多值函數教學方法探討

辛友明

（青島科技大學數理學院，山東 青島 266061）

對于單值復變函數引入引入函數極限概念，進而引入連續、可導、可微、積分的概念，建立微積分理論，這種方法是很自然，容易接受的。但是對于多值復變函數，由于具有多值性，顯然不可能直接將函數極限的概念，建立多值函數的微積分理論需要采取一定的方法才行。一個自然的想法是，將多值函數分解為多個單值連續函數分支，然后引入微積分理論。

在一般的教材[1-3]中是直接將分解方法直接介紹出來，然后證明該方法可以將多值函數分解為多個單值連續函數分支。教材在給出多值函數支點、支割線的定義之后，展開方法的討論。具體的方法是：首先，求出多值函數F（z）的支點；然后做出支割線K，得到函數的單值連續區域區域 D=CK；然后，在單值區域 D 內取點 z0，規定 F（z0）=f（z0），對任意z，在D內作連接z0到z的連續曲線C1，則當z沿曲線C1從z0連續變動到z時，函數 F(z)由值F（z0）連續變動為f(z)，可以證明 f(z)與曲線C1的選取無關，這樣就得到F(z)的一個分支f(z)，改變F(z)在的z0取值，相應得到F(z)的其他分支。

上述方法就像一個算法，實現了多值函數分解為單值連續分支的要求。學生雖然也理解該方法的步驟及證明，但是學習上還是有一定的困惑：為什么采取這樣的步驟，這些步驟之間有什么聯系？

正是上述原因，使闡明多值函數的單值連續分支的分解原理顯的非常重要。在明確分解原理后，可以推斷支點、單值連續區域、支割線等概念的特征，明白為什么要如此定義，從而從更高的層次了解多值函數分解為單值連續函數的方法。以下，詳細展開討論。

首先講述多值函數的分解原理。設E是多值函數F(z)的定義域內的一個區域，在E內任意取定點z1，z2,在區域E內任意作一條連接z1，z2的連續曲線，規定 F（z1）=f（z2），當 z 沿曲線 C1從 z1連續變動到 z2時，函數 F(z) 由值 f（z1）連續變動為 f（z2），若 f（z2）與曲線 C1的選取無關，那么，變動z2，我們便得到定義在區域E上的一個單值函數f(z)，可以證明f(z)在E上連續，從而得到了多值函數的一個單值連續分支，若改變F(z)在z1的取值，相應得到F(z)的其他單值連續分支，這時稱區域E是多值函數的一個單值連續區域。

接下來，我們分析多值函數F(z)的單值連續區域E的特征。

問題 1：設 z0是區域 E 內的任意一點，U（z1，r）是區域 E 內z0的一個鄰域，在 U（z1，r）內任意作一條包含z0的簡單閉曲線C1，在 C1上取定一點 z1，規定 F（z1）=f（z1），對任意 z，當 z沿曲線 C1從 z1逆時針連續變動再回到到 z1時，函數 F(z)由值連續變動 f（z1）為 f*（z1），那么函數值有沒有發生改變，即 f（z1）=f*（z1）？

分析：在曲線C1上任取不同于z1的z2點，將分為逆時針方向的兩段弧線在因為當z沿弧段從z1連續變動到z2時，函數F(z) 由值 f（z1）連續變動為 f（z2），所以當 z 沿弧段反方向從z2連續變動到 z1時(，函數 F(z)由值 f（z2）連續變動為 f（z1）。 因為弧段反方向和弧段是連接z和z的區域E內兩條不同的連續曲線，而E

21是多值函數F(z)的單值連續區域，因此，當z沿弧段從z2連續變動到 z1時，函數 F(z)由值 f（z2）連續變動為 f（z1），從而當 z沿曲線 C1從 z1逆時針連續變動再回到到z1時，函數值沒有發生改變。

以上我們得到了單值連續區域點的特征。我們將不滿足上述特征的點稱為函數的支點，即z0是多值函數的支點，若在z0充分小的鄰域內任意作一條包含z0的簡單閉曲線C1，在C1上取定一點z1，規定F（z1）=f（z1），當 z沿曲線 C1從 z1逆時針連續變動再回到到 z1時，函數 F（z）的值有有發生變化。

例 1：ArgZ 的支點為 0，∞。

以下，我們分析如何得到多值函數的最大的單值連續區域。

問題2：在擴充復平面上剔除多值函數的所有支點并且多值函數有定義的區域G是多值函數的單值連續區域嗎？

分析：若區域D區域內沒有包含支ArgZ點的簡單曲線，那么，由支點的特征，區域D就是一個單值連續區域。對于問題2中的區域G內仍有可能存在包含支點的簡單曲線，因此G不是多值函數的單值連續區域。

例2：區域C{0}不是輻角函數ArgZ的單值連續區域。

由問題2的分析，我們可以得到如何求函數的最大單值連續區域，即用一條曲線K連接所有的支點，然后CK便是多值函數的單值連續區域。因此我們定義多值函數的支割線為：連接多值函數所有支點的曲線。

［1］余家榮.復變函數[M].4版.高等教育出版社.

［2］鐘玉泉.復變函數論[M].3版.高等教育出版社.

［3］李銳夫，程其襄.復變函數論[M].高等教育出版社.

［4］陳先琪，宋忠生.關于初等多值解析函數支點和支割線的探討[J].山東建筑工程學院學報，1995，2.