活動與探究:中點四邊形

胡華春

順次連接任意四邊形ABCD的各邊中點所組成的四邊形稱為中點四邊形，如圖1，它一定是平行四邊形. 這個結論是法國數學家皮埃爾·瓦里格農（Pierre Varignon，1654年-1722年）發現的，并且他還發現中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半. 但遺憾的是，他所發現的結論直到他逝世后的1731年才被作為定理發表. 人們為了紀念這位杰出的數學家和力學家，把中點四邊形稱為瓦里格農平行四邊形. 下面，請同學們來一起研究中點四邊形與原四邊形之間的關系.

活動1 （1） 探索矩形ABCD的中點四邊形EFGH是______形.

請你畫矩形ABCD和其中點四邊形EFGH，如圖2，觀察猜想四邊形EFGH的形狀. 由三角形中位線的性質得：HG=AC，HE=BD，又矩形的對角線AC=BD，故HG=HE，所以四邊形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形”的逆命題是___________. 這個逆命題是______命題（填“真”或“假”）.

（3） 請你畫一個等腰梯形ABCD和它的中點四邊形EFGH，如圖3.

你一定能說明此時的中點四邊形也是菱形. 可見，（2）中的逆命題“四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形，則原四邊形ABCD是矩形”是假命題.

（4） 當四邊形ABCD滿足條件______時，它的中點四邊形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中點四邊形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的對角線相等這一共同的性質使得它們的中點四邊形中有一組鄰邊相等.因此，要四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形，只要使原四邊形ABCD的對角線相等即可.

請你畫一個四邊形ABCD，并使對角線AC=BD，再畫出中點四邊形EFGH，如圖4，你能說明四邊形EFGH一定是菱形嗎？

（5） 歸納：原四邊形的對角線相等的數量關系正好為中點四邊形的鄰邊提供了相等這一數量關系，從而使中點四邊形為菱形.

活動2 活動1為我們研究這類問題提供了一個模式，請你參照活動1的研究過程探索以下問題：

（1） 菱形ABCD的中點四邊形EFGH是什么特殊四邊形，如圖5，猜想并說明？

（2） 當四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是矩形時，如圖6，則原四邊形ABCD只需滿足什么條件？

（3） 歸納：原四邊形的對角線______的位置關系為中點四邊形的鄰邊提供了______這一位置關系，從而使中點四邊形為矩形.

（4） 請你結合上述活動經驗并通過畫圖說明：要使中點四邊形EFGH是正方形，則原四邊形ABCD應滿足什么條件？

活動3 探究中點四邊形與原四邊形之間的面積關系.

請你從特殊情況入手，如圖6，原四邊形ABCD的面積為AC·BD，中點四邊形EFGH的面積為EF·EH=AC·BD，所以中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.由此猜想：任意四邊形的中點四邊形面積是原四邊形的一半，如圖1.

探究方法：如圖7，請你說明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四個三角形全等，所以這四個三角形的面積都為△ABC的. 如圖8，由圖7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四邊形ABCD，故中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

活動4 當原四邊形是凹四邊形時，它的中點四邊形要成為菱形、矩形、正方形，那么原四邊形又需要滿足什么條件呢？它的中點四邊形的面積還是原四邊形的一半嗎？請你按照上述的研究方法進行探索.

可見，在研究中點四邊形的過程中，四邊形（特別是特殊四邊形）的性質和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四邊形提供了對角線的數量相等或位置垂直這種關系，通過三角形的中位線傳遞給了中點四邊形的鄰邊，從而決定中點四邊形的形狀.類比與變式是研究問題的基本方法，把研究凸四邊形與其中點四邊形的關系的方法可以遷移到研究凹四邊形中. 探究中運用三角形中位線所構成的基本圖形來溝通中點四邊形的邊與原四邊形的對角線、面積與面積之間的關系，同學們要注重在探究過程中積累這些基本的數學活動經驗.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學）

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順次連接任意四邊形ABCD的各邊中點所組成的四邊形稱為中點四邊形，如圖1，它一定是平行四邊形. 這個結論是法國數學家皮埃爾·瓦里格農（Pierre Varignon，1654年-1722年）發現的，并且他還發現中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半. 但遺憾的是，他所發現的結論直到他逝世后的1731年才被作為定理發表. 人們為了紀念這位杰出的數學家和力學家，把中點四邊形稱為瓦里格農平行四邊形. 下面，請同學們來一起研究中點四邊形與原四邊形之間的關系.

活動1 （1） 探索矩形ABCD的中點四邊形EFGH是______形.

請你畫矩形ABCD和其中點四邊形EFGH，如圖2，觀察猜想四邊形EFGH的形狀. 由三角形中位線的性質得：HG=AC，HE=BD，又矩形的對角線AC=BD，故HG=HE，所以四邊形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形”的逆命題是___________. 這個逆命題是______命題（填“真”或“假”）.

（3） 請你畫一個等腰梯形ABCD和它的中點四邊形EFGH，如圖3.

你一定能說明此時的中點四邊形也是菱形. 可見，（2）中的逆命題“四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形，則原四邊形ABCD是矩形”是假命題.

（4） 當四邊形ABCD滿足條件______時，它的中點四邊形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中點四邊形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的對角線相等這一共同的性質使得它們的中點四邊形中有一組鄰邊相等.因此，要四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形，只要使原四邊形ABCD的對角線相等即可.

請你畫一個四邊形ABCD，并使對角線AC=BD，再畫出中點四邊形EFGH，如圖4，你能說明四邊形EFGH一定是菱形嗎？

（5） 歸納：原四邊形的對角線相等的數量關系正好為中點四邊形的鄰邊提供了相等這一數量關系，從而使中點四邊形為菱形.

活動2 活動1為我們研究這類問題提供了一個模式，請你參照活動1的研究過程探索以下問題：

（1） 菱形ABCD的中點四邊形EFGH是什么特殊四邊形，如圖5，猜想并說明？

（2） 當四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是矩形時，如圖6，則原四邊形ABCD只需滿足什么條件？

（3） 歸納：原四邊形的對角線______的位置關系為中點四邊形的鄰邊提供了______這一位置關系，從而使中點四邊形為矩形.

（4） 請你結合上述活動經驗并通過畫圖說明：要使中點四邊形EFGH是正方形，則原四邊形ABCD應滿足什么條件？

活動3 探究中點四邊形與原四邊形之間的面積關系.

請你從特殊情況入手，如圖6，原四邊形ABCD的面積為AC·BD，中點四邊形EFGH的面積為EF·EH=AC·BD，所以中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.由此猜想：任意四邊形的中點四邊形面積是原四邊形的一半，如圖1.

探究方法：如圖7，請你說明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四個三角形全等，所以這四個三角形的面積都為△ABC的. 如圖8，由圖7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四邊形ABCD，故中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

活動4 當原四邊形是凹四邊形時，它的中點四邊形要成為菱形、矩形、正方形，那么原四邊形又需要滿足什么條件呢？它的中點四邊形的面積還是原四邊形的一半嗎？請你按照上述的研究方法進行探索.

可見，在研究中點四邊形的過程中，四邊形（特別是特殊四邊形）的性質和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四邊形提供了對角線的數量相等或位置垂直這種關系，通過三角形的中位線傳遞給了中點四邊形的鄰邊，從而決定中點四邊形的形狀.類比與變式是研究問題的基本方法，把研究凸四邊形與其中點四邊形的關系的方法可以遷移到研究凹四邊形中. 探究中運用三角形中位線所構成的基本圖形來溝通中點四邊形的邊與原四邊形的對角線、面積與面積之間的關系，同學們要注重在探究過程中積累這些基本的數學活動經驗.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學）

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順次連接任意四邊形ABCD的各邊中點所組成的四邊形稱為中點四邊形，如圖1，它一定是平行四邊形. 這個結論是法國數學家皮埃爾·瓦里格農（Pierre Varignon，1654年-1722年）發現的，并且他還發現中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半. 但遺憾的是，他所發現的結論直到他逝世后的1731年才被作為定理發表. 人們為了紀念這位杰出的數學家和力學家，把中點四邊形稱為瓦里格農平行四邊形. 下面，請同學們來一起研究中點四邊形與原四邊形之間的關系.

活動1 （1） 探索矩形ABCD的中點四邊形EFGH是______形.

請你畫矩形ABCD和其中點四邊形EFGH，如圖2，觀察猜想四邊形EFGH的形狀. 由三角形中位線的性質得：HG=AC，HE=BD，又矩形的對角線AC=BD，故HG=HE，所以四邊形EFGH是菱形.

（2） “矩形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形”的逆命題是___________. 這個逆命題是______命題（填“真”或“假”）.

（3） 請你畫一個等腰梯形ABCD和它的中點四邊形EFGH，如圖3.

你一定能說明此時的中點四邊形也是菱形. 可見，（2）中的逆命題“四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形，則原四邊形ABCD是矩形”是假命題.

（4） 當四邊形ABCD滿足條件______時，它的中點四邊形EFGH一定是菱形.

由（1）、（2）、（3）可知，矩形和等腰梯形的中點四邊形都是菱形，正是由矩形和等腰梯形的對角線相等這一共同的性質使得它們的中點四邊形中有一組鄰邊相等.因此，要四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是菱形，只要使原四邊形ABCD的對角線相等即可.

請你畫一個四邊形ABCD，并使對角線AC=BD，再畫出中點四邊形EFGH，如圖4，你能說明四邊形EFGH一定是菱形嗎？

（5） 歸納：原四邊形的對角線相等的數量關系正好為中點四邊形的鄰邊提供了相等這一數量關系，從而使中點四邊形為菱形.

活動2 活動1為我們研究這類問題提供了一個模式，請你參照活動1的研究過程探索以下問題：

（1） 菱形ABCD的中點四邊形EFGH是什么特殊四邊形，如圖5，猜想并說明？

（2） 當四邊形ABCD的中點四邊形EFGH是矩形時，如圖6，則原四邊形ABCD只需滿足什么條件？

（3） 歸納：原四邊形的對角線______的位置關系為中點四邊形的鄰邊提供了______這一位置關系，從而使中點四邊形為矩形.

（4） 請你結合上述活動經驗并通過畫圖說明：要使中點四邊形EFGH是正方形，則原四邊形ABCD應滿足什么條件？

活動3 探究中點四邊形與原四邊形之間的面積關系.

請你從特殊情況入手，如圖6，原四邊形ABCD的面積為AC·BD，中點四邊形EFGH的面積為EF·EH=AC·BD，所以中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.由此猜想：任意四邊形的中點四邊形面積是原四邊形的一半，如圖1.

探究方法：如圖7，請你說明△ADE、△DBF、△EFC、△FED四個三角形全等，所以這四個三角形的面積都為△ABC的. 如圖8，由圖7可得S△AEH=S△ABD，S△CFG

=S△CBD，S△BEF=S△ABC，S△DHG=S△ADC，所以（S△AEH+S△CFG）+（S△BEF+S△DHG）=（S△ABD

+S△CBD）+（S△ABC+S△ADC）=S四邊形ABCD，故中點四邊形的面積是原四邊形面積的一半.

活動4 當原四邊形是凹四邊形時，它的中點四邊形要成為菱形、矩形、正方形，那么原四邊形又需要滿足什么條件呢？它的中點四邊形的面積還是原四邊形的一半嗎？請你按照上述的研究方法進行探索.

可見，在研究中點四邊形的過程中，四邊形（特別是特殊四邊形）的性質和判定方法要掌握得十分牢固，特殊四邊形提供了對角線的數量相等或位置垂直這種關系，通過三角形的中位線傳遞給了中點四邊形的鄰邊，從而決定中點四邊形的形狀.類比與變式是研究問題的基本方法，把研究凸四邊形與其中點四邊形的關系的方法可以遷移到研究凹四邊形中. 探究中運用三角形中位線所構成的基本圖形來溝通中點四邊形的邊與原四邊形的對角線、面積與面積之間的關系，同學們要注重在探究過程中積累這些基本的數學活動經驗.

（作者單位：江蘇省常熟市海虞中學）

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