電磁驅動電路中能量轉化關系探討
—— 對一道題“錯解”的分析

朱木清 姜付錦

（武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300）

文獻［1］就一道電磁驅動電路題目的求解進行了辨析.筆者認為，原文的分析存在錯誤，特提出探討.不當之處，敬請同仁批評指正.

1 題目

如圖1所示，平行長直金屬導軌置于豎直平面內，間距為l，導軌上端接有阻值為R 的電阻.質量為m 的導體棒垂直跨放在導軌上，并擱在支架上.導軌和導體棒的電阻均不計，且接觸良好，它們之間的摩擦不計.導體棒所在矩形區域內存在著垂直向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B.開始時，導體棒靜止，當磁場以速度v1勻速向上運動時，導體棒隨之開始運動，并很快達到恒定的速度，此時導體棒仍處于磁場區域內，求：

（1）導體棒所達到的恒定速度值；

（2）導體棒以恒定速度運動時，電路中消耗的電功率.

圖1

2 原文給出的解答

（1）設導體棒的速度為v，則電路中感應電動勢為

由于電路中存在R 和導體棒兩個用電器（導體棒切割磁感線是“電源”角色，同時又是一個用電器，為“電動機”角色），所以應有

導體棒速度恒定時，有F安＝BIl＝mg，即

速度恒定時，有

聯立式（1）～（6）求得

（2）設電路中消耗的電功率為P，則

3 對原文中解的討論

原文解答中，一方面給出電路中感應電動勢表達式為E ＝Bl（v1－v）；同時，又考慮導體棒是“電動機”，認為電路中電壓關系為

筆者認為，這樣就出現“U棒”的重復計算.

從電路角度看，根據法拉第電磁感應定律，電路中的感應電動勢為

由于導軌和導體棒的電阻不計，電路中總電阻就是R，根據歐姆定律E ＝IR，故電壓關系應為

而不是原文中的

那么，關系式Bl（v1－v）＝IR 是否沒有體現出導體棒身兼“發電機”和“電動機”兩種角色？現將上式改寫成

再從能量角度看，閉合電路的歐姆定律的實質反映的是能量的轉化和守恒關系.在Bl（v1－v）＝IR 中，將等式兩邊同乘以I，得

再變形移項為IBlv1＝I2R ＋BIlv，即

此式中，IE正正是外界提供給電路的總的電功率，I2R 是 電 路 內 消 耗 的 焦 耳 熱 功 率，F安v 正 是 安培力驅動導體棒做機械功的功率.等式正好符合把磁場和電路當一個系統，系統的能量轉化關系.

題目中導體棒速度恒定，動能變化ΔEk＝0，根據動能定理有

可見，導體棒作為“電動機”角色，產生反電動勢E反＝Blv，實現了從電路獲取電能通過安培力做功轉化為機械能.與原文中的式（6）對比可知，P棒就是P安，原文中式（4）對應的就是反電動勢E反＝Blv.因此，在等式Bl（v1－v）＝IR 右邊再加一項U棒，不僅犯了電壓計量打“夾賬”錯誤，同時也違背了能量的轉化和守恒規律.故原文解答結果是錯誤的.

4 電磁驅動電路中的能量轉化關系釋疑探討

原文中討論的問題，跟幾道高考題（2007年上海卷第23題，2007年重慶卷第23題，2008年天津卷第25題）是同一模型題.在電磁感應“切割型”問題教學中，對于磁場不動，導體運動—— 電磁阻尼情形，教學中形成普遍共識.對于磁場運動，拖動導體運動—— 電磁驅動情形，到底怎樣分析，在教學中差異較大.筆者認為，基于中學基礎，下面的類比解釋，學生較易理解.

作為電源的導體棒所受的安培力跟滑動摩擦力類似，滑動摩擦力可以是物體運動的動力，也可以是阻力，但一定是阻礙物體間的相對滑動.滑動摩擦力作用過程中，機械能向內能的轉化量值一定等于滑動摩擦力乘以接觸面間的相對滑動路程Q ＝fΔs.

同樣，“切割型”電磁感應問題中，作為電源的導體受到的安培力，可以是導體運動的阻力（“電磁阻尼”情形），也可以是導體運動的動力（“電磁驅動”情形），但“電源導體”所受的安培力一定總是阻礙該導體相對磁場的運動.上述“電磁驅動”情形中，磁場運動，導體相對磁場反向運動，受到的安培力企圖阻礙這個相對運動（“電磁驅動”仍遵循“阻礙”“變化”），則導體受到的安培力方向跟磁場運動方向相同.該過程中電路獲得的電能一定等于安培力乘以導體相對磁場運動的位移E電＝F安Δs.

研究“電磁驅動”情形，如果將磁場和電路組成的整體當一個系統，磁場運動必然存在外界對磁場施加作用，磁場勻速運動時，外界對磁場的作用力等于磁場拖動導體棒的安培力，因磁場和導體棒相對運動位移關系為

式中F安Δs等于電路獲得的總電能.因此，外界對系統提供的總功率F安v磁＝F安v導＋IE.式中F安v導為拖動導體的安培力的功率，IE 為電源的總功率.若僅對電路而言，被磁場拖動的導體就是電源，電路的電動勢E ＝Bl（v磁－v導），電源的總功率IE ＝IBl（v磁－v導）＝F安u相對，也等于電路各負載消耗的電功率之和.

1 林飛.鄧雪益.揭示隱藏在電磁驅動電路中的“非純電阻”.中學物理：2013，（7）：87

2 張鵬程，李春密.電磁感應現象中能量轉化問題探討.物理教學：2012，（7）：23