隨機波浪聯合分布概率模型

郄祿文，張立丹，蔣學煉

(1.河北大學 建筑工程學院，河北 保定 071002；2.天津城建大學 土木工程系，天津 300384)

波浪力是防波堤最重要的外部荷載.文獻[1]通過規定"波列累積頻率"來反映不同類型建筑物上波浪力的作用性質.從表1可看出，因為波列中個別大波很可能造成直立結構的破壞，且修復困難，因此直立結構采用較小累積頻率，而波列中個別大波并不能決定斜坡結構的毀壞，且較易修復，故可采用較大累積頻率.

文獻[1]中也提出了波浪長期分布推演方法，即基于波浪觀測或氣象圖推算得到的波浪數據分波向統計其波高或周期頻率，再利用Pearson-III型、對數正態型、極值I型、Weibull型等理論累積頻率分布對經驗累積頻率曲線擬合外延.

但上述方法獲得的波高、周期為離散值，無法清晰表征出兩者之間內含的物理關系(在一定水深處，波高、周期之間存在波陡的約束)，且無法滿足風險評估工作中對波浪要素連續型聯合概率分布的要求.因此，本文基于文獻[2]和[3]的理論對該問題進行探討，以提供便于概率積分求解的波高、周期、波向聯合概率分布函數.

表1 設計波高的累積頻率標準

1 波浪氣候綜合模式

依照NMIMET模式[2]中，首先分波向對波浪實測數據進行統計分析，獲得給定波向下的波高與周期的聯合概率分布F(H,T)=F(T|H)F(H)，然后加入波向要素以獲得三者的聯合分布F(H,T,D)=F(H,T|D)F(D).由于實際海況的隨機三維性，實時觀測的波向與相應的波高周期數據往往不匹配，具有很大的波動性，考慮到極值統計針對大浪，其主波向通常與對應風向偏差很小，因此本文采用分風向代替分波向進行統計分析.需要說明的是，本文提到的波浪周期均為平均跨零周期Tz，以下簡稱周期(T).

1.1 指定波向的波高極值分布

文獻[1]建議利用Pearson-III型、對數正態型、極值I型、Weibull型等理論概型擬合經驗累積頻率曲線以獲得波高長期分布.但文獻[4]認為真實海況為風浪涌浪并存的混合浪，上述方法存在較大誤差，并建議可借助風速-波高參數化模式推導出波高長期分布，如下.

1)風速-波高聯合分布密度

f(H,Wr)=f(H|Wr)f(Wr)，

(1)

其中，H為波高，Wr為特征風速，f(Wr)為特征風速的概率密度，f(H|Wr)為指定特征風速Wr下波高H的條件概率密度.

公式(1)的建立基于如下前提：

①指定特征風速Wr對應的波高Hr為合成浪(風浪+涌浪)，即

(2)

其中，HY代表Wr=0時的平均涌浪波高，a,n為風成浪的波高參數[5].

②給定風速下的波高標準差

(3)

其中，b,c,d為根據實測數據擬合出的參數[5].

③給定風速下的波高條件分布密度為伽馬分布，即

(4)

由式(4)得到f(H|Wr)后，根據概率學理論，通過積分即可求得波高的邊緣分布

F(H)=?f(H|Wr)f(Wr)dHdWr.

(5)

2)波高長期概率分布

由公式(5)獲得波高邊緣分布F(H)后，可引入理論概型進行外延擬合.由于理論概型對波高長期分布影響很大，故應嘗試多種概型，擇優選用.工程中常用概型如下：

①對數正態分布

(6)

其中，μh和σh分別是lnH的平均值和標準差.

②Weibull分布

(7)

其中，A為位置參數；B為比例尺參數；C為形狀參數.

③極值-I型分布

F(H)=exp(-exp(-(H-A)/B))，

(8)

其中，A為位置參數；B為比例尺參數.

④極值-II型分布

(9)

其中，A為位置參數；B為比例尺參數；C為形狀參數.

⑤伽馬分布(Pearson-III型曲線)

(10)

其中，A為位置參數；B為比例尺參數；C為形狀參數.

⑥廣義伽馬分布

(11)

其中，A為位置參數；B為比例尺參數；C為形狀參數，D為指數參數.

外延擬合過程中，適線法、矩法、概率權重矩法、權函數法及模糊數學法等常用參數估計方法存在計算過程復雜、需人為調整等問題.文獻[6]所提出的多變量優化數值方法更為簡便，擬合結果與傳統方法基本吻合.

1.2 波高與周期的聯合分布

迄今為止，已有眾多學者對波高-周期長期聯合分布進行了研究.其中文獻[7]基于波高-周期散布資料所提出的5參數對數正態模式較為常用

(12)

其中μh，μt，σh，σt，ρht分別為h=lnH和t=lnT的均值、標準差、相關系數，可通過計算實測樣本(H,T)的對數值(lnH,lnT)樣本矩得到.

上述模式雖然獲得了較好擬合結果[7]，但其要求波高及周期均符合對數正態邊緣分布卻使其使用受到了限制.所以，此處仍以風速-波高參數化模式來描述其聯合分布

f(H,T)=f(T|H)f(H).

(13)

與公式(12)相比，公式(13)的優勢在于不限定波高的邊緣分布概型f(H).

此外，波周期的條件分布概型[4]

(14)

式中，μt|H為在給定波高H時對數周期t=lnT的條件均值；σt|H為給定波高H時t的條件標準差

其中，σT|H和μT|H為給定波高H下的周期條件均值、標準差，其計算式為

其中，μH,μT,σH,σT,ρHT為H，T的總體平均值、總體標準差和總體相關系數.綜合上述公式，基于觀測數據獲得μH,μT,σH,σT,ρHT5個統計參數，結合波高邊緣分布F(H)導出波高周期聯合分布F(H，T).其中，μH,σH可由波高邊緣分布F(H)直接導出，μT,σT,ρHT則可根據文獻[4]的回歸公式可得

ρHT=0.429+0.095 7σγ,

其中，μt,σt分別為對數周期t=lnT的均值、標準差.波浪受遮蔽的非沿海海域采用上述2種情況的加權值.

1.3 波高-周期-波向聯合分布

上述2節給出了指定風向的波高邊緣分布F(H)和周期條件分布F(T|H).基于“同時刻主/強波向與主/強風向近似一致”的認識，假定指定波向D與指定風向d條件下的波高-周期的聯合概率分布F(H，T)一致，即F(H,T|D,d)≈F(H,T|d)，

(15)

基于概率理論，波高-周期-波向的聯合分布概型為F(H,T,D)≈F(H,T|d)F(d).

(16)

2 工程實例分析

為驗證上述概型的準確性，采用美國國家數據浮標中心(NDBC)46001測站(位于北緯56°17'44"、西經148°10'19"，水深為4 206 m，資料跨度為1972—2004年)的實測數據進行日極值系列分析.由于篇幅限制，此處僅列出N向分析結果，其余方向具有類似規律.

利用傳統的直接統計方法以及本文提出的多變量函數最小值的數值方法，對46001測站33年波浪(北向)的平均周期和有效波高列于表2和表3,其頻數圖見圖1和圖2.

表2 46001測站N向波高-周期聯合分布(直接統計)

表3 46001測站N向波高-周期聯合分布(本文數值方法)

圖1 散布頻數圖(直接統計) 圖2 散布頻數圖(本文方法)Fig.1 Spread frequency chart (Direct statistical method) Fig. 2 Spread frequency chart (Numerical method)

3 結論

本文引入波浪氣候綜合模式(NMIMET)[2]對波浪觀測資料進行統計分析，引進隨機波浪多變量聯合分布函數,提出一種描述波高、周期、波向聯合分布的概型，便于防波堤風險分析與管理過程中的概率積分求解.通過美國國家數據浮標中心46001測站波浪觀測數據分析表明，采用求取多變量函數最小值的數值方法進行求解，與傳統方法波浪年極值數據擬合結果基本吻合，可有效重現波浪條件，但計算過程更為簡便.

參 考 文 獻:

[1] 中交第一航務工程勘察設計院有限公司.海港水文規范(JTS 145-2-2013)[M].北京:人民交通出版社,2013.

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