擴展目標聯(lián)合檢測與估計的誤差界

連峰,馬冬冬,韓崇昭

(西安交通大學(xué)智能網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)安全教育部重點實驗室, 710049, 西安)

擴展目標聯(lián)合檢測與估計的誤差界

連峰,馬冬冬,韓崇昭

(西安交通大學(xué)智能網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)安全教育部重點實驗室, 710049, 西安)

針對雜波和漏檢環(huán)境下單個擴展目標聯(lián)合檢測與估計的性能評價問題,提出了一種基于隨機有限集(Random Finite Set,RFS)的誤差分析方法。該方法通過將擴展目標的狀態(tài)和觀測分別建模為Bernoulli RFS和Poisson RFS,在RFS框架下推導(dǎo)獲得了采用最大后驗概率檢測器和無偏估計器的均方誤差界,并給出了其在目標確定存在以及無雜波條件下的簡化形式。實驗結(jié)果表明,建議的均方誤差界能夠有效地反映擴展目標聯(lián)合檢測與估計算法所能達到的最優(yōu)性能,利用該誤差界可以對不同的擴展目標聯(lián)合檢測與估計算法的性能進行有效的衡量,誤差在5%以內(nèi)。推導(dǎo)過程和結(jié)論僅關(guān)注于單傳感器擴展目標聯(lián)合檢測與估計的靜態(tài)問題,并假設(shè)其狀態(tài)和測量均為標量。

性能評價;擴展目標跟蹤;聯(lián)合檢測與估計;隨機有限集

在目標跟蹤領(lǐng)域中,受非線性、雜波、漏檢等因素的影響,絕大多數(shù)的濾波算法都是子最優(yōu)的。為了衡量這些算法的性能,必須獲得相應(yīng)的估計誤差下界。在20世紀90年代,Tichavsky等提出采用遞推后驗克拉美羅下界 (Posterior Cramér-Rao Lower Boun,PCRLB)[1]來衡量離散時間非線性濾波問題的均方誤差(Mean Square Error,MSE)。隨后,PCRLB又被推廣到雜波和漏檢存在[2]以及目標機動[3]等情況,但PCRLB必須假設(shè)目標是確定存在的,即其僅適用于估計問題而非檢測問題。當(dāng)目標存在與否未知時,Rezaeian等在隨機有限集(Random Finite Set,RFS)框架下提出了聯(lián)合檢測與估計的MSE界[4]。目前,關(guān)于誤差界的研究成果已經(jīng)在傳感器管理[5]、彈道目標跟蹤及性能預(yù)測[6]、無源定位與跟蹤[7]等領(lǐng)域取得了成功的應(yīng)用。

近年來,隨著傳感器性能的不斷提高,擴展目標跟蹤問題成為了一個新的研究熱點,已有很多相關(guān)的算法應(yīng)運而生[8-10]。然而,目前還尚未有擴展目標估計誤差界的相關(guān)結(jié)論。為解決此問題,通過將擴展目標狀態(tài)和觀測分別建模為Bernoulli RFS和Poisson RFS,并假定采用最大后驗概率(Maximum A Posterior,MAP)檢測器和無偏估計器,本文推導(dǎo)獲得了雜波和漏檢存在時針對單個擴展目標的聯(lián)合檢測與估計的MSE界,并通過兩個算例展示了該誤差界的應(yīng)用。

在本文中,目前的推導(dǎo)過程和結(jié)論僅關(guān)注單傳感器擴展目標聯(lián)合檢測與估計的靜態(tài)問題,并假設(shè)其狀態(tài)和測量均為標量。

1 問題描述

記單個擴展目標狀態(tài)為x∈X,其中X表示擴展目標狀態(tài)空間,擴展目標的狀態(tài)集合為X。假設(shè)監(jiān)控區(qū)域內(nèi)最多只有1個擴展目標,因此可將X建模為一個Bernoulli RFS,X～BX(r,f(x)),其概率密度為

(1)

式中:r為X≠?的概率;f(x)為x所滿足分布的概率密度。

記單個傳感器觀測為z∈Z,其中Z表示觀測空間,傳感器觀測集合Z記為

Z=Zt(X)∪Zc

(2)

式中:Zt(X)為源于擴展目標的觀測集;Zc為雜波集。假設(shè)Zc是一個Poisson RFS,其密度可表示為

c(Zc)=e-λυZc

(3)

其中

(4)

υ(z)=λfc(z)

(5)

式中:υ(z)為雜波強度;λ為平均雜波數(shù);fc(·)為單個雜波分布的概率密度。

令Po(x)表示傳感器至少獲得一個由狀態(tài)為x的擴展目標所產(chǎn)生觀測的概率,記

(6)

為平均檢測概率。

目前,通常采用Poisson模型來描述擴展目標的測量似然函數(shù)[9],若狀態(tài)為x的擴展目標產(chǎn)生的測量集合為Z,則其似然函數(shù)為

φ(z|x)

(7)

式中:α(x)和φ(·|x)分別表示由該擴展目標所產(chǎn)生的平均測量數(shù)和單個測量分布的概率密度。

2 擴展目標聯(lián)合檢測與估計的MSE界

(8)

(9)

其中

Zn={z1,…,zn}∈Zn

(10)

式中:n=|Z,|·|為集合的勢。記Z0=?。

(11)

式中:e0為虛警誤差;e1為漏檢誤差。

為了便于推導(dǎo)擴展目標聯(lián)合檢測和估計的MSE界,需要定義如下兩個概率密度

(12)

(13)

fd(x)為已知傳感器獲得至少一個擴展目標觀測時狀態(tài)x的概率密度;fd′(x)為已知傳感器沒有獲得擴展目標觀測時狀態(tài)x的概率密度。

(14)

(15)

引理1若擴展目標狀態(tài)集合滿足式(1)的Bernoulli模型,雜波分布和擴展目標測量似然函數(shù)分別滿足式(3)和式(7)的Poisson模型,那么傳感器測量似然函數(shù)γ(Z|X)具有如下形式

(16)

證明見附錄A。

(17)

(18)

證明見附錄B。

為了證明定理1,需要利用信息不等式[4],若R2上的聯(lián)合概率密度f(·,·)滿足正則條件且?2logf(x,z)/?x2存在,那么如下不等式成立

(19)

(20)

定理1若擴展目標狀態(tài)集合滿足式(1)的Bernoulli模型,雜波分布和擴展目標測量似然函數(shù)分別滿足式(3)和式(7)的Poisson模型,那么,該擴展目標聯(lián)合MAP檢測與無偏估計的MSE界為

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

證明見附錄C。

3 算例及分析

3.1 算例1分析

已知擴展目標狀態(tài)集合X滿足Bernoulli分布BX(r,f(x)),且

(29)

令單個測量分布φ(z|x)滿足

(30)

假設(shè)傳感器檢測概率以及由擴展目標所產(chǎn)生的平均測量數(shù)均與狀態(tài)無關(guān),即Po(x)=Po,α(x)=α。

假設(shè)Poisson雜波強度υ(z)=λU(z),其中U(·)表示均勻分布的概率密度函數(shù)。

對于上述擴展目標跟蹤系統(tǒng),有

(31)

(32)

(33)

Ωn=e-α(λ+α)n

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

其中

(39)

(40)

(41)

圖1和圖2分別通過兩組實驗展示了擴展目標存活概率r、傳感器檢測概率Po和雜波強度λ/100對所建議的擴展目標聯(lián)合檢測與估計的MSE界的影響。

給定λ=10,圖1給出了在不同Po下擴展目標聯(lián)合檢測與估計的MSE界隨r的變化曲線。

圖1 λ=10時不同Po下擴展目標聯(lián)合檢測與估計的MSE界隨r的變化曲線

當(dāng)λ和r一定時,建議的MSE界隨Po的減小而增大,這是由于當(dāng)雜波強度較低時,例如在本場景中λ=10,相比由雜波引起的虛警,由Po引起的漏檢在建議的誤差界中占主導(dǎo)作用,此時Po越低,漏檢的可能性越大,導(dǎo)致漏檢誤差e1對該界的影響加重,故該界隨Po的減小而增大。

給定r=0.6,圖2給出了在不同Po下擴展目標聯(lián)合檢測與估計的MSE界隨λ的變化曲線。

圖2 r=0.6時不同Po下擴展目標聯(lián)合檢測與估計的MSE界隨λ的變化曲線

由圖2可以看出,當(dāng)r和Po一定時,建議的MSE界是隨λ變化的非線性曲線,并且只有Po=1時該界是關(guān)于λ單調(diào)增的。對于Po<1時,該界隨λ的增大而呈現(xiàn)先增大后減小的特性,不妨記λ=λ*時對應(yīng)于曲線的峰值。由圖還可以看出,若Po越小,其所對應(yīng)的λ*也越小。這是由于對于較低的Po,例如Po=0.2,漏檢的可能性較大,而當(dāng)λ增大到一定程度時,不妨記為λ>λ*時,λ的增大反而可能有助于降低擴展目標的漏檢概率,從而減少漏檢誤差e1對建議的MSE界的影響,使得當(dāng)λ>λ*時該界隨λ增大而減小。

當(dāng)r和λ一定時,建議的MSE界并不總是隨Po的增大而減小。對于較低的λ,例如λ<15,該界隨Po的增大而減小,但隨著λ的增大,較大Po所對應(yīng)的MSE界逐漸超越較小Po所對應(yīng)的MSE界,直到λ增大到一定程度時,例如λ>46,建議的MSE界最終隨Po的增大而增大。這是由于當(dāng)雜波強度較小時,例如λ<15,相比由雜波引起的虛警,由傳感器檢測概率引起的漏檢占主導(dǎo)作用,此時Po越大漏檢的可能性越小,漏檢誤差e1對該界的影響越弱,該界隨Po的增大而減小。但是,隨著雜波強度的增大,由雜波引起的虛警在建議的誤差界中逐漸占主導(dǎo)作用,此時Po越大反而會增加虛警的可能性,加重虛警誤差e0對該界的影響,最終導(dǎo)致當(dāng)λ>46時,該界隨Po的增大而增大。

3.2 算例2分析

保持例1的參數(shù)和場景不變,在本例中我們將所建議的MSE界與擴展目標概率假設(shè)密度(Extended-Target Probability Hypothesis Density,EPHD)濾波器[9]、擴展目標勢PHD(Extended-Target Cardinalized PHD,ECPHD)濾波器[10]兩種現(xiàn)有的擴展目標聯(lián)合檢測與估計算法相比較。由于目前所建議的誤差界僅關(guān)注擴展目標聯(lián)合檢測與估計的靜態(tài)問題,因此在上述兩種算法中,令擴展目標狀態(tài)的時間演化模型為

xk=xk-1

(42)

通過該運動模型即可將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題。令Po=0.9,r=0.6,表1給出了當(dāng)λ=5,10,15,20,25時本文所建議的MSE界與上述兩種擴展目標聯(lián)合檢測與估計算法的穩(wěn)態(tài)MSE(該MSE通過500次蒙特卡洛仿真實驗平均后獲得)的比較結(jié)果。

表1 給定Po=0.9、r=0.6時兩種算法的平均穩(wěn)態(tài)MSE與所建議的MSE界隨λ的變化

MSEλ=5λ=10λ=15λ=20λ=25EPHD的平均穩(wěn)態(tài)MSEECPHD的平均穩(wěn)態(tài)MSE建議的MSE界31 529 928 836 234 132 643 541 039 154 250 848 768 163 761 2

定義MSE界的相對誤差為

由上式可得λ=5,10,15,20,25時其MSE界的相對誤差分別為3.8%、4.6%、4.9%、4.3%、4.1%。

由表1可以看出,當(dāng)λ由5變化到25時,ECPHD的性能始終保持最優(yōu),其平均穩(wěn)態(tài)MSE最接近于本文所建議的MSE界,并且隨著λ的增加,ECPHD相比EPHD的性能優(yōu)勢越明顯。這是由于EPHD當(dāng)雜波較密集時其擴展目標個數(shù)估計的波動通常較大,導(dǎo)致其相應(yīng)的聯(lián)合檢測與估計誤差高于本文所建議的MSE界。兩種算法的最小平均穩(wěn)態(tài)MSE接近于本文所建議的MSE界,且誤差均在5%以內(nèi),說明本文所建議的擴展目標聯(lián)合檢測與估計的MSE界是較緊的。兩種算法之所以沒有完全達到本文所建議的MSE界,是由于它們都有不同程度的近似。例如,EPHD假設(shè)目標狀態(tài)的演化為一個泊松過程,ECPHD假設(shè)目標狀態(tài)的演化為一個聚類過程,但后者相比前者由于近似而產(chǎn)生的誤差要小,尤其當(dāng)雜波或目標越密集時,ECPHD的性能優(yōu)勢越明顯。

綜上所述,本文建議的MSE界能夠正確反映擴展目標聯(lián)合檢測與估計算法所能達到的最優(yōu)性能,利用該誤差界可以對不同的擴展目標聯(lián)合檢測與估計算法的性能進行有效的衡量。

4 結(jié) 論

本文在RFS框架下推導(dǎo)獲得了針對單個擴展目標的聯(lián)合檢測與估計的MSE界,并給出了其在目標確定存在以及無雜波條件下的簡化形式。兩個算例給出了該誤差界的應(yīng)用。今后的工作主要集中在結(jié)合擴展目標的運動模型進一步研究本文誤差界的矢量遞推形式,并將本文結(jié)論推廣到多個擴展目標以及多傳感器的情況。

[1] TICHAVSKYP,MURAVCHIKC,NEHORAIA.Posterior Cramér-Rao bounds for discrete time nonlinear filtering [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 1998, 46(5): 1701-1722.

[2] HERNANDEZ M, FARINA A, RISTIC B.PCRLB for tracking in cluttered environments: measurement sequence conditioning approach [J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2006, 42(2): 680-704.

[3] HERNANDEZ M, BENAVOLI A, GRAZIANO A, et al.Performance measures and MHT for tracking move-stop-move targets with MTI sensors [J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011, 47(2): 996-1025.

[4] REZAEIAN M, VO B N.Error bounds for joint detection and estimation of a single object with random finite set observation [J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(3): 1493-1506.

[5] THARMARASA R, KIRUBARAJAN T, HERNANDEZ M, et al.PCRLB-based multisensor array management for multitarget tracking [J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2007, 43(2): 539-555.

[6] 巫春玲, 韓崇昭.用于彈道目標跟蹤的有限差分擴展卡爾曼濾波算法 [J].西安交通大學(xué)學(xué)報, 2008, 42(2): 143-146.

WU Chunling, HAN Chongzhao.Finite-difference extended Kalman filtering algorithm for ballistic target tracking [J].Journal of Xi’an Jiaotong University, 2008, 42(2): 143-146.

[7] 劉學(xué), 焦淑紅.擬蒙特卡羅自適應(yīng)粒子濾波的機載無源定位算法 [J].西安交通大學(xué)學(xué)報, 2011, 45(9): 34-39.

LIU Xue, JIAO Shuhong.Quasi Monte-Carlo adaptive particle filter for airborne passive location [J].Journal of Xi’an Jiaotong University, 2011, 45(9): 34-39.

[8] KOCH W.Bayesian approach to extended object and cluster tracking using random matrices [J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2008, 44(3): 1042-1059.

[9] MAHLER R.PHD filters for nonstandard targets: I Extended targets [C]∥Proceedings of the 12th International Conference on Information Fusion.Piscataway, NJ, USA: IEEE, 2009: 915-921.

[10]LIAN Feng, HAN Chongzhao, LIU Weifeng, et al.Unified cardinalized probability hypothesis density filters for extended targets and unresolved targets [J].Signal Processing, 2012, 92(7): 1729-1744.

附錄A

引理1的證明如下。

既然擴展目標狀態(tài)X滿足如式(1)所示的Bernoulli模型,那么X只能為?或{x}。

若X=?,說明所有測量均源于雜波,根據(jù)式(3)可得

γ(Z|X=?)=e-λυZ

(A1)

若X={x},則

γ(Z|X={x})=

P(Z|X={x},所有測量均為雜波)·

P(所有測量均為雜波)+

P(Z|X={x},一個測量集源于擴展目標)·

P(一個測量集源于擴展目標)=

(A2)

式中:K(x)為歸一化因子

(A3)

根據(jù)集合積分的定義,式(A3)可寫為

(A4)

將式(7)所示的g(Y|x)和式(5)所示的υ(z)代入式(A4),并對測量z1,…,zn積分可得

(A5)

(A6)

將K(x)=eλ代入式(A2)可得

γ(Z|X={x})=(1-Po(x))e-λυZ+

(A7)

根據(jù)式(A1)和式(A7)可得式(16)。引理1證畢。

附錄B

引理2的證明如下。

若傳感器獲得一個非空集合Z,那么根據(jù)全概率公式可得

(B1)

式中:P(Z|X≠?)表示擴展目標存在時測量集合為

Z的概率

(B2)

將式(16)代入式(B2),并根據(jù)式(6)和式(12)可得

(B3)

其中,β(Z)如式(18)所示。

同理,可得擴展目標不存在時的后驗概率為

(B4)

對于MAP檢測器,若滿足

P(X=?|Z)>P(X≠?|Z)

(B5)

(B6)

根據(jù)上述結(jié)論最終可得引理2。引理2證畢。

附錄C

定理1的證明如下。

將式(1)、式(6)、式(7)和式(16)代入式(8),可得

(C1)

下面分兩種情況對式(C1)進行討論。

(1)定義高概率估計準則為

(C2)

故式(C1)可簡化為

dz1…dzndx

(C3)

(C4)

根據(jù)引理2,可得對于MAP檢測器,存在

(C5)

因此,式(C3)又可寫為

(C6)

式中:pn(x,Zn)表示關(guān)于(x,Zn)的密度函數(shù),其如式(27)所示;Ωn為歸一化因子

(C7)

將式(7)所示的g(Y|x)和式(5)所示的υ(z)代入式(C7)后,并對測量z1,…,zn積分可得

(C8)

(C9)

對密度pn(x,Zn)應(yīng)用信息不等式可得

(C10)

根據(jù)式(C9)、式(C10)以及式(26)、式(C6),最終可得

(C11)

(2)定義低概率估計準則為

(C12)

故式(C1)可簡化為

(C13)

(C14)

(C15)

(編輯 武紅江)

ErrorBoundforJointDetectionandEstimationforExtendedTarget

LIAN Feng,MA Dongdong,HAN Chongzhao

(Ministry of Education Key Laboratory for Intelligent Networks and Network Security, Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049, China)

An error analysis strategy with random finite set (RFS) is proposed to address the performance evaluation for joint detection and estimation of an extended target with clutters and missed detections.Modeling the state and observations of the extended target as the Bernoulli RFS and Poisson RFS respectively, a mean square error (MSE) bound restricted to maximum a posterior detector and unbiased estimator is derived.Experiments show that the proposed MSE bound can effectively indicate the performance limits of the extended-target joint detection-estimation algorithms and the error is less than 5%.

performance evaluation; extended target tracking; joint detection and estimation; random finite set

2013-10-10。

連峰(1981—),男,副教授。

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃資助項目(2013CB329405);國家自然科學(xué)基金優(yōu)秀創(chuàng)新研究群體資助項目(61221063);國家自然科學(xué)基金資助項目(61004087);中國博士后科學(xué)基金特別資助項目(2012T50806);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金資助項目(xjj2011033)。

時間:2014-01-16

10.7652/xjtuxb201404002

TP393

:A

:0253-987X(2014)04-0008-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20140116.1658.003.html