借助“數(shù)軸”直觀，感悟“取舍”之源

邊小明+邊巨星

一、教之惑——重“法”而輕“理”

用“四舍五入”法求近似數(shù)是人教版新教材四年級上第13頁例7的內(nèi)容。其主要教學(xué)目標(biāo)是：會用“四舍五入”法把一個大數(shù)省略萬位或億位后面的尾數(shù)，求出它的近似數(shù)；并在教學(xué)過程中，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

從教材的編排意圖與教學(xué)安排中，我們可以發(fā)現(xiàn)“四舍五入”求近似數(shù)以一種方法的形式呈現(xiàn)時，其主要教學(xué)策略是通過教師的講授，結(jié)合具體數(shù)，介紹用“四舍五入”的方法將非整萬的數(shù)改寫成以“萬”作單位的數(shù)。在這個知識的學(xué)習(xí)中，教師的講授是主要的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生對知識結(jié)果大多以直接接受的方式獲取。

由此，不免讓人產(chǎn)生了很多疑惑。為什么要用近似數(shù)來表示數(shù)據(jù)呢？有什么可以讓學(xué)生信服或感同身受的依據(jù)嗎？

二、學(xué)之困——知其然不知其所以然

當(dāng)然，教師上述這些疑惑也正是學(xué)生的困惑。最明顯的表現(xiàn)就是：學(xué)生對為什么要“四舍”與“五入”，理解不深刻。對為什么“四要舍”，而“五要入”，及對已有的近似數(shù)是由哪個范圍“取舍”而來的，更是有些摸不著頭腦，由此產(chǎn)生錯誤也是在所難免的。如：“一個數(shù)省略萬后面的尾數(shù)后是8萬，這個數(shù)最大是（ ），最小是（ ）”這樣的課后習(xí)題，在筆者教學(xué)的班級中錯誤率高達(dá)42%。在有些學(xué)生的思維定勢中，“≈8萬”的數(shù)僅僅局限于和“8萬很接近的數(shù)”，對于其所表示的區(qū)間卻感到很茫然，有些學(xué)生認(rèn)為最小是75000，最大是84000，他們的思維顯然停滯在了萬位后面的數(shù)，即千位上。當(dāng)然，由于這類習(xí)題與簡單的“四舍五入”取近似數(shù)的思維方式相逆，而且條件和問題也相對開放，對于學(xué)生而言確有一定的難度。但是從學(xué)生解決問題的思維路徑來看，還是能夠發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生僅僅停留在機(jī)械套用方法的層面上，對一個近似數(shù)所代表的數(shù)值區(qū)間知之甚少，可謂是“不知其所以然”。

三、思之措——數(shù)軸直觀，“理”“法”并舉

與實驗教科書相比，新教材新增了“在生產(chǎn)和生活中，人們經(jīng)常使用近似數(shù)”的表述。生活當(dāng)中，我們使用的數(shù)是有具體的情境和目的的，受限于這些情境和目的，有時不需要精確的數(shù)字。比如，中國有多少人口，我們就無須知道其個位、十位，甚至萬位、十萬位，由此，就產(chǎn)生了取近似數(shù)的問題。

因此筆者認(rèn)為，在這一內(nèi)容的教學(xué)時，需要讓學(xué)生明白：1.為什么要產(chǎn)生近似數(shù)？（緣由是什么）；2.怎么樣去取近似數(shù)？（方法是什么）；3.所取的近似數(shù)是哪些數(shù)的“代表”？（跨度與范圍是什么）。著名教育家夸美紐斯在他的《大教學(xué)論》中提出：“在盡可能的范圍內(nèi)，一切事物都應(yīng)盡力地放在感官的跟前。”由此，筆者想到可以結(jié)合數(shù)軸演示與操作，來幫助學(xué)生加深對“四舍五入”法的直觀感悟，實現(xiàn)“理”與“法”的并舉。

四、踐之行——感悟“取舍”之源

【環(huán)節(jié)一】觀察入手，初步感受

師：（出示直尺）13接近哪個整十?dāng)?shù)？17接近哪個整十?dāng)?shù)？

生：13接近10，17接近20。

師：你認(rèn)為接近20的數(shù)有哪些？

生：16，17，18，19。

師：還有嗎？

生：還有尺上看不見的21，22，23，24。

（設(shè)計意圖：學(xué)生對于“接近整十?dāng)?shù)”這一概念是有一定知識經(jīng)驗和基礎(chǔ)的，通過直觀感受尺子中接近整十?dāng)?shù)的數(shù)，為學(xué)習(xí)“四舍五入”以及某一整十?dāng)?shù)所涵蓋的大致范圍奠定思維基礎(chǔ)。）

【環(huán)節(jié)二】建立模型，概括方法

師：是的。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，16，17，18，19這些數(shù)在10與20之間，相對于10，它們距離20更接近一些，我們可以這么說，它們約等于20，這在數(shù)學(xué)中叫作“入”，也就是尾數(shù)6、7、8、9往十位進(jìn)一位。（板書）

師：還有一些數(shù)：21，22，23，24這些數(shù)在20與30之間，相對于30，它們距離20更近一些，我們也可以說把它們約等于20，這在數(shù)學(xué)中叫作“舍”。也就是舍去了個位中的1，2，3，4尾數(shù)。（板書）

師：觀察一下，14和哪個整十?dāng)?shù)更接近？7呢？

生：和10比較接近，14是舍，7是入。

師：有一個數(shù)很特別，它在10和20中間。

生：15

師：這個數(shù)怎么辦呢？（停頓）

學(xué)生中有的說“舍”，有的說“入”。

教師用課件顯示直尺圖中的毫米單位，讓學(xué)生直觀感受15厘米1毫米，即15.1厘米的點，相比之下距離20厘米更近些

討論概括方法：5應(yīng)該往上進(jìn)一位，這種方法叫作“四舍五入”，是“舍”還是“入”要看省略尾數(shù)部分的最高位是大于等于5還是小于5。省略到十位，就要看個位，省略到百位，以此類推。

（設(shè)計意圖：對感知的知識建立數(shù)學(xué)模型，以學(xué)生可理解與接受的方式去體會“四舍五入”的由來，0～4需要舍去，6～9可以往上進(jìn)，學(xué)生都是可以很快理解，對于5的數(shù)學(xué)規(guī)定需要重點強(qiáng)化并概括方法，且可以在此滲透近似數(shù)是整十的數(shù)的取值范圍。）

【環(huán)節(jié)三】再次體會，理解近似

找出與a、b、c、d相鄰的整萬數(shù)，將最接近它的整萬數(shù)圈出來。說一說：它們分別在哪兩個數(shù)之間？最接近哪個整萬數(shù)？你是怎么想的？

（設(shè)計意圖：由于學(xué)生對近似數(shù)已經(jīng)有了初步認(rèn)識，而且a、b、c、d四個點在數(shù)軸上的位置也比較明了。讓學(xué)生自己嘗試解決問題，觀察和發(fā)現(xiàn)與一個數(shù)相鄰的整萬數(shù)，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生找出與一個數(shù)最接近的整萬數(shù)，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。）

【環(huán)節(jié)四】遷移大數(shù)，運用方法

教師出示地球的直徑數(shù)據(jù)12756千米及表示整萬的數(shù)軸。

師：在數(shù)軸中觀察12756在哪兩個整萬數(shù)中間？靠近誰？

生：在1萬和2萬中間，靠近1萬。

出示太陽直徑的數(shù)據(jù)1389000千米

師：想象一下，把這個數(shù)1389000放在以萬作單位的數(shù)軸上，它介于幾萬和幾萬之間？更靠近誰？endprint

生：在138萬和139萬之間，靠近139萬。

（設(shè)計意圖：通過數(shù)軸，再次體會近似數(shù)的就近原則）

師：剛才我們是觀察得出的結(jié)論，能不能用“四舍五入”法來解釋和介紹一下？

生：12756，要省略到萬位，我看千位是2，所以要舍去，約等于1萬。

生：1389000，要省略到萬位，千位是9，所以要入，約等于139萬。

（設(shè)計意圖：直觀演示與方法理解相結(jié)合，從而讓學(xué)生感悟“取舍”之“源”與“法”。）

【環(huán)節(jié)五】鞏固強(qiáng)化，深入感悟

課件出示練習(xí)：

1.把12756分別精確到萬位，千位，百位，十位。

設(shè)問：你有什么感受？

結(jié)論：省略到哪一位，關(guān)鍵看那一位的低一位。

2.逆思維思考：除了12756四舍五入后是1萬，你還能想到哪些數(shù)四舍五入后近似數(shù)也是10000？

3.觀察數(shù)軸：哪些數(shù)四舍五入后是10000？請寫下來，并討論。

生1：最小的是5000，從5000到9999，都是進(jìn)的。

生2：最大的是14000，舍去后就是10000；

生3：我有意見，最大應(yīng)該是15000.

師：是14000還是15000？

生4，不對，15000進(jìn)上去就是2萬了。

師： 15000肯定不是了，14000四舍五入后確實是10000，再找一下有沒有比14000更大的呢？

生5：我知道了，是14999。

師：說說你是怎么想的？

生5：從14000到15000還有999個整數(shù)，最大的是14999，這個數(shù)的千位是4，省略到萬的話，就是約等于1萬。

師：你們可以想象得出來嗎？14000到15000之間其實還有999個整數(shù)。

運用課件展開14000～15000的數(shù)軸。

（設(shè)計意圖：在數(shù)軸中，結(jié)合四舍五入的方法可以很直觀地看出1萬這個數(shù)所代表的區(qū)間與范圍，而涵蓋到14000還是到14999是學(xué)生理解的難點。筆者通過直觀操作和表象操作相結(jié)合，從簡單的方法運用到逆向思考，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)軸感受近似數(shù)所代表的精確數(shù)區(qū)間，突破了學(xué)生的認(rèn)知難點，從而達(dá)到知其所以然的目的。）

4.用求近似數(shù)解決實際問題。

（1）星老師花了大約9萬元買了一輛車，這輛車的實際價格可能是多少？

教師提示：從什么數(shù)到什么數(shù)都可以用9萬來表示？

（2）世界之最：

（設(shè)計意圖：其一讓學(xué)生在實際應(yīng)用中強(qiáng)化掌握用四舍五入求近似數(shù)的方法，其二讓學(xué)生在實踐中感受和體驗用近似數(shù)表達(dá)數(shù)據(jù)的必要性，進(jìn)一步體會求近似數(shù)方法的合理性。）

五、行之得——追本溯源方能知明篤行

知明方能行篤。學(xué)生的錯誤的產(chǎn)生總有其緣由，只有學(xué)生心中對所學(xué)的知識清晰而無疑時，他的學(xué)習(xí)行為才是真正意義上的自我建構(gòu)，這個“明”是學(xué)生對知識的認(rèn)識與理解之明。而教師需要追本溯源地厘清教與學(xué)中存在的問題脈絡(luò)，這個“明”既體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的理解，也體現(xiàn)在對學(xué)生的認(rèn)知困惑與結(jié)點的明了，只有這樣的“明”，才能真正有效地引導(dǎo)學(xué)生基于生活經(jīng)驗與認(rèn)知基礎(chǔ)獲得對新知識的內(nèi)化與理解。

在這次教改實踐中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷近似數(shù)的形成過程，從“接近”的字面意思入手，借助數(shù)軸直觀，感受“四舍五入”的由來，從而真正理解近似數(shù)的意義，并深刻地體會“四舍五入”法求近似數(shù)這一方法。既讓學(xué)生對知識學(xué)習(xí)達(dá)到了“明知”的效果，也讓筆者更深入理解了教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生，使自己的教學(xué)更加“篤行”。

（浙江省諸暨市同山鎮(zhèn)中心學(xué)校 311808）endprint

生：在138萬和139萬之間，靠近139萬。

（設(shè)計意圖：通過數(shù)軸，再次體會近似數(shù)的就近原則）

師：剛才我們是觀察得出的結(jié)論，能不能用“四舍五入”法來解釋和介紹一下？

生：12756，要省略到萬位，我看千位是2，所以要舍去，約等于1萬。

生：1389000，要省略到萬位，千位是9，所以要入，約等于139萬。

（設(shè)計意圖：直觀演示與方法理解相結(jié)合，從而讓學(xué)生感悟“取舍”之“源”與“法”。）

【環(huán)節(jié)五】鞏固強(qiáng)化，深入感悟

課件出示練習(xí)：

1.把12756分別精確到萬位，千位，百位，十位。

設(shè)問：你有什么感受？

結(jié)論：省略到哪一位，關(guān)鍵看那一位的低一位。

2.逆思維思考：除了12756四舍五入后是1萬，你還能想到哪些數(shù)四舍五入后近似數(shù)也是10000？

3.觀察數(shù)軸：哪些數(shù)四舍五入后是10000？請寫下來，并討論。

生1：最小的是5000，從5000到9999，都是進(jìn)的。

生2：最大的是14000，舍去后就是10000；

生3：我有意見，最大應(yīng)該是15000.

師：是14000還是15000？

生4，不對，15000進(jìn)上去就是2萬了。

師： 15000肯定不是了，14000四舍五入后確實是10000，再找一下有沒有比14000更大的呢？

生5：我知道了，是14999。

師：說說你是怎么想的？

生5：從14000到15000還有999個整數(shù)，最大的是14999，這個數(shù)的千位是4，省略到萬的話，就是約等于1萬。

師：你們可以想象得出來嗎？14000到15000之間其實還有999個整數(shù)。

運用課件展開14000～15000的數(shù)軸。

（設(shè)計意圖：在數(shù)軸中，結(jié)合四舍五入的方法可以很直觀地看出1萬這個數(shù)所代表的區(qū)間與范圍，而涵蓋到14000還是到14999是學(xué)生理解的難點。筆者通過直觀操作和表象操作相結(jié)合，從簡單的方法運用到逆向思考，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)軸感受近似數(shù)所代表的精確數(shù)區(qū)間，突破了學(xué)生的認(rèn)知難點，從而達(dá)到知其所以然的目的。）

4.用求近似數(shù)解決實際問題。

（1）星老師花了大約9萬元買了一輛車，這輛車的實際價格可能是多少？

教師提示：從什么數(shù)到什么數(shù)都可以用9萬來表示？

（2）世界之最：

（設(shè)計意圖：其一讓學(xué)生在實際應(yīng)用中強(qiáng)化掌握用四舍五入求近似數(shù)的方法，其二讓學(xué)生在實踐中感受和體驗用近似數(shù)表達(dá)數(shù)據(jù)的必要性，進(jìn)一步體會求近似數(shù)方法的合理性。）

五、行之得——追本溯源方能知明篤行

知明方能行篤。學(xué)生的錯誤的產(chǎn)生總有其緣由，只有學(xué)生心中對所學(xué)的知識清晰而無疑時，他的學(xué)習(xí)行為才是真正意義上的自我建構(gòu)，這個“明”是學(xué)生對知識的認(rèn)識與理解之明。而教師需要追本溯源地厘清教與學(xué)中存在的問題脈絡(luò)，這個“明”既體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的理解，也體現(xiàn)在對學(xué)生的認(rèn)知困惑與結(jié)點的明了，只有這樣的“明”，才能真正有效地引導(dǎo)學(xué)生基于生活經(jīng)驗與認(rèn)知基礎(chǔ)獲得對新知識的內(nèi)化與理解。

在這次教改實踐中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷近似數(shù)的形成過程，從“接近”的字面意思入手，借助數(shù)軸直觀，感受“四舍五入”的由來，從而真正理解近似數(shù)的意義，并深刻地體會“四舍五入”法求近似數(shù)這一方法。既讓學(xué)生對知識學(xué)習(xí)達(dá)到了“明知”的效果，也讓筆者更深入理解了教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生，使自己的教學(xué)更加“篤行”。

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生：在138萬和139萬之間，靠近139萬。

（設(shè)計意圖：通過數(shù)軸，再次體會近似數(shù)的就近原則）

師：剛才我們是觀察得出的結(jié)論，能不能用“四舍五入”法來解釋和介紹一下？

生：12756，要省略到萬位，我看千位是2，所以要舍去，約等于1萬。

生：1389000，要省略到萬位，千位是9，所以要入，約等于139萬。

（設(shè)計意圖：直觀演示與方法理解相結(jié)合，從而讓學(xué)生感悟“取舍”之“源”與“法”。）

【環(huán)節(jié)五】鞏固強(qiáng)化，深入感悟

課件出示練習(xí)：

1.把12756分別精確到萬位，千位，百位，十位。

設(shè)問：你有什么感受？

結(jié)論：省略到哪一位，關(guān)鍵看那一位的低一位。

2.逆思維思考：除了12756四舍五入后是1萬，你還能想到哪些數(shù)四舍五入后近似數(shù)也是10000？

3.觀察數(shù)軸：哪些數(shù)四舍五入后是10000？請寫下來，并討論。

生1：最小的是5000，從5000到9999，都是進(jìn)的。

生2：最大的是14000，舍去后就是10000；

生3：我有意見，最大應(yīng)該是15000.

師：是14000還是15000？

生4，不對，15000進(jìn)上去就是2萬了。

師： 15000肯定不是了，14000四舍五入后確實是10000，再找一下有沒有比14000更大的呢？

生5：我知道了，是14999。

師：說說你是怎么想的？

生5：從14000到15000還有999個整數(shù)，最大的是14999，這個數(shù)的千位是4，省略到萬的話，就是約等于1萬。

師：你們可以想象得出來嗎？14000到15000之間其實還有999個整數(shù)。

運用課件展開14000～15000的數(shù)軸。

（設(shè)計意圖：在數(shù)軸中，結(jié)合四舍五入的方法可以很直觀地看出1萬這個數(shù)所代表的區(qū)間與范圍，而涵蓋到14000還是到14999是學(xué)生理解的難點。筆者通過直觀操作和表象操作相結(jié)合，從簡單的方法運用到逆向思考，讓學(xué)生結(jié)合數(shù)軸感受近似數(shù)所代表的精確數(shù)區(qū)間，突破了學(xué)生的認(rèn)知難點，從而達(dá)到知其所以然的目的。）

4.用求近似數(shù)解決實際問題。

（1）星老師花了大約9萬元買了一輛車，這輛車的實際價格可能是多少？

教師提示：從什么數(shù)到什么數(shù)都可以用9萬來表示？

（2）世界之最：

（設(shè)計意圖：其一讓學(xué)生在實際應(yīng)用中強(qiáng)化掌握用四舍五入求近似數(shù)的方法，其二讓學(xué)生在實踐中感受和體驗用近似數(shù)表達(dá)數(shù)據(jù)的必要性，進(jìn)一步體會求近似數(shù)方法的合理性。）

五、行之得——追本溯源方能知明篤行

知明方能行篤。學(xué)生的錯誤的產(chǎn)生總有其緣由，只有學(xué)生心中對所學(xué)的知識清晰而無疑時，他的學(xué)習(xí)行為才是真正意義上的自我建構(gòu)，這個“明”是學(xué)生對知識的認(rèn)識與理解之明。而教師需要追本溯源地厘清教與學(xué)中存在的問題脈絡(luò)，這個“明”既體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的理解，也體現(xiàn)在對學(xué)生的認(rèn)知困惑與結(jié)點的明了，只有這樣的“明”，才能真正有效地引導(dǎo)學(xué)生基于生活經(jīng)驗與認(rèn)知基礎(chǔ)獲得對新知識的內(nèi)化與理解。

在這次教改實踐中，筆者通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷近似數(shù)的形成過程，從“接近”的字面意思入手，借助數(shù)軸直觀，感受“四舍五入”的由來，從而真正理解近似數(shù)的意義，并深刻地體會“四舍五入”法求近似數(shù)這一方法。既讓學(xué)生對知識學(xué)習(xí)達(dá)到了“明知”的效果，也讓筆者更深入理解了教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生，使自己的教學(xué)更加“篤行”。

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