“平行四邊形”常見錯誤

徐俊鋒

由于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定都比較多，同學們在學習時往往容易遺漏判定的條件、混淆圖形的性質，造成這樣那樣的錯誤. 現在列舉一些中心對稱圖形（平行四邊形）中常見的錯誤并加以剖析，希望對同學們學習中心對稱圖形（平行四邊形）這一章有所幫助.

一、 圖形性質方面的錯誤

例1 如圖1，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點，連接OB、OD，則BO=OD嗎？為什么？

【常見錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD（平行四邊形對角線互相平分）.

【錯解分析】對“平行四邊形對角線互相平分”這一性質理解不深. 題中沒有說明OB、OD在一直線上，即沒有“對角線BD”這個條件，所以不能直接用這一性質.

【錯解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD且AB∥CD（平行四邊形對邊平行且相等），∴∠1=∠2.

∵O是AC的中點，

∴AO=CO.

在△AOB和△COD中，

AO=CO，

∠1=∠2，

AB=CD，

∴△AOB≌△COD，∴BO=OD.

例2 正方形具有而菱形不一定具有的性質是（）.

A. 對角線互相垂直

B. 對角線互相平分

C. 對角線相等

D. 對角線平分一組對角

【常見錯解】A、B、D.

【錯解分析】對矩形、菱形、正方形的性質不熟悉. 在學習平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質時，應當熟記它們的邊、角、對角線的性質，同時頭腦中要有圖形，要勤畫圖，這樣對性質的理解會更加深刻.

【錯解改正】C.

二、 圖形判定方面的錯誤

例3 有兩條邊相等，另兩條邊也相等的四邊形是平行四邊形嗎？

【常見錯解】是.

【錯解分析】沒有嚴格對照平行四邊形的定義和判定定理來判斷. 兩組邊相等必須是兩組對邊相等. 當兩條相鄰的邊相等時就不一定是平行四邊形了.

【錯解改正】不是.

例4 如圖2，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，BE平分∠ABC交AD于E，AF與BE相交于G.

求證：四邊形ABFE是菱形.

【常見錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°.

∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠1=∠BAD，∠2=∠ABC.

∠1+∠2=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，

∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.

∴四邊形ABFE是菱形.

【錯解分析】本題常見錯誤是在證四邊形ABFE是菱形時僅僅證明了對角線互相垂直，就說明是菱形，而忽略了四邊形ABFE是平行四邊形這個要求.

【錯解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AFB.

∵AF平分∠BAD，∴∠EAF=∠1.

∴∠1=∠AFB，∴AB=BF.

同理AB=AE，∴AE=BF.

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABFE是平行四邊形.

又∵AB=BF（證AF⊥BE亦可），

∴四邊形ABFE是菱形.

例5 順次連接四邊形四邊中點所組成的四邊形是菱形，則原四邊形為（）.

A. 平行四邊形

B. 菱形

C. 對角線相等的四邊形

D. 對角線互相垂直的四邊形

【常見錯解】B、D.

【錯解分析】想當然地認為中點四邊形（順次連接四邊形四邊中點所組成的四邊形叫做原四邊形的中點四邊形）和原四邊形的邊（對角線）是同樣的性質. 實際上，中點四邊形的邊平行且等于原四邊形的對角線的一半. 畫出圖形能更直觀地發現其中的對應關系.

【錯解改正】C.

總之，同學們在學習這一部分內容時，首先必須熟記圖形的性質和判定，然后必須認識到，學習幾何沒有圖形是不可想象的，一個清楚標準的圖是解決問題的關鍵. 圖形的性質和判定就像游戲中的規則，圖形就像游戲中的地圖，只要兩樣都爛熟于心，你就一定能做得非常棒！

（作者單位：江蘇省常熟市實驗中學）

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由于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定都比較多，同學們在學習時往往容易遺漏判定的條件、混淆圖形的性質，造成這樣那樣的錯誤. 現在列舉一些中心對稱圖形（平行四邊形）中常見的錯誤并加以剖析，希望對同學們學習中心對稱圖形（平行四邊形）這一章有所幫助.

一、 圖形性質方面的錯誤

例1 如圖1，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點，連接OB、OD，則BO=OD嗎？為什么？

【常見錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD（平行四邊形對角線互相平分）.

【錯解分析】對“平行四邊形對角線互相平分”這一性質理解不深. 題中沒有說明OB、OD在一直線上，即沒有“對角線BD”這個條件，所以不能直接用這一性質.

【錯解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD且AB∥CD（平行四邊形對邊平行且相等），∴∠1=∠2.

∵O是AC的中點，

∴AO=CO.

在△AOB和△COD中，

AO=CO，

∠1=∠2，

AB=CD，

∴△AOB≌△COD，∴BO=OD.

例2 正方形具有而菱形不一定具有的性質是（）.

A. 對角線互相垂直

B. 對角線互相平分

C. 對角線相等

D. 對角線平分一組對角

【常見錯解】A、B、D.

【錯解分析】對矩形、菱形、正方形的性質不熟悉. 在學習平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質時，應當熟記它們的邊、角、對角線的性質，同時頭腦中要有圖形，要勤畫圖，這樣對性質的理解會更加深刻.

【錯解改正】C.

二、 圖形判定方面的錯誤

例3 有兩條邊相等，另兩條邊也相等的四邊形是平行四邊形嗎？

【常見錯解】是.

【錯解分析】沒有嚴格對照平行四邊形的定義和判定定理來判斷. 兩組邊相等必須是兩組對邊相等. 當兩條相鄰的邊相等時就不一定是平行四邊形了.

【錯解改正】不是.

例4 如圖2，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，BE平分∠ABC交AD于E，AF與BE相交于G.

求證：四邊形ABFE是菱形.

【常見錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°.

∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠1=∠BAD，∠2=∠ABC.

∠1+∠2=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，

∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.

∴四邊形ABFE是菱形.

【錯解分析】本題常見錯誤是在證四邊形ABFE是菱形時僅僅證明了對角線互相垂直，就說明是菱形，而忽略了四邊形ABFE是平行四邊形這個要求.

【錯解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AFB.

∵AF平分∠BAD，∴∠EAF=∠1.

∴∠1=∠AFB，∴AB=BF.

同理AB=AE，∴AE=BF.

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABFE是平行四邊形.

又∵AB=BF（證AF⊥BE亦可），

∴四邊形ABFE是菱形.

例5 順次連接四邊形四邊中點所組成的四邊形是菱形，則原四邊形為（）.

A. 平行四邊形

B. 菱形

C. 對角線相等的四邊形

D. 對角線互相垂直的四邊形

【常見錯解】B、D.

【錯解分析】想當然地認為中點四邊形（順次連接四邊形四邊中點所組成的四邊形叫做原四邊形的中點四邊形）和原四邊形的邊（對角線）是同樣的性質. 實際上，中點四邊形的邊平行且等于原四邊形的對角線的一半. 畫出圖形能更直觀地發現其中的對應關系.

【錯解改正】C.

總之，同學們在學習這一部分內容時，首先必須熟記圖形的性質和判定，然后必須認識到，學習幾何沒有圖形是不可想象的，一個清楚標準的圖是解決問題的關鍵. 圖形的性質和判定就像游戲中的規則，圖形就像游戲中的地圖，只要兩樣都爛熟于心，你就一定能做得非常棒！

（作者單位：江蘇省常熟市實驗中學）

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由于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定都比較多，同學們在學習時往往容易遺漏判定的條件、混淆圖形的性質，造成這樣那樣的錯誤. 現在列舉一些中心對稱圖形（平行四邊形）中常見的錯誤并加以剖析，希望對同學們學習中心對稱圖形（平行四邊形）這一章有所幫助.

一、 圖形性質方面的錯誤

例1 如圖1，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點，連接OB、OD，則BO=OD嗎？為什么？

【常見錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OB=OD（平行四邊形對角線互相平分）.

【錯解分析】對“平行四邊形對角線互相平分”這一性質理解不深. 題中沒有說明OB、OD在一直線上，即沒有“對角線BD”這個條件，所以不能直接用這一性質.

【錯解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD且AB∥CD（平行四邊形對邊平行且相等），∴∠1=∠2.

∵O是AC的中點，

∴AO=CO.

在△AOB和△COD中，

AO=CO，

∠1=∠2，

AB=CD，

∴△AOB≌△COD，∴BO=OD.

例2 正方形具有而菱形不一定具有的性質是（）.

A. 對角線互相垂直

B. 對角線互相平分

C. 對角線相等

D. 對角線平分一組對角

【常見錯解】A、B、D.

【錯解分析】對矩形、菱形、正方形的性質不熟悉. 在學習平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質時，應當熟記它們的邊、角、對角線的性質，同時頭腦中要有圖形，要勤畫圖，這樣對性質的理解會更加深刻.

【錯解改正】C.

二、 圖形判定方面的錯誤

例3 有兩條邊相等，另兩條邊也相等的四邊形是平行四邊形嗎？

【常見錯解】是.

【錯解分析】沒有嚴格對照平行四邊形的定義和判定定理來判斷. 兩組邊相等必須是兩組對邊相等. 當兩條相鄰的邊相等時就不一定是平行四邊形了.

【錯解改正】不是.

例4 如圖2，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，BE平分∠ABC交AD于E，AF與BE相交于G.

求證：四邊形ABFE是菱形.

【常見錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°.

∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠1=∠BAD，∠2=∠ABC.

∠1+∠2=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°，

∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE.

∴四邊形ABFE是菱形.

【錯解分析】本題常見錯誤是在證四邊形ABFE是菱形時僅僅證明了對角線互相垂直，就說明是菱形，而忽略了四邊形ABFE是平行四邊形這個要求.

【錯解改正】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AFB.

∵AF平分∠BAD，∴∠EAF=∠1.

∴∠1=∠AFB，∴AB=BF.

同理AB=AE，∴AE=BF.

又∵AD∥BC，

∴四邊形ABFE是平行四邊形.

又∵AB=BF（證AF⊥BE亦可），

∴四邊形ABFE是菱形.

例5 順次連接四邊形四邊中點所組成的四邊形是菱形，則原四邊形為（）.

A. 平行四邊形

B. 菱形

C. 對角線相等的四邊形

D. 對角線互相垂直的四邊形

【常見錯解】B、D.

【錯解分析】想當然地認為中點四邊形（順次連接四邊形四邊中點所組成的四邊形叫做原四邊形的中點四邊形）和原四邊形的邊（對角線）是同樣的性質. 實際上，中點四邊形的邊平行且等于原四邊形的對角線的一半. 畫出圖形能更直觀地發現其中的對應關系.

【錯解改正】C.

總之，同學們在學習這一部分內容時，首先必須熟記圖形的性質和判定，然后必須認識到，學習幾何沒有圖形是不可想象的，一個清楚標準的圖是解決問題的關鍵. 圖形的性質和判定就像游戲中的規則，圖形就像游戲中的地圖，只要兩樣都爛熟于心，你就一定能做得非常棒！

（作者單位：江蘇省常熟市實驗中學）

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