數學，能賦予兒童什么？

黃紅成

數學，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個問題，筆者一直在探尋。曾經的認識是，數學是人類建構的產物。“學習就是在作結構的建構。”作為工具性學科，數學教學常常展現出其工具作用的一面：傳授數學知識，讓兒童形成數學技能，積累數學活動經驗和數學思想，學生在知識體系、認知能力、語言表達等“認知結構”方面得到建立和發展。然而在《乘法分配律》的教學研討中，讓筆者又有了新的感悟：數學教學，在改變兒童的內部世界（認知結構、認識觀、價值觀等）的同時，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規教學及困惑

關于《乘法分配律》的教學，教師一般結合買服裝的例題，讓學生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡單比較后，再讓學生舉例、交流，進而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個中隱藏的規律，最后讓學生感悟和總結出“兩個數的和乘第三個數，可以把這兩個數分別乘第三個數，再把兩個積加起來”，并用符號和字母來表示，使乘法分配律的教學由圖象性表征過渡到符號性表征。

作為一種關系結構，乘法分配律的兩邊是以不同數量的節點（具體的數或項）和聯線（運算）組合而成。在特定的情境中，沒有其他關系或結構的影響下，表示乘法分配律的關系結構一般是相對穩定的。但是如果受乘法交換律之類的關系結構的影響，由于兩個關系結構的節點的數量和聯結的方式比較相似，所以學生很容易將乘法分配律的關系結構納入到乘法交換律的結構中去，造成關系結構的錯亂和混淆。比如把（4×12）×25錯誤地與4×25+12×25等同起來。而且時間間隔得越長，學生在常規學習中獲得的一點點感悟，就會逐漸變得模糊起來，以致出現“張冠李戴”的錯誤。

二、 教學改進及思考

如何避免“感悟”式教學帶來的缺憾，幫助學生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進行了下面的實踐探索。

改進教學一：

1.出示問題一：王大伯家有兩塊長方形菜地，第一塊長10米，寬6米；第二塊長8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學生列式，說明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱為分著算。既然有分著算，你肯定會聯想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動畫演示兩個長方形合并成一個長方形的過程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個大長方形？

生：因為兩個長方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結果怎樣？

學生回答。

板書：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長方形咱們找到解決問題的新思路，而且也能看出兩道算式的結果是相等的。

2.出示例題（已改為“問題二”，如圖3）。

學生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過計算或根據算式的意義都能說明兩邊的結果是相等的。不過，同學們有沒有想過，能不能結合剛才的長方形來說明兩種思路，判斷結果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個長方形。

師：老師這兒有兩個長方形。第一個長方形長45，寬是25，45×25算的是什么？長方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個怎樣的長方形面積來表示呢？

生：用長65、寬25的長方形面積表示。

師：把這兩個積相加，求出兩個長方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個長方形怎樣變化就能得到另一種思路啊？

生：合起來。

師：把什么重合？因為兩個長方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來怎么算？65+45在哪兒？就是大長方形的什么？25是什么？兩個長方形的面積有沒有變？面積的和會不會變？所以兩道算式的結果？（出示圖5）

師：借助長方形，不計算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結果是相等的。

……

教學改進二：

練習環節，出示下圖：

窗戶 廣告牌

冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學生結合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數學學習看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數學學習看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學習行為可以看成是旅行中的行走方式，學生之于其中的“改變、豐富、發展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現就成為教學效果的呈現方式。從上面的教學中我們可以看出，數學教學不僅改變了兒童內在的認知結構，而且影響了兒童的數學行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數學。數學模型是一種數學結構。一個概念，就是若干對象由某種特定關系結合組成的結構。而且在學生的知識體系和認知結構中，數學概念和結構常以符號、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中。可見，數學概念教學的效果取決于是否建立了有助于兒童數學理解的數學模型，和特定關系組成的結構是否清晰、穩固。如果教學方式不妥、教學手段單一，學生對概念的感知不夠深刻，很難準確把握對象的本質特征，建構起清晰的認知結構。在上面的教學中，筆者采用了幫助學生建構數學模型的方式展開教學，學生借助直觀的圖形演示，發現乘法分配律兩邊的特征，通過溝通知識間聯系的形式建立節點間的關系，借助符號和圖式等方式固化學生的認知結構，并能長時間地儲存在記憶中。

改變二：用數學感覺意識生活。認知結構除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進理解的功能。學習一個數學概念、原理、法則、性質、規律，如果在心理上組織起適當的、有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，就實現理解了。“乘法分配律”的學習的混淆與運用的偏差，本質上說就是學生沒有理解這一運算規律。上述教學中，學生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因為筆者并沒有將教學停止于幫助學生建構數學模型，也沒有局限在單一的書本練習，而是在運用中，適時地讓學生反復再現能夠表示乘法分配律的模型，并結合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學生有意識地從眾多的生活對象中尋找數學規律，以致能夠自覺地運用個體數學感覺來意識生活中的事物。試想，有了這樣的學習方式，學生還會把乘法分配律與其他規律混淆嗎？還不會運用規律正確解決問題嗎？

豐富了兒童的認知結構，也影響兒童的生活世界！這不僅是數學教學的目標，也是數學教學的至高追求，更應該是數學饋贈給兒童的最好“禮物”！

【責任編輯：陳國慶】endprint

數學，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個問題，筆者一直在探尋。曾經的認識是，數學是人類建構的產物。“學習就是在作結構的建構。”作為工具性學科，數學教學常常展現出其工具作用的一面：傳授數學知識，讓兒童形成數學技能，積累數學活動經驗和數學思想，學生在知識體系、認知能力、語言表達等“認知結構”方面得到建立和發展。然而在《乘法分配律》的教學研討中，讓筆者又有了新的感悟：數學教學，在改變兒童的內部世界（認知結構、認識觀、價值觀等）的同時，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規教學及困惑

關于《乘法分配律》的教學，教師一般結合買服裝的例題，讓學生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡單比較后，再讓學生舉例、交流，進而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個中隱藏的規律，最后讓學生感悟和總結出“兩個數的和乘第三個數，可以把這兩個數分別乘第三個數，再把兩個積加起來”，并用符號和字母來表示，使乘法分配律的教學由圖象性表征過渡到符號性表征。

作為一種關系結構，乘法分配律的兩邊是以不同數量的節點（具體的數或項）和聯線（運算）組合而成。在特定的情境中，沒有其他關系或結構的影響下，表示乘法分配律的關系結構一般是相對穩定的。但是如果受乘法交換律之類的關系結構的影響，由于兩個關系結構的節點的數量和聯結的方式比較相似，所以學生很容易將乘法分配律的關系結構納入到乘法交換律的結構中去，造成關系結構的錯亂和混淆。比如把（4×12）×25錯誤地與4×25+12×25等同起來。而且時間間隔得越長，學生在常規學習中獲得的一點點感悟，就會逐漸變得模糊起來，以致出現“張冠李戴”的錯誤。

二、 教學改進及思考

如何避免“感悟”式教學帶來的缺憾，幫助學生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進行了下面的實踐探索。

改進教學一：

1.出示問題一：王大伯家有兩塊長方形菜地，第一塊長10米，寬6米；第二塊長8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學生列式，說明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱為分著算。既然有分著算，你肯定會聯想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動畫演示兩個長方形合并成一個長方形的過程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個大長方形？

生：因為兩個長方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結果怎樣？

學生回答。

板書：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長方形咱們找到解決問題的新思路，而且也能看出兩道算式的結果是相等的。

2.出示例題（已改為“問題二”，如圖3）。

學生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過計算或根據算式的意義都能說明兩邊的結果是相等的。不過，同學們有沒有想過，能不能結合剛才的長方形來說明兩種思路，判斷結果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個長方形。

師：老師這兒有兩個長方形。第一個長方形長45，寬是25，45×25算的是什么？長方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個怎樣的長方形面積來表示呢？

生：用長65、寬25的長方形面積表示。

師：把這兩個積相加，求出兩個長方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個長方形怎樣變化就能得到另一種思路啊？

生：合起來。

師：把什么重合？因為兩個長方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來怎么算？65+45在哪兒？就是大長方形的什么？25是什么？兩個長方形的面積有沒有變？面積的和會不會變？所以兩道算式的結果？（出示圖5）

師：借助長方形，不計算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結果是相等的。

……

教學改進二：

練習環節，出示下圖：

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師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學生結合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數學學習看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數學學習看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學習行為可以看成是旅行中的行走方式，學生之于其中的“改變、豐富、發展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現就成為教學效果的呈現方式。從上面的教學中我們可以看出，數學教學不僅改變了兒童內在的認知結構，而且影響了兒童的數學行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數學。數學模型是一種數學結構。一個概念，就是若干對象由某種特定關系結合組成的結構。而且在學生的知識體系和認知結構中，數學概念和結構常以符號、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中。可見，數學概念教學的效果取決于是否建立了有助于兒童數學理解的數學模型，和特定關系組成的結構是否清晰、穩固。如果教學方式不妥、教學手段單一，學生對概念的感知不夠深刻，很難準確把握對象的本質特征，建構起清晰的認知結構。在上面的教學中，筆者采用了幫助學生建構數學模型的方式展開教學，學生借助直觀的圖形演示，發現乘法分配律兩邊的特征，通過溝通知識間聯系的形式建立節點間的關系，借助符號和圖式等方式固化學生的認知結構，并能長時間地儲存在記憶中。

改變二：用數學感覺意識生活。認知結構除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進理解的功能。學習一個數學概念、原理、法則、性質、規律，如果在心理上組織起適當的、有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，就實現理解了。“乘法分配律”的學習的混淆與運用的偏差，本質上說就是學生沒有理解這一運算規律。上述教學中，學生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因為筆者并沒有將教學停止于幫助學生建構數學模型，也沒有局限在單一的書本練習，而是在運用中，適時地讓學生反復再現能夠表示乘法分配律的模型，并結合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學生有意識地從眾多的生活對象中尋找數學規律，以致能夠自覺地運用個體數學感覺來意識生活中的事物。試想，有了這樣的學習方式，學生還會把乘法分配律與其他規律混淆嗎？還不會運用規律正確解決問題嗎？

豐富了兒童的認知結構，也影響兒童的生活世界！這不僅是數學教學的目標，也是數學教學的至高追求，更應該是數學饋贈給兒童的最好“禮物”！

【責任編輯：陳國慶】endprint

數學，能夠賦予兒童什么？改變兒童什么？這個問題，筆者一直在探尋。曾經的認識是，數學是人類建構的產物。“學習就是在作結構的建構。”作為工具性學科，數學教學常常展現出其工具作用的一面：傳授數學知識，讓兒童形成數學技能，積累數學活動經驗和數學思想，學生在知識體系、認知能力、語言表達等“認知結構”方面得到建立和發展。然而在《乘法分配律》的教學研討中，讓筆者又有了新的感悟：數學教學，在改變兒童的內部世界（認知結構、認識觀、價值觀等）的同時，也需要影響兒童的生活世界。

一、 常規教學及困惑

關于《乘法分配律》的教學，教師一般結合買服裝的例題，讓學生得出算式（65+45）×5=65×5+45×5，簡單比較后，再讓學生舉例、交流，進而借助多組算式的分析凸顯算式的特征和個中隱藏的規律，最后讓學生感悟和總結出“兩個數的和乘第三個數，可以把這兩個數分別乘第三個數，再把兩個積加起來”，并用符號和字母來表示，使乘法分配律的教學由圖象性表征過渡到符號性表征。

作為一種關系結構，乘法分配律的兩邊是以不同數量的節點（具體的數或項）和聯線（運算）組合而成。在特定的情境中，沒有其他關系或結構的影響下，表示乘法分配律的關系結構一般是相對穩定的。但是如果受乘法交換律之類的關系結構的影響，由于兩個關系結構的節點的數量和聯結的方式比較相似，所以學生很容易將乘法分配律的關系結構納入到乘法交換律的結構中去，造成關系結構的錯亂和混淆。比如把（4×12）×25錯誤地與4×25+12×25等同起來。而且時間間隔得越長，學生在常規學習中獲得的一點點感悟，就會逐漸變得模糊起來，以致出現“張冠李戴”的錯誤。

二、 教學改進及思考

如何避免“感悟”式教學帶來的缺憾，幫助學生牢固而清晰地掌握乘法分配律，筆者進行了下面的實踐探索。

改進教學一：

1.出示問題一：王大伯家有兩塊長方形菜地，第一塊長10米，寬6米；第二塊長8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？

學生列式，說明兩種不同算法的意義。

師：這種先分別求出兩塊菜地的面積，再算出共有多少平方米的思路，老師把它稱為分著算。既然有分著算，你肯定會聯想到什么算？怎樣合著算呢？

生：合著算，不知道。

課件動畫演示兩個長方形合并成一個長方形的過程。如下圖1和圖2。

圖1 圖2

師：為什么能夠合成一個大長方形？

生：因為兩個長方形的寬是相同的。

師：從圖中能看出兩種列式思路嗎？這兩種列式的結果怎樣？

學生回答。

板書：10×6+8×6=（10+8）×6

師：借助大長方形咱們找到解決問題的新思路，而且也能看出兩道算式的結果是相等的。

2.出示例題（已改為“問題二”，如圖3）。

學生分析、列式，得出：（65+45）×25=65×25+45×25。

師：通過計算或根據算式的意義都能說明兩邊的結果是相等的。不過，同學們有沒有想過，能不能結合剛才的長方形來說明兩種思路，判斷結果的大小呢？

依次出示圖4中的兩個長方形。

師：老師這兒有兩個長方形。第一個長方形長45，寬是25，45×25算的是什么？長方形的面積就可以表示45×25的積。那么65×25可以用一個怎樣的長方形面積來表示呢？

生：用長65、寬25的長方形面積表示。

師：把這兩個積相加，求出兩個長方形的面積共是多少，這是分著算。能合著算嗎？把這兩個長方形怎樣變化就能得到另一種思路啊？

生：合起來。

師：把什么重合？因為兩個長方形的寬是？

生：相等的。

師：合起來怎么算？65+45在哪兒？就是大長方形的什么？25是什么？兩個長方形的面積有沒有變？面積的和會不會變？所以兩道算式的結果？（出示圖5）

師：借助長方形，不計算，咱們得到了兩種解題思路，都能看出結果是相等的。

……

教學改進二：

練習環節，出示下圖：

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冰箱 地磚

師：生活中也有乘法分配律，你找到了嗎？

學生結合圖片中的圖形解釋乘法分配律。

如果把兒童的數學學習看成是一種教師伴隨的旅行，每天的數學學習看作是茫茫旅行中的一段。那么，兒童的學習行為可以看成是旅行中的行走方式，學生之于其中的“改變、豐富、發展”可以看作行走的“成效”，兩者的表現就成為教學效果的呈現方式。從上面的教學中我們可以看出，數學教學不僅改變了兒童內在的認知結構，而且影響了兒童的數學行走方式和生活世界。

改變一：用模型思想觀照數學。數學模型是一種數學結構。一個概念，就是若干對象由某種特定關系結合組成的結構。而且在學生的知識體系和認知結構中，數學概念和結構常以符號、圖式、模型等方式存在于兒童的頭腦中。可見，數學概念教學的效果取決于是否建立了有助于兒童數學理解的數學模型，和特定關系組成的結構是否清晰、穩固。如果教學方式不妥、教學手段單一，學生對概念的感知不夠深刻，很難準確把握對象的本質特征，建構起清晰的認知結構。在上面的教學中，筆者采用了幫助學生建構數學模型的方式展開教學，學生借助直觀的圖形演示，發現乘法分配律兩邊的特征，通過溝通知識間聯系的形式建立節點間的關系，借助符號和圖式等方式固化學生的認知結構，并能長時間地儲存在記憶中。

改變二：用數學感覺意識生活。認知結構除了有助于信息的存貯、記憶和操作處理外，還有促進理解的功能。學習一個數學概念、原理、法則、性質、規律，如果在心理上組織起適當的、有效的認知結構，并使之成為個人內部知識網絡的一部分，就實現理解了。“乘法分配律”的學習的混淆與運用的偏差，本質上說就是學生沒有理解這一運算規律。上述教學中，學生之所以能深刻地掌握乘法分配律，是因為筆者并沒有將教學停止于幫助學生建構數學模型，也沒有局限在單一的書本練習，而是在運用中，適時地讓學生反復再現能夠表示乘法分配律的模型，并結合生活中窗子、冰箱、和指示牌上的圖案，讓學生感悟生活中的“乘法分配律”。這樣，就可以刺激學生有意識地從眾多的生活對象中尋找數學規律，以致能夠自覺地運用個體數學感覺來意識生活中的事物。試想，有了這樣的學習方式，學生還會把乘法分配律與其他規律混淆嗎？還不會運用規律正確解決問題嗎？

豐富了兒童的認知結構，也影響兒童的生活世界！這不僅是數學教學的目標，也是數學教學的至高追求，更應該是數學饋贈給兒童的最好“禮物”！

【責任編輯：陳國慶】endprint