由一道課本習(xí)題出發(fā)

高爽

分式方程是分母中含有未知數(shù)的方程. 求解分式方程時(shí)，通常先去分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程. 這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的典型體現(xiàn). 轉(zhuǎn)化可以為問題的解決帶來方便，但在轉(zhuǎn)化的過程中，總有一些同學(xué)出現(xiàn)問題，導(dǎo)致方程解錯(cuò). 這里，我們需要強(qiáng)調(diào)，轉(zhuǎn)化帶來的形式上的變化，其根源在于運(yùn)算本質(zhì). 只有抓住運(yùn)算本質(zhì)，才能解好分式方程.

讓我們從一道課本例題說起：

例1 （蘇科版八下，第115頁(yè)探索）

解方程：=-1.

根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，先列舉一些學(xué)生的“錯(cuò)解”，然后進(jìn)行剖析與點(diǎn)評(píng).

【錯(cuò)解1】方程兩邊同乘（x-2）（3x-6），得

（5x-4）（3x-6）=（4x+10）（x-2）-（x-2）·（3x-6）.

【點(diǎn)評(píng)】這樣，分母是去掉了，可整理的過程以及整理出來的結(jié)果都會(huì)使問題陷入僵局. 原因在于沒有分析好最簡(jiǎn)公分母就盲目下手. 可見，解分式方程的第一步，是在未動(dòng)筆之前先確定好合理的公分母——要對(duì)能因式分解的分母徹底分解，取所有分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作為公分母，即最簡(jiǎn)公分母. 這就像“兵馬未動(dòng)，糧草先行”的道理，做好了充足準(zhǔn)備，解題才會(huì)順利.

【錯(cuò)解2】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-1.

【點(diǎn)評(píng)】最簡(jiǎn)公分母找對(duì)了，分母也去掉了，等式卻失衡了. 因?yàn)?1那一項(xiàng)漏乘，等式已經(jīng)不成立了. 去分母，一定要遵守等式的基本性質(zhì)，必須保證等式左右兩邊的公平，每一項(xiàng)都要乘最簡(jiǎn)公分母. 這里最值得關(guān)注的是分式方程中的整式項(xiàng). 解分式方程時(shí)，對(duì)整式項(xiàng)的處理，經(jīng)常是同學(xué)們?nèi)菀壮鰡栴}的地方，應(yīng)該注意兩點(diǎn)：第一，整式項(xiàng)不能漏乘；第二，整式項(xiàng)乘最簡(jiǎn)公分母后，不能漏掉應(yīng)該添加的括號(hào)，而且要嚴(yán)格遵守去括號(hào)的變號(hào)法則. 走好這一步，表面看是要注意運(yùn)算細(xì)節(jié)，其實(shí)是要抓準(zhǔn)等式基本性質(zhì)、約分法則，以及括號(hào)法則的運(yùn)用.

【錯(cuò)解3】方程兩邊同乘3（x-2），得

3（5x-4）=4x+10-3（x-2）.

解得：x=2.

所以，原分式方程的解為：x=2.

【點(diǎn)評(píng)】轉(zhuǎn)化來的整式方程是易于求解，但它的解未必是原分式方程的解. 當(dāng)我們把x=2代回原方程時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)原方程的分母都等于0. 原分式無意義！怎么會(huì)這樣？回憶我們?nèi)シ帜傅倪^程，分母沒了，x的取值范圍擴(kuò)大了，而實(shí)際上原方程中的x是不能等于2的. 所以x=2只是整式方程的解，并不是原分式方程的解. 這時(shí)，我們稱x=2為原分式方程的增根. 可見，解分式方程與解整式方程不同，轉(zhuǎn)化而來的東西，要經(jīng)得起考驗(yàn). 所以，驗(yàn)根是解分式方程必不可少的一步.

反思與賞析：一道好的例題，一定蘊(yùn)含著若干個(gè)閃光點(diǎn)，聰明的你如能發(fā)掘出來，解決問題的功力就會(huì)大大增強(qiáng). 這個(gè)例題在告訴我們，解好分式方程不能忽視三點(diǎn)：

第一，最簡(jiǎn)公分母一定要做到最簡(jiǎn)；

第二，等式基本性質(zhì)的使用一定要公平；

第三，解完方程一定要驗(yàn)根.

（編者按：關(guān)于分式方程的驗(yàn)根，可以參見本期楊琦同學(xué)的數(shù)學(xué)寫作《對(duì)分式方程檢驗(yàn)的認(rèn)識(shí)》）

由于分式方程的驗(yàn)根是必不可少的“特色步驟”，以下就介紹幾種不同的驗(yàn)根方法：

一、 直接驗(yàn)根法

將解得的值分別代入原分式方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，此解即為原分式方程的解，否則，此解就不是原分式方程的解.

例2 解方程=.

講解：原方程變形得2x=x-1，∴x=-1.

檢驗(yàn)：把x=-1分別代入原分式方程的左邊和右邊，左邊==-1，右邊==-1，左邊=右邊，所以x=-1是原分式方程的解.

反思：運(yùn)用直接驗(yàn)根法，不僅能檢驗(yàn)出原分式方程的解，而且還能檢驗(yàn)求得的解是否正確.

二、 各分母驗(yàn)根法

把所求得的值代入原分式方程的各個(gè)分母中，如果使各個(gè)分母的值都不為0，則此解為原分式方程的解；若有分母為0，則不是原分式方程的解.

例3 解分式方程：=.

講解：去分母得：2（x-1）=x-3.

解得x=-1.

檢驗(yàn)：把x=-1分別代入原分式方程的各個(gè)分母得x-3=-1-3=-4，x-1=-1-1=-2，分母都不為0，所以x=-1是原分式方程的解.

三、 公分母驗(yàn)根法

把解得的值代入最簡(jiǎn)公分母中進(jìn)行檢驗(yàn)，使得最簡(jiǎn)公分母為0的值不是原分式方程的解，否則即為原分式方程的解.

例4 解分式方程：=-1.

講解：方程兩邊同乘3（x-2），得3（5x-4）=4x+10-3（x-2）.

解這個(gè)方程，得x=2.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=2時(shí)，3（x-2）=0，所以x=2是增根，原方程無解.

反思：公分母驗(yàn)根法比較簡(jiǎn)單，因此常被廣泛地采用.

（作者單位：河北省秦皇島市第十六中學(xué)）

endprint