一類矩形翻折問題的解法舉例

陸騰宇

圖形的翻折是指把某個或部分圖形沿某直線折疊，翻折部分的圖形位置發生了變化，但形狀和大小不變. 這類問題能很好地訓練同學們的空間想象和邏輯思維能力，通常與直角三角形、等腰三角形、圖形的全等、面積等知識關聯，在近幾年的中考中備受青睞. 現舉例如下，供同學們參考.

例1 如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為______.

【分析】矩形翻折圖形中，要把握住“兩點一線”，“兩點”就是重合的兩點，“一線”即為對稱軸. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考慮勾股定理.

解：設AF=x，則BF=8-x，易證FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

變式 如圖2，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形紙片折疊，使點B和點D重合，折痕為EF.

求：DE、EF的長.

解：設DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如圖3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD=______.

【分析】要求AD的長，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的長即可，CF易知，故關鍵求BF的長，這由翻折和全等即求得A′B與A′F的長.

解：如圖4所示，連接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因為E為AD的中點，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因為F為CD的中點，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的長為.

評注：矩形翻折后會出現全等三角形、直角三角形，產生相等的線段和角，再利用勾股定理來求線段的長度.

變式 如圖5所示，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內部. 將AF延長交邊BC于點G. 若=，則=______（用含k的代數式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代數式表示.

解：設CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中點，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

連接EG，易證△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

評注：本題采用賦值法，有利于線段長度的計算.

例3 如圖6所示，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.

（1） 求證：CM=CN；

（2） 若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，求的值.

解：（1） 由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2） 過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

（作者單位：江蘇省常熟市昆承中學）

endprint

圖形的翻折是指把某個或部分圖形沿某直線折疊，翻折部分的圖形位置發生了變化，但形狀和大小不變. 這類問題能很好地訓練同學們的空間想象和邏輯思維能力，通常與直角三角形、等腰三角形、圖形的全等、面積等知識關聯，在近幾年的中考中備受青睞. 現舉例如下，供同學們參考.

例1 如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為______.

【分析】矩形翻折圖形中，要把握住“兩點一線”，“兩點”就是重合的兩點，“一線”即為對稱軸. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考慮勾股定理.

解：設AF=x，則BF=8-x，易證FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

變式 如圖2，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形紙片折疊，使點B和點D重合，折痕為EF.

求：DE、EF的長.

解：設DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如圖3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD=______.

【分析】要求AD的長，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的長即可，CF易知，故關鍵求BF的長，這由翻折和全等即求得A′B與A′F的長.

解：如圖4所示，連接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因為E為AD的中點，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因為F為CD的中點，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的長為.

評注：矩形翻折后會出現全等三角形、直角三角形，產生相等的線段和角，再利用勾股定理來求線段的長度.

變式 如圖5所示，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內部. 將AF延長交邊BC于點G. 若=，則=______（用含k的代數式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代數式表示.

解：設CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中點，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

連接EG，易證△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

評注：本題采用賦值法，有利于線段長度的計算.

例3 如圖6所示，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.

（1） 求證：CM=CN；

（2） 若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，求的值.

解：（1） 由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2） 過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

（作者單位：江蘇省常熟市昆承中學）

endprint

圖形的翻折是指把某個或部分圖形沿某直線折疊，翻折部分的圖形位置發生了變化，但形狀和大小不變. 這類問題能很好地訓練同學們的空間想象和邏輯思維能力，通常與直角三角形、等腰三角形、圖形的全等、面積等知識關聯，在近幾年的中考中備受青睞. 現舉例如下，供同學們參考.

例1 如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為______.

【分析】矩形翻折圖形中，要把握住“兩點一線”，“兩點”就是重合的兩點，“一線”即為對稱軸. 一般地，重合的部分有“等腰”，不重合的部分考慮勾股定理.

解：設AF=x，則BF=8-x，易證FC=AF=x，

在Rt△BFC中，CF2=BF2+BC2，

∴x2=（8-x）2+42. 解得x=5.

∴S△AFC=AF·BC=×5×4=10.

變式 如圖2，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=8，把矩形紙片折疊，使點B和點D重合，折痕為EF.

求：DE、EF的長.

解：設DE=x，由翻折知，A′D=AB=4，

A′E=AE=8-x.

∵∠A′=∠A=90°，

∴DE2=A′E2+A′D2，

即x2=（8-x）2+42，解得x=5.

由翻折知∠BFE=∠DFE，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE.

∴∠DFE=∠DEF. ∴DE=DF.

∵DC=AB=DA′，∴Rt△A′DE≌Rt△CDF.

∴BF=DF=DE=5.

在矩形CDGF中，DG=CF=3，∴EG=2.

∴EF===2.

例2 如圖3所示，矩形ABCD中，AB=1，E、F分別為AD、CD的中點，沿BE將△ABE折疊，若點A恰好落在BF上，則AD=______.

【分析】要求AD的長，只要在Rt△ACF中利用勾股定理求得BC的長即可，CF易知，故關鍵求BF的長，這由翻折和全等即求得A′B與A′F的長.

解：如圖4所示，連接EF，△A′BE由△ABE翻折所得，又因為E為AD的中點，所以A′B=AB=1，AE=A′E=DE，易知Rt△A′EF

≌Rt△DEF.

又因為F為CD的中點，所以A′F=DF=CF=CD=.

在Rt△BCF中，BF=A′B+A′F=，所以BC===.

所以AD的長為.

評注：矩形翻折后會出現全等三角形、直角三角形，產生相等的線段和角，再利用勾股定理來求線段的長度.

變式 如圖5所示，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內部. 將AF延長交邊BC于點G. 若=，則=______（用含k的代數式表示）.

【分析】把AD、AB用含k的代數式表示.

解：設CG=1，BG=k.

∵△AEF由△AED翻折所得，E是DC的中點，

∴EF=DE=EC，AF=AD=BC=k+1.

連接EG，易證△EFG≌△ECG，∴GF

=CG=1.

∴AG=AF+FG=k+2.

∵∠B=90°，∴AG2=BG2+AB2.

∴AB==2.

∴==.

評注：本題采用賦值法，有利于線段長度的計算.

例3 如圖6所示，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.

（1） 求證：CM=CN；

（2） 若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，求的值.

解：（1） 由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM.在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，∴CM=CN；

（2） 過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC.

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，

∴===3.

∴MC=3ND=3HC，MH=2HC.

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，

DC==2x，

∴HN=2x.

在Rt△MNH中，

MN==2x.

∴==2.

（作者單位：江蘇省常熟市昆承中學）

endprint