十七世紀數學的認識論根源

張俊青

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

十七世紀的歐洲由于受文藝復興思潮的沖擊以及對外擴張和探險的影響而成為近代科學與技術的發源地。航海大發現使人們對自己生活的地球有了新的認識，同時也帶來了一系列新的天文學問題。此外諸如軍事、船舶制造、機械生產等方面的一些技術問題也已無法用初等數學的知識來解決，數學迫切需要融入新的血液。這種形勢促使數學家關注對變量的研究，解析幾何的創立標志著近代數學的序幕開啟。以此為基礎，通過對當時一系列實際問題的算法的抽象總結，牛頓和萊布尼茲創立了微積分。

解析幾何和微積分的創立使數學突破傳統常量研究范圍，開始了數學發展史上由常量數學進入變量數學的一個嶄新時代。從此數學進入用運動、發展和聯系的觀點來分析把握研究對象的時期，人們對數學的認識也提升到了一個新的高度，對后來的數學乃至科學的發展都產生了深遠的影響。人們對數學的這些認識植根于當時這個時代的哲學、宗教和科學思想中，并在相互交織中逐漸演進。

1 哲學視野中的數學

由于科學和技術的巨大進步，近代西方哲學關注的中心由本體論轉向認識論，以笛卡爾身心二元論哲學思想為標志，哲學家的注意力開始聚焦于認識主體與客體的關系方面，形成了經驗論和唯理論兩個派別。

經驗論堅持人的一切認識最初都來自感覺和經驗，但他們不否定理性，而是把理性當作解釋和闡明經驗事實的涵義，以及對由經驗提供的基本前提進行邏輯推演的重要思維基礎來看待。由此，培根提出了新的科學方法——歸納法，通過搜集事實，提出假說，實驗驗證、歸納概括，就可以在事實的基礎上建立起科學理論。在數學上，經驗主義者與亞里士多德一脈相承，認為數學概念與知識來自于經驗，是從經驗對象的性質中歸納總結出來的，數學專注于這些概念之間的區別與聯系。比如，數字3的概念是對所有包含3個對象的集合的抽象，而三角形概念來自于對經驗世界中所有三角形的總結[1]71-73。

與之相對的唯理論則認為，就根源和基礎來看認識應是先天的、與生俱來的、依存于理性的，雖然認識中也存在感覺經驗的因素，但這是后天的、是以先天理性為前提的。在這個意義上，唯理論被稱為先驗論，其代表人物便是笛卡爾。笛卡爾認為，感性只能提供模糊不清的東西，只有理性才能提供清楚而明白的觀念，也只有通過理性才能得到真正的知識。他也不否認經驗在人的認識中所處的地位，但認為來源于經驗的知識是不可靠的，必須經過理性的加工。用理性標準來審視已有知識，我們所學的一切知識都可能是錯誤的、值得被懷疑的。解決這個問題的最好辦法是用理性的思維懷疑一切，然后再用一種可靠的方法將其一一證明。這就促使其尋找一種在一切領域都可驗證真理的普遍方法。數學是理性能夠清楚明白地理解的，所以笛卡爾將數學的方法視為驗證真理的普遍方法，并以用此方法找出的一些最根本的真理作為哲學的基礎。經過分析古代已有的幾何學和當時已有的代數學知識，他發現相對于抽象的希臘幾何，有規則和公式約束的代數更具有作為一門普遍科學方法的潛力。他認為一切問題都可轉化為數學問題、一切數學問題又可轉化為代數問題。在這種思想的推動下，他確立了坐標幾何學，即解析幾何學的基礎。從這里我們可看出，哲學觀引導著人們對數學的重視和研究,也引導著人們對數學真理的確認[2]。在笛卡爾思想的影響下，絕大部分唯理論者都視數學為絕對真理，他們以數學為知識范本，以證明數學定理的方式來證明哲學的真理，并把這種演繹方法作為其哲學的基本方法。

十七世紀由于理性主義與經驗主義的聯手，使數學突破了柏拉圖主義的傳統束縛，導致許多全新的數學思想與數學成果的產生。數學一方面從天文學、物理學和技術實踐中吸取靈感，創造了對數、三角，微積分等優秀成果，另一方面，數學中的理性主義精神和邏輯力量也在其它學科中發揮了重要的作用。

2 宗教視野中的數學

宗教一方面阻礙了數學的發展，但另一方面也不得不承認其在數學研究中的積極作用。近代數學不僅繼承了古希臘數學的優秀成果,而且也是基督教文化孕育下的產物?；浇涛幕袃蓚€最基本的共識，一是自然界有著嚴格的秩序，當然這個秩序是上帝設計的；二是關于人的作用，認為人的職責是利用理性和邏輯的力量去發現和論證這些秩序和規律。由此，數學的傳統精神與基督教教義不謀而合，以歐幾里得《幾何原本》為代表的數學因其確定性和嚴謹性而受到了宗教信徒的推崇，并作為秩序和理性的典范而被基督教思想所接納。在他們看來，數學被上帝作為設計自然的方式是上帝意志的集中體現,宗教活動的一個重要內容就是以虔誠的心去探求自然界的數學法則。十七世紀數學的發展在很大程度上受益于宗教觀念的轉變，這種轉變一方面更加強化了數學在人類知識中的地位和作用，另一方面也促使人們為滿足強烈的宗教動機而去研究數學，從而為數學研究提供了不竭的精神動力。數學家們以研究上帝的秘密和上帝安排宇宙的方案為動機，積極投身于探索大自然的數學規律中，開普勒、伽利略、笛卡兒、惠更斯、牛頓等近代科學和數學理論的開拓著們，都將數學研究看作是展示上帝智慧的方式，視其為神圣的宗教使命。在科學研究中他們不斷地驗證了天體和地面物體的運動可以用數學定律得到很好的解釋，從而反過來使他們更加確信上帝用數學方式創造了自然界。

十七世紀的科學家大部分都是宗教信仰者，牛頓是其中最具影響力的代表，也是當時最著名的物理學家和數學家。他將他的理論命名為《自然哲學的數學原理》，表明他的研究強調定量的數學描述而不是物理學解釋[3]45-47。在他的天體力學體系中，萬有引力是核心概念，而這個概念說明兩個物體不管相距多遠都具有相互的吸引力，這是完全超越人們經驗的，更不用說用物理學術語去解釋了。

基督教精神中的數學情懷說到底只是一種信仰，不可能是事實，但在那個宗教占統治地位的時代，這種信仰卻使研究者把尋求自然界的數學規律作為一個宗教信徒的神圣使命而不懈追求。更為有趣的是，數學本來是作為理性與秩序的典范而被基督教所垂青，其嚴謹的邏輯推理方式還被用來編寫龐大的教義體系，但另一個意想不到的結果卻是數學從此走上了經驗主義的研究道路。伽利略等人認為創世主已在他創造自然時將數學規律蘊含其中，所以人類必須通過研究現象世界、以對自然的經驗或實驗來達到對數學的理解，數學研究就與物理世界、實踐活動相互結合。這種觀點不僅使古代數學知識走上復興之路，而且將數學研究引向經驗主義的方向，并由伽利略發展出不同于傳統的現象描述和經驗總結的數學實驗法，為數學在十七、十八世紀的綻放奠定了基礎[4]。

沒有古希臘數學就沒有近現代數學，這一點誰也不會懷疑，但基督教精神的滋養與哺育也是近代數學思想的重要源泉，由此而興起的通過數學與科學實驗方法相結合去探求自然法則的思想,使數學在十八世紀大放異彩。

3 科學視野中的數學

數學在基督教文化中獲得了至高無上的地位，人們將數學研究作為虔誠的宗教活動，這更多地體現在觀念上，是隱性的。在實際情況中，當這種數學成果被揭示得越來越多的時候，人們往往會不自覺地形成一種認識，認為研究數學的目的就是解決物理或自然界的問題，數學只是解決這些問題的工具。工具論的思想在十八世紀的法國盛行，這時的數學被認為是解決自然科學問題的工具，它只有在解決實際問題時才是有用的，因此被歸于自然科學的一個門類[5]。事實上，十七世紀的數學雖然在物理、天文學研究中被作為理論取舍的標準，但在另一方面，數學也已經被看作是科學研究的工具，因為這個時代的數學家幾乎都是科學家，這種思想在數學內部就體現在數學研究中重算法輕演繹，重結果輕推導的風氣。這個時期的解析幾何、微積分、代數等學科就明顯地體現了數學的算法特征。

從古希臘以來，幾何學一直占統治地位，一個復雜的幾何難題的解決往往要靠天才的想法或絕妙的構思，并必須借助于直觀的圖形。笛卡爾認為，這種幾何學的研究方法過于抽象，也過于死板，不利于幾何學的發展。人的空間想象能力是有限的，而代數推理能力則可以走得更遠一些，并且比幾何方法具有更為一般的普適性。因此他在幾何學中建立了坐標系，將幾何圖形代數化，從而將幾何問題轉化為代數問題來解決，由此創立了解析幾何。笛卡爾哲學研究的目的是尋求自然的規律，為此必須先找到達到這個目的的統一的方法，而這個方法只有算術。笛卡爾認為，自然界任何問題都可以轉化成數學問題，而數學問題總可以轉化為代數計算問題，這也包括純粹幾何。笛卡爾將他的解析幾何思想作為他的《方法論》的附錄，體現了其主要目的就是要實現他的這一哲學論斷。由于引入了代數方法，使得幾何問題的證明成為可以按照固定的法則運算的算術過程，這才是解析幾何真正的宗旨與目的。

微積分的創立也體現了強烈的算法特征。十七世紀的數學和物理學家專注于尋求實際問題的算法，著名的如開普勒求旋轉體的體積、卡瓦列里用不可分量法求圖形的面積、笛卡爾用“圓法”求曲線的切線、費馬求函數的極大極小值、巴羅用“微分三角形”求曲線的切線等。這些問題在當時都被作為不同類型的問題處理，但在算法上卻具有相似的地方。牛頓和萊布尼茲從這些不同的問題當中敏銳地抓住了它們在算法上的共同之處，將它們中的共性抽象出來，總結為微分和積分兩種算法，并指出了二者之間互逆的運算關系。

十七世紀的代數研究主要是兩個方面，即對數和方程。由于在許多領域如天文學、航海學、工程和軍事技術中需要大量的數值計算，而且對計算的速度和準確性的要求也與日俱增，英國天才數學家耐皮爾在這個時候發明了對數算法。這種算法的優越性在于，它能將復雜的乘除法運算轉化為較為簡單的加減法運算，拉普拉斯認為這項發明因減少了運算量而大大延長了天文學家的壽命[6]233-237。在方程方面，數學家仍然關注三次及以上方程的求解，并致力于給出各種不同角度的求解公式或是一般方程的通用解法。對于較為復雜的方程，在給不出通用解或是解的形式過于復雜的情況下，數學家也從實用的角度去尋求一種求解近似解的方法。牛頓迭代法就是很典型的在實數或復數域上求方程近似解的方法，它使用方程所對應函數的泰勒級數的前幾項來求方程的近似解，其最大的優點是能通過反復迭代將非線性方程的求解轉化為線性方程的求解，而且在一般情況下收斂性較好，計算量較小。

總之，由于受當時將數學作為工具學科的科學觀的影響，這個時期的數學研究注重數值計算和尋求通用算法，沒有形成嚴格的理論體系。

4 結語

十七世紀的數學發展與文藝復興后人們對數學認識的改變密切相關，不管是從哲學、宗教還是從科學的角度來看，有關觀念的轉變都造成當時人們對數學認識的新變化。數學一方面高高在上成為人們的宗教信仰并通過數學研究揭示上帝的秘密，另一方面也沖破了傳統柏拉圖主義數學觀的束縛，開始將數學研究與科學研究緊密結合，并使數學成為一種解決實際問題的工具。這些觀念的轉變使這個時期的數學研究開辟了許多新的研究方向和領域，成為數學發展史上最富有成果的時期之一，從而也十八世紀數學的繁榮奠定了基礎。

［1］斯圖爾特·夏皮羅.數學哲學［M］.郝兆寬,楊睿之譯.上海:復旦大學出版社,2010.71-73.

［2］李鐵安,王青建.笛卡兒解析幾何思想的文化內涵［J］.自然辯證法通訊,2007,(4):74-80.

［3］M·克萊因.數學:確定性的喪失［M］.李宏魁譯.長沙:湖南科學技術出版社,2001.45-47.

［4］王幼軍.近代數學興起中的宗教因素［J］.上海師范大學學報(哲學社會科學版),2008,(3):23-29.

［5］楊靜,程小紅.17 世紀數學發展的算法傾向［J］.西北大學學報,2008,38(5):851-854.

［6］H·伊夫斯.數學史概論［M］.歐陽降譯.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社,2009.233-237.