感悟中點四邊形的研究方法與過程

劉德鑫+陳曉雯

在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發現圖中有很多的中點，聯想到剛學習的三角形中位線的知識，所以，第一反應肯定是連接四邊形的對角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點所得的中點四邊形是不是也會變得特殊呢？于是，我們畫了一個矩形ABCD，順次連接各邊中點得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見四邊形EFGH為菱形. 根據上面的思路，還是連接對角線.若只連接一條明顯不能解決這個問題.試試連接兩條對角線，謎底解開了.

由矩形的對角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個問題的關鍵時，發現說明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對角線相等，再利用三角形中位線的性質就可證明.

既然非特殊四邊形的中點四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過來說，比如，連接四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細研究圖2，就會發現是通過證明鄰邊相等來說明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對角線相等即可. 于是，我們畫了一個不規則的但對角線相等的四邊形并連接各邊中點，確實可得到菱形，也就是說中點四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯誤的. 同時，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點四邊形也是菱形.

在這個過程中，我們發現對角線是決定中點四邊形的形狀的關鍵，中位線是聯系中點四邊形的邊與原四邊形的對角線之間關系的重要橋梁.同時，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質得到四邊形EFGH是平行四邊形.進一步研究發現：當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形；當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說明凹四邊形的中點四邊形與它的面積關系呢？我們可以用類似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實，上述面積的計算方法還有很多，例如把一條對角線做底，再作高計算，也可得到同樣的關系.

在研究面積關系的過程中，三角形的中位線所構成的如圖5這個基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關系，以及四個全等三角形，為我們整體轉化圖形的面積提供了基礎. 所以說，在數學的學習中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數學活動經驗.

在中點四邊形的研究過程中，不僅讓我們認識到了對角線是決定中點四邊形形狀的關鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨特的思維方式，也感受到了數學真的很有趣.在解決數學問題時要敢想、敢做，你才會有新的發現，也讓我明白了基礎知識和經驗是數學學習的基礎，要注重方法的類比和遷移，但方法要不斷創新. 總之，只要認真探索，就一定能勇攀數學高峰.

教師點評：兩名小作者確實對中點四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點四邊形與原四邊形的關系，而且學會了聯想、模仿、類比等基本的解決問題的方法.作為學生，學習的最高境界是什么？我想用日本著名的數學教育家米山國藏的經典思想來回答：作為知識的數學，出校門后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識的數學，更多的是學會了作為精神、方法和思想的數學.

（指導教師：胡華春）

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在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發現圖中有很多的中點，聯想到剛學習的三角形中位線的知識，所以，第一反應肯定是連接四邊形的對角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點所得的中點四邊形是不是也會變得特殊呢？于是，我們畫了一個矩形ABCD，順次連接各邊中點得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見四邊形EFGH為菱形. 根據上面的思路，還是連接對角線.若只連接一條明顯不能解決這個問題.試試連接兩條對角線，謎底解開了.

由矩形的對角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個問題的關鍵時，發現說明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對角線相等，再利用三角形中位線的性質就可證明.

既然非特殊四邊形的中點四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過來說，比如，連接四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細研究圖2，就會發現是通過證明鄰邊相等來說明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對角線相等即可. 于是，我們畫了一個不規則的但對角線相等的四邊形并連接各邊中點，確實可得到菱形，也就是說中點四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯誤的. 同時，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點四邊形也是菱形.

在這個過程中，我們發現對角線是決定中點四邊形的形狀的關鍵，中位線是聯系中點四邊形的邊與原四邊形的對角線之間關系的重要橋梁.同時，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質得到四邊形EFGH是平行四邊形.進一步研究發現：當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形；當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說明凹四邊形的中點四邊形與它的面積關系呢？我們可以用類似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實，上述面積的計算方法還有很多，例如把一條對角線做底，再作高計算，也可得到同樣的關系.

在研究面積關系的過程中，三角形的中位線所構成的如圖5這個基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關系，以及四個全等三角形，為我們整體轉化圖形的面積提供了基礎. 所以說，在數學的學習中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數學活動經驗.

在中點四邊形的研究過程中，不僅讓我們認識到了對角線是決定中點四邊形形狀的關鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨特的思維方式，也感受到了數學真的很有趣.在解決數學問題時要敢想、敢做，你才會有新的發現，也讓我明白了基礎知識和經驗是數學學習的基礎，要注重方法的類比和遷移，但方法要不斷創新. 總之，只要認真探索，就一定能勇攀數學高峰.

教師點評：兩名小作者確實對中點四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點四邊形與原四邊形的關系，而且學會了聯想、模仿、類比等基本的解決問題的方法.作為學生，學習的最高境界是什么？我想用日本著名的數學教育家米山國藏的經典思想來回答：作為知識的數學，出校門后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識的數學，更多的是學會了作為精神、方法和思想的數學.

（指導教師：胡華春）

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在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點，如圖1，四邊形EFGH是平行四邊形嗎？為什么？觀察圖形，很顯然是平行四邊形.可是，怎么證明呢？我發現圖中有很多的中點，聯想到剛學習的三角形中位線的知識，所以，第一反應肯定是連接四邊形的對角線BD（只需連接一條就可以了）. 于是，EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，所以EH∥FG，EH=FG，從而四邊形EFGH是平行四邊形.

如果是像菱形、矩形、正方形這些特殊的四邊形，那連接其各邊中點所得的中點四邊形是不是也會變得特殊呢？于是，我們畫了一個矩形ABCD，順次連接各邊中點得到了四邊形EFGH，如圖2.觀察圖形，可見四邊形EFGH為菱形. 根據上面的思路，還是連接對角線.若只連接一條明顯不能解決這個問題.試試連接兩條對角線，謎底解開了.

由矩形的對角線相等可得AC=BD，HE=BD，HG=AC，從而HE=HG，所以EFGH為菱形.

反思解決這個問題的關鍵時，發現說明平行四邊形為菱形可以是鄰邊相等，從而想到矩形的對角線相等，再利用三角形中位線的性質就可證明.

既然非特殊四邊形的中點四邊形是一般平行四邊形，而矩形的中點四邊形是菱形，是特殊得到特殊. 那是否可以反過來說，比如，連接四邊形各邊中點所得的四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形呢？

如果仔細研究圖2，就會發現是通過證明鄰邊相等來說明平行四邊形是菱形的，也就是只要使原四邊形的對角線相等即可. 于是，我們畫了一個不規則的但對角線相等的四邊形并連接各邊中點，確實可得到菱形，也就是說中點四邊形為菱形的四邊形一定是矩形是錯誤的. 同時，我們也舉出了反例，比如等腰梯形的中點四邊形也是菱形.

在這個過程中，我們發現對角線是決定中點四邊形的形狀的關鍵，中位線是聯系中點四邊形的邊與原四邊形的對角線之間關系的重要橋梁.同時，真命題的逆命題不一定是真命題.

研究了凸四邊形的中點四邊形，那么凹四邊形的情況又如何呢？由于有了凸四邊形的研究基礎，我們就直接從一般情況入手，首先判定形狀. 如圖3，同樣可以利用三角形中位線的性質得到四邊形EFGH是平行四邊形.進一步研究發現：當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形；當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形.

那么，如何說明凹四邊形的中點四邊形與它的面積關系呢？我們可以用類似于凸四邊形的分割法，如圖4，取AC的中點O，連接OE、OH.

由三角形中位線的性質，可得△OEH

≌△CFG，因此△CFG可以平移到△OEH，也可得到四邊形EFGH的面積是原四邊形面積的一半.其實，上述面積的計算方法還有很多，例如把一條對角線做底，再作高計算，也可得到同樣的關系.

在研究面積關系的過程中，三角形的中位線所構成的如圖5這個基本圖形很重要，它為我們提供了線段的相等、平行關系，以及四個全等三角形，為我們整體轉化圖形的面積提供了基礎. 所以說，在數學的學習中，我們還要注重基本圖形的提煉和積累，形成一些重要的數學活動經驗.

在中點四邊形的研究過程中，不僅讓我們認識到了對角線是決定中點四邊形形狀的關鍵，而且鍛煉了我們的思維能力，形成了一些獨特的思維方式，也感受到了數學真的很有趣.在解決數學問題時要敢想、敢做，你才會有新的發現，也讓我明白了基礎知識和經驗是數學學習的基礎，要注重方法的類比和遷移，但方法要不斷創新. 總之，只要認真探索，就一定能勇攀數學高峰.

教師點評：兩名小作者確實對中點四邊形做了很深入的研究，不僅徹底解決了中點四邊形與原四邊形的關系，而且學會了聯想、模仿、類比等基本的解決問題的方法.作為學生，學習的最高境界是什么？我想用日本著名的數學教育家米山國藏的經典思想來回答：作為知識的數學，出校門后不到一兩年，很快就忘掉了.但，不管他們從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終身.這篇短文未加任何修改，很樸素地反映了兩位小作者在研究過程中的收獲，他們不僅收獲了作為知識的數學，更多的是學會了作為精神、方法和思想的數學.

（指導教師：胡華春）

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