基于層次分析法軸系校中多目標優化研究

肖能齊, 周瑞平, 林晞晨

(武漢理工大學 能源與動力工程學院， 湖北 武漢 430063)

基于層次分析法軸系校中多目標優化研究

肖能齊, 周瑞平, 林晞晨

(武漢理工大學 能源與動力工程學院， 湖北 武漢 430063)

在軸系合理校中過程中，目前僅僅是考慮單一目標函數進行最優化校中，而在實際校中過程中需要考慮多因素進行校中。本文考慮多目標因素下的合理校中,根據各目標對象所占的權重比，利用層次分析法求出滿足軸系校中各項要求的軸承合理變位可行值。

軸系 多目標優化 層次分析法

1 前言

軸系校中問題，其最終是以軸承變位的形式出現的。目前，軸系進行合理校中采用的主要方法為試湊法，即根據直線狀態下軸承負荷影響系數和自己的經驗等來調整軸承的垂向位置，使之滿足規范要求。近年來，隨著計算機應用軟件的發展，有許多學者對其進行研究。文獻[1]采取以尾軸承最小為目標函數，將軸系校中優化處理為線性規劃問題。文獻[2]以中間軸承所承受的負荷最小為目標，通過中間軸承變位與主軸承變位的優化取值來進行求解最優解。文獻[3]和文獻[1]采用同樣的目標函數，利用有限元法建立軸系校中模型，基于遺傳算法對該問題進行求解。文獻[4]主要針對低速柴油機推進軸系為研究對象設立目標函數，對主機軸承負荷進行優化。

上述文獻通過MATLAB或VB等開發軟件，在僅對某單一目標函數，而完全不考慮軸系校中過程中的其他因素能夠求解得到最優解。在實際軸系校中過程中，不同類型船舶雖然都需要對多個因素進行綜合考慮，但是選取的因素并不完全相同，同時各因素在校中過程中所占權重也不是同等重要。因此，本文以低速推進軸系校中為研究對象，在考慮多目標因素條件下，根據不同因素所占的權重，利用單純形法和層次分析法相結合對軸系校中優化進行研究，使其更加符合實際需要。

2 合理校中的設計變量

軸系合理校中的核心任務就是求出各軸承合理的變位值，從而使得軸承的最佳負荷值滿足規范要求，因此設定設計變量為

y=[Δy1,Δy2…Δyi…Δyn]

式中：Δyi為第i個軸承的垂向邊位值，其中Δy1=0,Δy2=0。

3 合理校中的主要約束條件

在進行軸系合理校中，建立軸系校中數學模型解出軸系在直線狀態下的各軸承負荷、軸段應力與彎矩和軸截面處的轉角等。通過調整相應軸承的垂向變位值，使得各軸承的負荷等相關參數均達到最佳值。對推進軸系來說軸承負荷的變化量與垂向變位的關系可用軸系各軸承負荷影響系數矩陣來表示：

?

軸系合理校中是一個復雜的過程，需要考慮許多因素。軸系的合理校中可以歸納為具有線性約束的最優化問題。在軸系的合理校中過程中要滿足如下技術要求[5]。

(1) 軸承的實際負荷不得超過設計或制造廠規定的允許值。

(2) 軸承中任一軸承負荷應為正值，而且軸承最小負荷應不小于軸承相鄰兩跨軸段所有重量總和的20%。

(3) 各軸截面上的附加彎曲應力不應超過設計規定的允許極限值。

(4) 對柴油機直接傳動的軸系，計算時應確保作用在柴油機輸出端法蘭處的彎矩和剪力不超過制造廠規定的數值。

(5) 尾管后軸承支點處軸截面的最大轉角不超過3.5 ×10-4rad或者不超過3.0 ×10-4rad[6]，否則需采取相應措施使之符合規定。

根據上述軸系校中的要求，軸系合理校中問題的主要約束條件有：

式中：Fi_min、Fi和Fi_max分別表示軸承i的最小許用負荷、實際負荷和最大許用負荷；Pi_min、Pi和Pi_max分別表示軸承i的最小比壓、實際比壓和最大比壓；σ尾軸或螺旋槳軸、σ中間軸和σ推力軸分別表示螺旋槳軸、中間軸和推力軸最大彎曲應力；[σ尾軸或螺旋槳軸]、[σ中間軸]和[σ推力軸]分別表示螺旋槳軸、中間軸和推力軸許用彎曲應力；θ和θmax分別表示尾管后軸承支點處軸截面的轉角(rad)和許用轉角(rad)。

4 合理校中的目標函數

上述討論了軸系校中的主要技術要求及軸實際約束條件，為使軸系校中更加合理，需要選取合適的目標函數，軸系合理校中時可供選擇的目標函數有[1]：

(1) 后尾軸承負荷盡可能小。因為軸系螺旋槳的懸臂作用，全部軸承中后尾軸承受力最大，往往形成很嚴重的“邊緣負荷"，其磨損也最大。所以為了確保軸系的正常運行，一般在校中計算中，應通過調整軸系中各軸承的變位，使尾軸后尾軸承負荷盡可能小。后尾軸承負荷受力最小F1(y)：

式中：F10為在直線狀態下后尾軸承負荷；ΔF1為各軸承垂向變位對后尾軸承負荷影響的變化量之和。

(2) 主機后兩道軸承負荷應盡量相同。由于主機的最后兩道軸承相距太近，相互之間影響特別敏感，所以只有在軸承變位值恰當的時候軸承受力才會均衡。即

Δfj=|Fj-Fj+1|

式中：Fj為主機最后第一道軸承負荷；Fj+1為主機最后第二道軸承負荷。

(3) 主機各軸承變位值相等，且變位絕對值最小。為了在現場實際安裝主機更加方便，在調整主機軸承垂向變位時最好整體下降。即

式中：Δyk+1為主機軸承的最小變位值。

(4) 中間軸承與主機最后一道軸承的負荷之差最小。因為中間軸承及主機最后一道軸承受軸系校中軸承變位的影響最大，所以：

Δfm=|Fm-Fm+1|

式中：Fm為中間軸承負荷；Fm+1為主機最后一道軸承負荷。

(5) 主機輸出法蘭處彎曲與剪力盡量不靠近靜態許用負荷邊界線。目標函數根據主機的靜態負荷-彎矩圖得到。

(6) 輸出軸大齒輪前/后軸承負荷應盡量相同。在進行合理校中時，通常保證齒輪箱軸承受力均等，即

Δfi=|Fi-Fi+1|

式中：Fi為輸出軸大齒輪后軸承負荷；Fi+1為輸出軸大齒輪前軸承負荷。

對于低速機推進軸系和中高速機齒輪傳動軸系在進行軸系校中過程中，選取目標函數的側重點顯然不一樣。一般來說，對于低速柴油機往往更關注主機輸出法蘭處彎曲與剪力是否在許用范圍內和中間軸承與主機最后一道軸承的負荷之差最小。而各船級社規定，對于中高速齒輪傳動軸系側重點是盡量保證齒輪箱輸出軸前/后軸承負荷相等和尾軸后尾軸承負荷最小。本文將以低速機推進軸系為研究對象，同時考慮實際軸系校中的諸多因素進行最優化分析。

5 層次分析法

對于選取單一目標函數進行軸系校中，可以用通常解線性規劃的單純形法解出。單純形法的主要思想就是先找一個基本可行解，判別其是否為最優解。如不是，就找一個更好的基本可行解，再進行檢驗。如此迭代進行，直至找到最優解,或者判定它無界。因此采用此方法，根據一個目標函數可以得到軸承變位值為

式中：yi為第i目標函數得到的各軸承變位值；yik為在第i目標函數下，第k個軸承的變位值。

通過前文的闡述可知，在實際軸系校中過程中目標函數和約束條件并不是單一的，而且各目標函數所占的權重不一樣，單純形法并不能解決問題。因此，需要本文通過層次分析法來解決該問題。

層次分析法(AHP法)是由美國運籌學家T.L.Saaty教授在20世紀80年代初提出的一種由兩種比較過渡到多種比較的系統方法，亦是將半定性、半定量問題轉化為定量問題的行之有效的方法。它是把定性方法和定量方法相結合的一種擬定量方法。它可以使人們的思維過程層次化，逐層比較多種關聯因素，為分析、決策、預測或控制事物的發展提供定量依據。步驟如圖1所示。

圖1 步驟示意圖

假設影響船舶推進軸系合理校中除考慮必要條件時，還與n個因素有關。即n個目標因素，分別用W1，W2，…，Wn來表示。為利于決策者對因素作出合理與正確的比較判斷，將判斷等級分為：同等重要、稍微重要、比較重要、明顯重要、強烈重要和極端重要六個等級。僅僅從定性的角度區分影響船舶推進軸系合理校中任意兩個因素之間的相對重要程度是遠遠不夠的，所以需要利用AHP法將影響合理校中因素這個定性問題轉化成定量問題。在進行軸系合理校中時，決策者會對每一層次中各因素相對重要性給出判斷，這些判斷通過引入合適的標度用數值表示出來，寫成判斷矩陣Q。因此，每一個判斷矩陣的作用是在上一層某一個元素的約束條件下，對同層次的一組元素之間的相對重要性進行比較的結果。

在軸系校中過程中，計算者根據判斷列出判斷矩陣Q，計算滿足QW=nW的特征根n及其對應的特征向量W，上式可寫成：

式中：Wi/Wj為反映任意2個因素之間的相對重要程度。

T. L. Saaty教授提出如表1所示的指數標度。

表1 判斷矩陣標度及其含義

因此只要知道矩陣Q，從數學上求出Q的最大特征根及其特征向量，就能得到W=[q1…qi…qn]，即得到根據決策者對校中因素的排序結果。

Y=W[y1…yi…yn]

式中：Y為在合理軸系校中過程中引入層次分析法，很好地解決了多因素及各因素所占權重不同條件下的軸系校中最優化求解問題。

6 實例計算與分析

以某船廠生產制造的48 500 dwt貨船軸系為研究對象，其推進軸系由槳軸(長：5 655 mm)、中間軸(長：6 160 mm)和MAN B&W 6S46MC-C8主機組成，螺旋槳軸基本軸徑450 mm，中間軸基本軸徑370 mm。除主機軸承外，還有前/后艉管軸承以及中間軸承。螺旋槳質量為11 576 kg，軸系布置簡圖如圖2所示。此外，在熱態(55℃)計算時考慮主機各軸承抬升量為0.21 mm。軸系簡化為59個節點，58個梁單元，節點和單元編號從尾部開始。直線狀態下，各軸承負荷如表2所示。

圖2 軸系布置簡圖

軸承名稱軸承位置(mm)支反力(kN)20%G(kN)1#后尾軸承1835183.572329.39882#前尾軸承4542-35.690712.23463#中間軸承705550.712421.54194#軸承1216973.86237.42575#軸承12874-22.99856.84266#軸承1365677.226029.52007#軸承1443870.807629.52008#軸承1522086.879729.52009#軸承1600225.945514.7600

通過表2可知，2#前尾軸承以及5#軸承負荷均為負值，達不到船級社規范要求，所以需要對相應軸承進行調整使之符合規范要求。

6.1 設計變量的確定

根據如圖2所示的軸系布置簡圖可知，為使各軸承負荷達到規范要求，需調整軸承的垂向位置，在此設定設計變量為

y=[Δy1,Δy2,Δy3,Δy4,Δy5,Δy6,Δy7,Δy8,Δy9]

式中：Δyi為第i個軸承的垂向邊位值。

在進行軸系合理校中過程中，一般來說將前尾軸承/后尾軸承(1#軸承/2#軸承)放在軸線的理論中心線上，因此

Δy1=0,Δy2=0

即y=[0,0,Δy3,Δy4,Δy5,Δy6,Δy7,Δy8,Δy9]

6.2 目標函數及約束條件的選取

通過對該低速機推進軸系特點進行分析之后，本文擬選取以下目標函數進行軸系校中多目標研究。

除上述三個目標函數以外，根據船級社規范要求主機輸出法蘭處彎曲與剪力滿足靜態許用負荷作為一個目標函數，其目標函數對應的目標對象分別用A、B、C和D表示。

在對軸系校中進行最優化過程中，確定目標函數之后，軸系校中的主要約束條件需滿足式(2)～(5)的要求。

對于上述四個目標函數利用單純形法計算分別求解在約束條件下，熱態時軸承合理的垂向變位值yA、yB、yC和yD，單位為mm，計算結果如表3所示。由于篇幅限制，在這里不列舉除軸承負荷以外的其他相關數據。

表3 軸承垂向變位結果

6.3 多目標優化

在實際軸系校中過程中，僅僅針對某一目標函數進行軸系校中顯然是不夠合理，而且由于A、B、C和D目標對象在實際校中過程中所占權重并不是同等重要，因此在該推進軸系校中過程中需要利用層次分析法進行綜合分析。

由于對目標函數所對應的目標對象A、B、C和D四個因素的重要程度均不一樣，所以利用層次分析法(AHP法)得到重要程度判斷表4，進而根據表1得到判斷矩陣標度，如表5所示。

表4 各種目標下軸承的負荷 單位：kN

表5 重要程度判斷表

注：重要程度比較是行與列相比較，如：表中“強烈重要”是指A比B強烈重要。

根據表5判斷矩陣標度可以得到矩陣Q：

接著求出矩陣Q的最大特征值以及最大特征值所對應的特征向量。為了顯示各性能指標A、B、C和D占總指標的百分比，對各指標歸一化后，即得各性能指標的權重值:

W=[0.4692 0.2239 0.2012 0.1058]

因此，根據單純形法計算得到的各軸承變位值

[][]

(見表3)和式(14)，可以得到在考慮四個因素前提下最終變位值和熱態下軸承負荷，如表6所示。

表6 考慮四個因素的最終變位值

7 結語

通過單純方法和層次分析法進行編程，不僅可以考慮多目標因素，而且還可以根據不同目標因素所占的權重不一樣，進行多目標因素綜合軸系校中計算，其計算結果能滿足校中的要求，具有很好的實用價值。

[1] 曹學濤. 船舶軸系校中的雙向優化研究[D]. 大連: 大連理工大學, 2008.

[2] 陳金銘, 周海港, 顧衛俊, 馬捷. 船舶推進軸系優化[J]. 船海工程, 2010, 39(3): 51-54.

[3] 湯金敏. 基于遺傳算法的船舶推進軸系優化校中研究[J]. 湖南交通科技,2007,(03):132-134.

[4] 曹信來. 淺談低速柴油機推進系統軸承負荷優化[J].船舶設計通訊,2010,(S2):55-58.

[5] American Bureau of Shipping. Rules For Building and Classing Steel Vessels[S]. 2009.

[6] DNV. Software-nauticus shaft align-ment user guide[S].2010.

Multi-objective Optimization of Shafting Alignment Based on AHP

XIAO Neng-qi, ZHOU Rui-ping, LIN Xi-chen

(Energy & Power Engineering School of Wuhan University of Technology,Wuhan Hubei 430063, China)

In the actual shafting alignment calculation, we often need to use many factors instead of a single objective function. In this article, multi-objective factors are taken into account in calculating the shafting alignment. According to the weight ratio of each factor, the feasible dislodgement value of bearing can be found based on AHP to meet the requirements of shafting alignment.

Shafting Multi-objective optimization AHP

肖能齊(1987-)，男，博士研究生。

U664

A