高孔隙率通孔金屬泡沫有效導熱系數的實驗和理論研究

楊肖虎,鄺九杰,白佳希,盧天健,金東范

(1.西安交通大學能源與動力工程學院, 710049, 西安; 2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安; 3.金山大學機械工程學院, 2050, 南非約翰內斯堡)

高孔隙率通孔金屬泡沫有效導熱系數的實驗和理論研究

楊肖虎1,鄺九杰1,白佳希2,盧天健2,金東范3

(1.西安交通大學能源與動力工程學院, 710049, 西安; 2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室, 710049, 西安; 3.金山大學機械工程學院, 2050, 南非約翰內斯堡)

為了研究高孔隙率通孔金屬泡沫中的熱傳導特性及預測有效導熱系數,發展了一種新的全解析有效導熱系數模型。該模型通過建立更真實的十四面體三維結構作為代表單元,解析求解代表單元內穩態傅里葉熱傳導方程獲得通孔泡沫鋁的有效導熱系數。該模型不含任何擬合或經驗參數,有效導熱系數與孔隙率之間具有簡單的線性關系,且比例系數闡釋了熱曲折率的大小。高孔隙率下,模型預測與實驗測量和文獻數據吻合良好。研究結果表明:對于具有大導熱系數比的實心桿與流體相(如充滿空氣的泡沫鋁),流體相的傳熱可忽略不計,熱量沿著曲折金屬桿的一維傳導占主導地位。在忽略自然對流和輻射傳熱時,泡沫鋁有效導熱系數基本不受孔密度及桿截面形狀的影響。在所研究的溫度范圍內,泡沫鋁有效導熱系數可視為常數。

有效導熱系數;通孔金屬泡沫;一維熱傳導;十四面體

通孔金屬泡沫具有比表面積大、體積小、質量輕等優點,在電子元器件熱管理、燃料電池和緊湊型熱交換器等領域中有著廣闊的應用[1-2]。在以金屬泡沫為核心的熱交換系統熱分析中,有效導熱系數是一個關鍵參數,故有關泡沫金屬的傳熱過程和精確評估其有效導熱系數的研究得到了廣泛關注[2]。

在Maxwell的先驅性工作[3]之后,出現了大量致力于通過解析方法確定多孔介質有效導熱系數的理論研究[4],它們都基于一些重要的假設,例如:隨機分布的兩相串并聯結構[5];對稱分布的兩相結構[6]。然而,由于這些模型的假設不符合多孔介質的實際結構,不能對通孔金屬泡沫的有效導熱系數進行準確預測,因而有必要建立一種基于準確描述多孔介質拓撲結構的有效導熱系數模型。

Calmidi等和Bhattacharya等提出了一個以二維六角蜂窩形狀為單胞的周期性結構來近似模擬通孔泡沫鋁的拓撲結構[7-8],六角形連接處具有一個大小可調節的正方形或圓形節點,節點大小可通過擬合實驗數據得到。雖然此類二維模型能夠對通孔金屬泡沫的有效導熱系數給出較好的預測,但從本質上講它們屬于半解析模型,二維的周期性結構與金屬泡沫的三維拓撲結構存在很大差異,對探索熱量沿著金屬泡沫的三維骨架進行傳導的幫助很有限。

Boomsma等將二維六邊形結構擴展為以十四面體為單胞的三維周期性拓撲結構[9],為簡單起見,他們假定構成十四面體每條邊的金屬桿為圓柱形,桿連接處具有立方體節點。雖然十四面體單胞模型可較好地估計通孔泡沫鋁的有效導熱系數,但該模型的解析形式相當復雜,且立方體節點的大小需通過擬合實驗數據獲得。本質上講,該模型也是一個半解析模型。

本文針對通孔泡沫鋁真實的三維拓撲結構提出一個完全解析的有效導熱系數模型,據此加深對泡沫鋁中三維熱傳導機理的認識。通過掃描電鏡(SEM)下對泡沫鋁拓撲結構的觀察分析,確定以十四面體為單胞的周期性結構近似泡沫鋁的空間拓撲。此外,為了驗證本文模型的正確性,實驗測量了具有不同孔隙率(0.912～0.963)和孔密度的通孔泡沫鋁的有效導熱系數,并將模型預測值與實驗測量、文獻中的數據和其他模型預測值做了分析比較。

1 解析模型

1.1 一維傳熱模型

在建立解析模型之前,首先需要確定通孔泡沫鋁的三維拓撲結構。在發泡法制備[10]通孔泡沫材料的過程中,氣泡在熔體中自由移動,最終會形成十四面體來保證最小的表面能[11],這與泡沫鋁在SEM下觀察的結果一致,如圖1a所示,以下的傳熱分析均基于十四面體結構。

(a)掃描電鏡照片

a為棱邊長度;t為棱厚度(b)十四面體單胞模型

圖1b為十四面體單胞模型,十四面體包含在一個長方體單胞中,由邊長a和厚度t均相同的6個正方形和8個六邊形組成。Boomsma等認為在金屬桿的連接處存在一個立方體節點,且通過實驗擬合得到該節點的大小是桿厚度的2.95倍[9]。但是,通過分析SEM圖片,發現節點大小僅為桿厚度的1.25倍。考慮到節點的影響很有限(稍后討論),節點尺寸忽略不計。

用ke表示單胞的有效導熱系數,ks和kf分別表示桿材料和單胞內填充空氣的導熱系數。根據Fourier導熱定律,施加于控制體的總熱量Qt可表示為

(1)

式中:A0表示長方體單胞的傳熱面積;Hc表示單胞的高度;ΔT是單胞的上下表面溫差。

通過單胞的總熱量由固相熱量(Qs)和流體相熱量(Qf)共同傳導,即Qt=Qs+Qf。根據Fourier導熱定律,沿著桿的一維傳熱可表示為

(2)

式中:s是沿著桿的坐標,強烈依賴于泡沫鋁的拓撲結構;由于桿的截面積As是微元ds的函數而與dT無關,采用分離變量法,可得

(3)

將式(3)積分,得到

(4)

假設沿著彎曲一維傳熱路徑的熱量Qs為恒定,將式(4)經過變換可得

(5)

考慮到金屬桿與填充泡沫鋁孔洞的空氣導熱系數相差8 000倍以上(ks/kf> 8 000),可忽略不計通過氣體相的傳熱(即Qt=Qs)。比較式(1)和式(5),得到歸一化的有效導熱系數(ke/ks)的如下表達式

(6)

式(6)雖然是針對高孔隙率通孔泡沫材料提出的,但對于大長徑比桿狀多孔材料也同樣適用,當多孔材料的拓撲結構已知時可以給出具體的表達式。

1.2 十四面體單元的拓撲分析

為便于計算,僅拿出十四面體單元的1/16作為單胞進行拓撲結構分析。該單胞包含了3根長度為a,厚度分別為t、t和t/2且具有正方形橫截面的桿,單胞的長×寬×高為21/2a×21/2a×21/2a/2,如圖1b所示。

根據單胞的幾何特征,兩相多孔介質的相對密度可用棱邊長度和厚度的函數表示為

(7)

式中:ρ*和ε分別為多孔介質相對密度和孔隙率;a和t分別為金屬桿的長度和厚度。對式(6)中傳熱面積的倒數沿s路徑的積分可作如下計算

(8)

A0和單胞高度Hc可由以下幾何關系決定

A0=2a2

(9)

(10)

將式(8)～(10)代入式(6)可得

(11)

再把孔隙率的表達式(7)代入式(11),得到最終的解析表達式為

ke/ks=(1-ε)/3

(12)

由此可以看出,有效導熱系數是孔隙率的線性函數,系數為1/3。式(12)在形式上與一些經驗關聯式類似,具有ke/ks=C(1-ε)的形式。例如:Bhattacharya等通過擬合實驗數據[8]得到C=0.35;Ozmat等通過熱電比擬[12]得到C=0.346。

式(12)從解析的角度解釋了這些經驗關系式具有類似經典并聯模型的線性表達形式的物理原因,同時也提供了經驗公式系數(0.33左右)的物理意義為熱曲折度(tortuosity)。

2 實驗研究

2.1 實驗裝置

表1 通孔泡沫鋁試樣參數

圖2 有效導熱系數實驗測試系統示意圖

如圖2所示,沿x軸的一維穩態導熱由傅里葉導熱定律確定,經簡單變換后得到試件的有效導熱系數為

(13)

(14)

(15)

式中:T2和T1分別表示直接由熱電偶測量得到的銅基板下表面和上表面的溫度。

2.2 不確定度分析

(16)

3 結果討論

3.1 導熱系數與孔隙率之間的關系

圖3描繪了通孔泡沫鋁有效導熱系數與孔隙率之間的關系,可以看出:在高孔隙(ε≥0.9)范圍內有效導熱系數強烈依賴于孔隙率,呈線性關系,且數值上隨著孔隙率的升高而大幅降低。本文的解析模型預測與本文測量所得及文獻[7,14]中給出的實驗測定數據變化趨勢一致,且能很好地吻合。這意味著通過空氣和節點的傳熱對通孔泡沫鋁的整體有效導熱系數的影響確實很小。

圖3 有效導熱系數與孔隙率的關系

據文獻[15-16]報道,多孔介質的有效導熱系數可用孔隙率和曲折度進行評估,即

(17)

式中:τ是曲折度,定義為熱量實際傳導的路線長度與直線傳導(最短路線)的比值,反映了傳熱長度的伸長率。

對比式(17)和(12)可得τ=3。熱量在宏觀上通過金屬桿并聯傳遞,但從微觀(孔隙級)上看具有曲折路徑,預計傳熱長度長于真正的并聯結構,從而導致有效傳熱系數減小。需要指出的是,流體相傳熱的忽略僅限于高導熱系數比情形,如本文考慮的通孔泡沫鋁(ks/kf>8 000),對化學工程中常用的液體飽和多孔陶瓷而言,必須考慮流體相的傳熱。

3.2 節點、孔大小及桿截面形狀的影響

3.2.1 節點影響 Boomsma等通過實驗擬合得到了大小為桿厚度2.95倍的立方體節點[9]。但是,通過分析本文的SEM圖片,發現通孔泡沫鋁節點的大小僅為桿厚度的1.25倍。此外,在理論模型的建立推導中忽略節點對導熱的影響后所得到的預測結果與實驗數據吻合良好(見圖3),這也進一步說明高孔隙率泡沫鋁的真實節點對傳熱的影響有限,可忽略不計。

3.2.2 孔密度影響 圖4描繪了孔密度對高孔隙率通孔泡沫鋁有效導熱系數的影響,圖中實驗數據來自于本實驗測量和Calmidi等的實驗結果[7]。實驗數據分為4組,由于每組的泡沫孔隙率不盡相同,故采用平均孔隙率。在采用平均孔隙率時,泡沫鋁孔密度從197～1 575 m-1變化對有效導熱系數的影響很有限。例如,圖4中ε約為0.910時,來自本實驗測定和文獻[7]孔密度為197、276和394 m-1的泡沫鋁有效導熱系數測量結果在同一水平線上。因此,在忽略自然對流換熱和輻射換熱時,孔密度對泡沫鋁有效導熱系數的影響可以忽略不計。

圖4 實驗測量孔密度對泡沫有效導熱系數的影響

3.2.3 桿截面形狀影響 本文基于十四面體單胞結構的解析模型預測與實驗數據符合得很好,且τ=3。由此可見,在高孔隙率范圍內,泡沫鋁的拓撲結構不隨孔隙率的變化而變化,孔隙率的改變只會導致泡沫鋁單胞結構成比例的縮放。研究表明[7-8],隨著孔隙率的增大,桿截面形狀逐漸向三角形變化。然而,對于給定孔隙率和孔徑的金屬泡沫而言,對于具有任意截面形狀的桿,可假設其截面積保持不變,例如:A正方形=A三角形=A圓=t2,然后依據不同桿截面建立傳熱分析,可得與式(12)相同的表達式。

需要指出的是,在孔隙率、孔徑保持不變的前提下,桿的截面形狀對其表面積仍然有影響。由于本文忽略了桿與周圍流體間的熱交換以及桿間的輻射換熱,桿的表面積對有效導熱系數沒有影響。但是,在其他熱交換情形中,如輻射和強制對流,桿的表面積(即桿截面形狀)將發揮重要作用。

3.3 溫度對泡沫鋁有效導熱系數的影響

一般而言,材料的物性參數隨著溫度變化而變化[17]。為了分析通孔泡沫鋁有效導熱系數隨溫度的變化趨勢,對泡沫鋁試樣#7(見表1)在不同溫度下進行了導熱系數測量。在此次實驗的溫度(320～360K)范圍內,泡沫鋁有效導熱系數基本不受溫度變化影響,其變化率在2%以內,可視為恒物性處理。但是,當溫度進一步升高時,熱輻射的作用不斷增大,故泡沫鋁有效導熱系數對溫度的依賴也不斷增強。

3.4 其他單元體模型

通孔泡沫鋁的有效導熱系數依據所選單元體的不同而呈現出不同的規律。Calmidi等和Bhattacharya等提出以二維六角蜂窩形狀為單胞的周期性結構來近似泡沫鋁的拓撲結構[7-8]。采用此種結構進行理論建模,有效導熱系數為

(18)

若采用Paek等提出的立方體單元結構[14],則有效導熱系數為

(19)

圖5給出了采用不同單元體結構的有效導熱系數模型以及經典的并聯模型的預測值,并與泡沫鋁實驗結果進行比較。可以看出,基于六邊形和立方體結構的模型以及經典的并聯模型均過高地估計了泡沫鋁的有效導熱系數。盡管采用不同單元體結構得到的有效導熱系數模型均具有類似于并聯模型的形式,但這些模型并不能準確預測通孔泡沫鋁的有效導熱系數,這主要是由于不同單元體結構對傳熱距離(即熱曲折度)的預測不同。因此,本文結果表明,針對高孔隙率通孔金屬泡沫,唯有建立精確的三維孔拓撲結構才能準確地預測這類多孔介質的有效導熱系數。

圖5 不同有效導熱系數模型比較

4 結 論

在一維傳熱假設下,本文選擇更接近通孔泡沫鋁真實拓撲結構的十四面體單胞結構進行傳熱分析,建立了一個形式簡單、完全解析的理論模型,用于預測高孔隙率通孔金屬泡沫的有效導熱系數。該理論模型不需任何擬合或經驗參數,其預測值與實驗結果吻合良好。結果表明,對于大導熱系數比的多孔材料而言(如充盈空氣的泡沫鋁),流體相的傳熱可忽略不計;對高孔隙通孔泡沫鋁而言,節點對傳熱的影響很有限,有效導熱系數與孔隙率之間呈線性關系,且熱曲折度為0.33。

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(編輯 劉楊 荊樹蓉)

ExperimentalandAnalyticInvestigationsforEffectiveThermalConductivityinHighPorosityMetallicFoams

YANG Xiaohu1,KUANG Jiujie1,BAI Jiaxi2,LU Tianjian2,KIM Tongbeum3

(1.School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 2.State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 3.School of Mechanical Engineering, University of the Witwatersrand, Private Bag 3, Wits 2050, Johannesburg, South Africa)

To demonstrate a totally analytic model of effective thermal conductivity in high porosity open-cell metallic foams, a 3D tetrakaidecahedron configuration is selected as the representative unit cell for the metal foam.By solving 1D steady-state Fourier’s equation for the representative volume, a purely analytic model without requiring any fitting or empirical coefficient is obtained.Coinciding well with the present measurements and experimental data from literature, this model suggests a linear dependence of effective thermal conductivity upon porosity, where the proportionality coefficient is the reciprocal of thermal tortuosity.The heat transfer in fluid phase is negligible due to large thermal conductivity ratio between solid ligaments and fluid phase (e.g., air-saturating Al foam), 1D heat conduction along the tortuous ligaments thus dominates.Neglecting natural convection and radiation of thermal energy, the topological parameters, such as pore density (PPI) and ligament cross-sectional shape, exert little influence on effective thermal conductivity.Furthermore, the effective conductivity remains constant within the experimental temperature range.

effective thermal conductivity; open-cell metal foam; one-dimensional heat conduction; tetrakaidecahedron

2013-10-09。

楊肖虎(1986—),男,博士生;盧天健(通信作者),男,教授,博士生導師。

國家重點基礎研究發展規劃資助項目(2011CB6103005);高等學校學科創新引智計劃資助項目(B06024);國家自然科學基金資助項目(51206128)。

時間:2014-01-15

10.7652/xjtuxb201404014

TK311

:A

:0253-987X(2014)04-0079-06

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20140115.1446.001.html