理順關系 克服難點

馬文勝

“平行四邊形”是初中數學的一個重點內容，具有很重要的地位.主要研究對象是平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊的四邊形.在填空、選擇、解答等題型中均有出現.近年的考試中又出現了相關的開放題、應用題、閱讀理解題、學科綜合題、動點問題、折疊問題等，應引起同學們的高度重視.

一、 掌握平行四邊形的概念及有關性質和判定，并能進行計算和證明

例1 如圖1，在?ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB.

（1） 求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2） 若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

【重點】平行四邊形的概念及有關性質和判定.

【難點】平行四邊形多種判定方法的合理選取.

證明：（1） ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，

∴∠ADE=∠CBF=60°.

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形.

在?ABCD中，AD=BC，∴ED=BF.

∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF.

又∵DC∥AB，即EC∥AF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.

（2） 上述結論成立. （過程略）

方法總結：平行四邊形的判定方法：

（1） 如果已知一組對邊平行，常考慮證另一組對邊平行或者證這組對邊相等；

（2） 如果已知一組對邊相等，常考慮證另一組對邊相等或者證這組對邊平行；

（3） 如果已知條件與對角線有關，常考慮證對角線互相平分.

二、 掌握平行四邊形與矩形的關系，會利用矩形的性質與判定來解題

例2 如圖2，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC. 設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，連接AE，AF. 那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.

【重點】矩形的概念及有關性質和判定.

【難點】判定一個四邊形是矩形，可以先判定四邊形是平行四邊形，再找一個內角是直角或說明對角線相等.

證明：當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形.

∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO，∴EO=FO.

又OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形.

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，即∠ECF=90°.

∴四邊形AECF是矩形.

【方法總結】矩形的定義既可以作為性質，也可以作為判定. 矩形的性質是求證線段或角相等時常用的知識點. 證明一個四邊形是矩形的方法：（1） 先證明它是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；（2） 先證明它是平行四邊形，再證明它的對角線相等；（3） 證明有三個內角為90°.

三、 掌握平行四邊形與菱形的關系，會利用菱形的性質與判定來解題

例3 如圖3，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.

（1） 求證：四邊形OCED是菱形；

（2） 若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為8，求AC的長.

【重點】菱形的相關性質和判定，菱形的面積計算方法.

【難點】菱形判定方法的合理選取，菱形面積公式的使用分析：（1） 先證明四邊形OCED是平行四邊形，然后證明它的一組鄰邊相等；（2） 因為△DOC是等邊三角形，根據菱形的面積公式可以求菱形的邊長，從而求出AC的長.

證明：（1） ∵DE∥OC，CE∥OD，∴四邊形OCED是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD. ∴四邊形OCED是菱形.

（2） ∵∠ACB=30°，∴∠DCO=90°-30°=60°. 又∵OD=OC，∴△OCD是等邊三角形.

過D作DF⊥OC于F，則CF=OC，設CF=x，則OC=2x，AC=4x.

在Rt△DFA中，∵AF=3x ∴DF=x.

由菱形OCED的面積為8得OC·DF=8，即2x·x=8. 解得x=2. ∴AC=4×2=8.

【方法總結】菱形的定義既可作為性質，也可作為判定. 證明一個四邊形是菱形的一般方法：（1） 四邊相等；（2） 首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；（3） 對角線互相垂直平分；（4） 對角線垂直的平行四邊形.

（作者單位：江蘇省常熟市周行中學）

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“平行四邊形”是初中數學的一個重點內容，具有很重要的地位.主要研究對象是平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊的四邊形.在填空、選擇、解答等題型中均有出現.近年的考試中又出現了相關的開放題、應用題、閱讀理解題、學科綜合題、動點問題、折疊問題等，應引起同學們的高度重視.

一、 掌握平行四邊形的概念及有關性質和判定，并能進行計算和證明

例1 如圖1，在?ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB.

（1） 求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2） 若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

【重點】平行四邊形的概念及有關性質和判定.

【難點】平行四邊形多種判定方法的合理選取.

證明：（1） ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，

∴∠ADE=∠CBF=60°.

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形.

在?ABCD中，AD=BC，∴ED=BF.

∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF.

又∵DC∥AB，即EC∥AF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.

（2） 上述結論成立. （過程略）

方法總結：平行四邊形的判定方法：

（1） 如果已知一組對邊平行，常考慮證另一組對邊平行或者證這組對邊相等；

（2） 如果已知一組對邊相等，常考慮證另一組對邊相等或者證這組對邊平行；

（3） 如果已知條件與對角線有關，常考慮證對角線互相平分.

二、 掌握平行四邊形與矩形的關系，會利用矩形的性質與判定來解題

例2 如圖2，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC. 設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，連接AE，AF. 那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.

【重點】矩形的概念及有關性質和判定.

【難點】判定一個四邊形是矩形，可以先判定四邊形是平行四邊形，再找一個內角是直角或說明對角線相等.

證明：當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形.

∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO，∴EO=FO.

又OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形.

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，即∠ECF=90°.

∴四邊形AECF是矩形.

【方法總結】矩形的定義既可以作為性質，也可以作為判定. 矩形的性質是求證線段或角相等時常用的知識點. 證明一個四邊形是矩形的方法：（1） 先證明它是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；（2） 先證明它是平行四邊形，再證明它的對角線相等；（3） 證明有三個內角為90°.

三、 掌握平行四邊形與菱形的關系，會利用菱形的性質與判定來解題

例3 如圖3，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.

（1） 求證：四邊形OCED是菱形；

（2） 若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為8，求AC的長.

【重點】菱形的相關性質和判定，菱形的面積計算方法.

【難點】菱形判定方法的合理選取，菱形面積公式的使用分析：（1） 先證明四邊形OCED是平行四邊形，然后證明它的一組鄰邊相等；（2） 因為△DOC是等邊三角形，根據菱形的面積公式可以求菱形的邊長，從而求出AC的長.

證明：（1） ∵DE∥OC，CE∥OD，∴四邊形OCED是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD. ∴四邊形OCED是菱形.

（2） ∵∠ACB=30°，∴∠DCO=90°-30°=60°. 又∵OD=OC，∴△OCD是等邊三角形.

過D作DF⊥OC于F，則CF=OC，設CF=x，則OC=2x，AC=4x.

在Rt△DFA中，∵AF=3x ∴DF=x.

由菱形OCED的面積為8得OC·DF=8，即2x·x=8. 解得x=2. ∴AC=4×2=8.

【方法總結】菱形的定義既可作為性質，也可作為判定. 證明一個四邊形是菱形的一般方法：（1） 四邊相等；（2） 首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；（3） 對角線互相垂直平分；（4） 對角線垂直的平行四邊形.

（作者單位：江蘇省常熟市周行中學）

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“平行四邊形”是初中數學的一個重點內容，具有很重要的地位.主要研究對象是平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊的四邊形.在填空、選擇、解答等題型中均有出現.近年的考試中又出現了相關的開放題、應用題、閱讀理解題、學科綜合題、動點問題、折疊問題等，應引起同學們的高度重視.

一、 掌握平行四邊形的概念及有關性質和判定，并能進行計算和證明

例1 如圖1，在?ABCD中，∠DAB=60°，點E、F分別在CD、AB的延長線上，且AE=AD，CF=CB.

（1） 求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2） 若去掉已知條件的“∠DAB=60°”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

【重點】平行四邊形的概念及有關性質和判定.

【難點】平行四邊形多種判定方法的合理選取.

證明：（1） ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，

∴∠ADE=∠CBF=60°.

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形.

在?ABCD中，AD=BC，∴ED=BF.

∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF.

又∵DC∥AB，即EC∥AF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形.

（2） 上述結論成立. （過程略）

方法總結：平行四邊形的判定方法：

（1） 如果已知一組對邊平行，常考慮證另一組對邊平行或者證這組對邊相等；

（2） 如果已知一組對邊相等，常考慮證另一組對邊相等或者證這組對邊平行；

（3） 如果已知條件與對角線有關，常考慮證對角線互相平分.

二、 掌握平行四邊形與矩形的關系，會利用矩形的性質與判定來解題

例2 如圖2，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC. 設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，連接AE，AF. 那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論.

【重點】矩形的概念及有關性質和判定.

【難點】判定一個四邊形是矩形，可以先判定四邊形是平行四邊形，再找一個內角是直角或說明對角線相等.

證明：當點O運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形.

∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO，∴EO=FO.

又OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形.

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，即∠ECF=90°.

∴四邊形AECF是矩形.

【方法總結】矩形的定義既可以作為性質，也可以作為判定. 矩形的性質是求證線段或角相等時常用的知識點. 證明一個四邊形是矩形的方法：（1） 先證明它是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；（2） 先證明它是平行四邊形，再證明它的對角線相等；（3） 證明有三個內角為90°.

三、 掌握平行四邊形與菱形的關系，會利用菱形的性質與判定來解題

例3 如圖3，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD.

（1） 求證：四邊形OCED是菱形；

（2） 若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為8，求AC的長.

【重點】菱形的相關性質和判定，菱形的面積計算方法.

【難點】菱形判定方法的合理選取，菱形面積公式的使用分析：（1） 先證明四邊形OCED是平行四邊形，然后證明它的一組鄰邊相等；（2） 因為△DOC是等邊三角形，根據菱形的面積公式可以求菱形的邊長，從而求出AC的長.

證明：（1） ∵DE∥OC，CE∥OD，∴四邊形OCED是平行四邊形. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD. ∴四邊形OCED是菱形.

（2） ∵∠ACB=30°，∴∠DCO=90°-30°=60°. 又∵OD=OC，∴△OCD是等邊三角形.

過D作DF⊥OC于F，則CF=OC，設CF=x，則OC=2x，AC=4x.

在Rt△DFA中，∵AF=3x ∴DF=x.

由菱形OCED的面積為8得OC·DF=8，即2x·x=8. 解得x=2. ∴AC=4×2=8.

【方法總結】菱形的定義既可作為性質，也可作為判定. 證明一個四邊形是菱形的一般方法：（1） 四邊相等；（2） 首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；（3） 對角線互相垂直平分；（4） 對角線垂直的平行四邊形.

（作者單位：江蘇省常熟市周行中學）

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