用等，教師引導學生自己認識問題，消化問題，解決問題，使學生逐步了解解決問題的基本思想。

總之，教學無定法而有良法，教師在課堂教學中始終堅持學生主體地位，采用適當的方法調動學生更多的主動性，不但教會學生學什么，更能體現出怎么學，這是我們教學的重要內容。大數學家歐拉之所以被稱為是一位好的教師，除了他本身有較高的數學功底外，更重要的是他愿意把自己解決問題的想法和思路與大家分享，而不是一味地強調結果。

3.教學形式與手段的多樣化，促進課堂教學

首先，傳統課堂教學與多媒體教學相結合。將傳統的數學教學中不能直觀表示的抽象的概念、定理等通過圖表、圖像、動畫等多媒體課件生動地表現出來，例如，在講向量場時，可用多媒體演示微分方程的向量場，從而加深學生的印象，使學生易于理解和掌握，激發學生的學習積極性，解決了課堂信息量不大的問題，使教學過程靈活多樣，提高了學生的學習興趣，形成了教學的良性循環。

其次，課堂教學和學生報告相結合。教師在教學中不應該全盤講滿，要留有適當的時間給學生思考和學習，不但要注重學生的學會，更應培養學生的會學，這樣的學生才具備創新能力。所以合理安排課堂內容與學生報告的內容，適當地留一定的時間給學生，將他們所學習到的東西和全班來分享，最后教師將學生的內容作以總結，以此方式替代教師全盤講授的過程，報告內容與課堂內容有關，既激發學生的學習興趣，同時又鍛煉了學生的表達、總結以及分析解決問題的能力。

最后，多種形式的考核相結合。考核學生不僅僅看期末的成績，把課堂的參與以及作業等結合起來，以適當的比例給予分數的認可，能夠一定程度地提高學生參與課堂的積極性。

注重多種形式的第二課堂的開辟

由于常微分方程的總課時只有56課時，所以在做好第一課堂建設的同時，不能松懈第二課堂的開辟。這不但是規定的課堂教學的有益補充，更加能夠豐富課堂教學內容。第二課堂的形式包括討論班，課后答疑，精品課程網站的互動，網上開放課堂等。特別是隨著網路的發展，網路對于人們的生活工作學習都在產生著重要的影響，課程上網是現代化教育發展的一個大的方向，也是新時期教育的新特征，所以利用網絡加強第二課堂的建設任重而道遠。

總之，提高教學質量，課堂是首要陣地，加強課堂建設是加強教學的重要內容，作為教師既要有主動探索的精神，也要有逐步實施的決心和耐心，在教學的這條道路上才能越走越遠，收獲也更多。

[1]岳宗敏.“常微分方程”課程的三段分層教學模式探析[J].中國電力教育，2009（2）：48-49.