教師:做探究性課題的創造者

劉久勝

最近，在揚州市范圍內舉辦了一次公開教學活動，課題是“柱錐臺的表面積”，它是蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修2第一章內容。教材沒有像以往那樣重公式的推導，而是側重介紹推導的思想方法，即立體幾何問題平面化思想、類比思想等。

課后幾位同行結合課堂實際提出了如下問題：在強調直棱柱側面積公式不適用斜棱柱時，有學生提出斜棱柱側面積如何計算，教者為何不再深究？圓臺側面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝π（r+r′）l是教學時類比棱臺得到的，未作嚴格的證明，為什么學生沒有質疑？等等。歸納起來意見集中在一點：課堂沒有鼓勵質疑的精神。

其實，上述問題在課堂教學中教者是有意識地作了回避。可能是基于以下幾點考慮：一是現行教材中已刪去斜棱柱側面積的內容，對學生的學習不作要求。二是公式推導并非教學重點，圓臺側面積公式的推導也就被省略了。三是從教學時間安排上不能顧及。“幾何體側面展開圖”的教學僅1個課時，沒辦法在實際教學中既關注難點又關注考點。

盡管如此，對這節公開課指出的問題令人深思。我們又該如何改進這節課的教學？結合本人教學實踐嘗試，筆者提出，把“柱錐臺的側面積”作為探究性課題，并認為只有把它作為探究教學的案例來組織教學活動，才能把本節內容的學習引向深入。

【重構及說明】

整個教學活動過程可以設計為：首先教師圍繞本課題設計好要探究的問題，然后由學生進行自主探究，寫出課題研究報告，教師收閱后，再選擇對象組織課堂交流。

1.回答“柱錐臺的側面積如何計算？”，并提出解決問題的方法建議。

按照平面化思想方法，將上述幾何體展開成平面圖形，再通過平面圖形面積計算得出，并建議列出結果。要求對多面體從棱柱、棱錐、棱臺中的特殊情形入手。如圖１所示。

S直棱柱側=ch

S正棱錐側=■ch′

S正棱臺側=■（c+c′）h′

類比可得出旋轉體的側面積公式：

S圓柱側＝2πrl

S圓錐側=πrl

S圓臺側=π（r+r′）l

2.由柱、錐、臺三種幾何體的內在關系，說明側面積計算有怎樣的統一性？

正棱錐可以看成正棱臺上底面收縮為一點的情形，直棱柱可以看成正棱臺上底面擴展為下底面的情形。故棱臺側面積公式中c′=0，c′＝c時，即為正棱錐、直棱柱側面積。

3.延伸探究問題：

（1）斜棱柱的側面積展開圖是怎樣的？如何計算側面積？

（2）圓臺側面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝ π（r+r′）l，如何證明？

（3）圓錐、圓臺展開圖中的圓心角與哪些量有關？

（4）你自己想到的其他問題。

問題（1）教材中未涉及，但解決此問題有助于學生對棱柱側面積計算有完整的認識。問題（2）關于圓臺的側面積公式，教材中是類比棱臺得到的，在章節后的鏈接中給出了推導。可以引導學生研讀教材，參閱資料。問題（3）是傳統教材中給出的結論。如圖２所示。

圓錐側面展開圖扇形圓心角?夼＝■·３６０°，圓臺側面展開圖扇環圓心角?夼＝■·３６０°，其中r、r′是底面半徑，l是母線長。以上在新課程教材中未出現，但是作為訓練學生探究能力的素材是十分理想的。

筆者以上述問題為探究內容布置給學生，一周后學生提交的報告內容豐富，想法很多。首先，對斜棱柱側面積公式、圓臺側面積公式都能給出完整的推導過程。其次，學生的研究報告中還提到旋轉體中球的表面積，由于不能展開成一平面圖形，平面化思想方法已經行不通，需要“積分”思想，將球體分割成一個個“準錐體”來推導球面面積。還有學生干脆圍繞本節內容，收集了一些有趣的問題，向同學進行問題征解。這些都給我們的課堂教學增添了許多鮮活的素材。

在課堂交流環節中，一方面要重視上述探究問題的討論，拓寬學生視野，提高研究問題的深度和廣度。另一方面我們要重視對一些基本概念的辨析、基本問題的解決方法的學習和討論。在直棱柱、正棱錐學習過程中，設計一些概念辨析問題，如比較正方體與正四棱柱、正三棱錐與正四面體的異同等。在常見的側面積計算問題中，結合具體問題，讓學生學會從高、斜高、側棱長、底面正多邊形邊長（邊心距、外接圓半徑）中的一些量來推算其他量。還有幾何體表面兩點最短距離問題，讓學生學會用平面化思想方法來解決。這些重點內容在探究性課題的課堂交流環節需要統籌考慮。

筆者在選擇“柱錐臺側面積”作為探究課題，按照上述幾個環節組織探究教學活動后，課堂面貌發生了很大變化：學生一改以前被動學習的狀態，課上積極主動發問，學習討論的內容更加豐富、深刻，超出了我們教學的預期。

【啟發與思考】

缺乏質疑和創新精神的課堂，倒逼我們要加強數學探究教學。學生的獨立思考和勇于質疑的習慣、嚴謹的科學態度和不怕困難的頑強精神，是開展數學探究教學的價值取向。課程標準指出，高中階段至少應為學生安排一次數學探究活動，雖然數學探究的課時和內容未作具體安排，但是數學探究活動是剛性要求。因此，教師要努力成為數學探究課題的創造者，就需要有比較開闊的數學視野，了解與中學數學知識有關的擴展知識和內在的數學思想，并認真思考其中的一些問題，加深對數學的理解，提高數學能力，為指導學生進行數學探究做好充分準備，并積累指導學生進行數學探究的資源。

如何確立數學探究的課題？筆者提出如下兩個路徑供參考。

一是從課本教學內容中選擇探究課題。這樣的課題既能照顧到基礎教學，又能拓寬學生的視野。實踐中選取探究性問題，需要教者的智慧也需要觀念的更新。就本節內容而言，在筆者組織探究性課題教學后，還有教師提出質疑，斜棱柱側面積和圓臺側面積公式推導是傳統教材中繁難的內容，已刪去，在教學中花時間是否妥當？教材及考試說明是開展教學的依據。乍一聽很有道理，但細細品味，卻很不妥。因為新課程理念提出：用教材教而不是教教材。參考不同版本教材，設計出適合學生探究的課題，培養學生探究問題的能力，這才是新課程教學的真正要求。

二是從課堂上學生提出的有意義的問題和見解中捕捉探究課題。例如教學“點到直線距離”一課，除了課本介紹的“求點到直線距離的方法”，即求出垂線交點，用兩點距離求解。教學實踐中有學生提出用等積法來計算距離。還有學生用兩點距離建立函數，通過求函數最小值來計算距離。把這些不同解法，用問題串聯起來，我們就可以用“點到直線距離”作為探究課題，組織探究教學活動。因此平時要重視課堂上生成的問題資源，并加以收集、匯總、提煉，許多有意義的探究性課題就蘊藏其中。■

（作者單位：江蘇省高郵中學）

endprint

最近，在揚州市范圍內舉辦了一次公開教學活動，課題是“柱錐臺的表面積”，它是蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修2第一章內容。教材沒有像以往那樣重公式的推導，而是側重介紹推導的思想方法，即立體幾何問題平面化思想、類比思想等。

課后幾位同行結合課堂實際提出了如下問題：在強調直棱柱側面積公式不適用斜棱柱時，有學生提出斜棱柱側面積如何計算，教者為何不再深究？圓臺側面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝π（r+r′）l是教學時類比棱臺得到的，未作嚴格的證明，為什么學生沒有質疑？等等。歸納起來意見集中在一點：課堂沒有鼓勵質疑的精神。

其實，上述問題在課堂教學中教者是有意識地作了回避。可能是基于以下幾點考慮：一是現行教材中已刪去斜棱柱側面積的內容，對學生的學習不作要求。二是公式推導并非教學重點，圓臺側面積公式的推導也就被省略了。三是從教學時間安排上不能顧及。“幾何體側面展開圖”的教學僅1個課時，沒辦法在實際教學中既關注難點又關注考點。

盡管如此，對這節公開課指出的問題令人深思。我們又該如何改進這節課的教學？結合本人教學實踐嘗試，筆者提出，把“柱錐臺的側面積”作為探究性課題，并認為只有把它作為探究教學的案例來組織教學活動，才能把本節內容的學習引向深入。

【重構及說明】

整個教學活動過程可以設計為：首先教師圍繞本課題設計好要探究的問題，然后由學生進行自主探究，寫出課題研究報告，教師收閱后，再選擇對象組織課堂交流。

1.回答“柱錐臺的側面積如何計算？”，并提出解決問題的方法建議。

按照平面化思想方法，將上述幾何體展開成平面圖形，再通過平面圖形面積計算得出，并建議列出結果。要求對多面體從棱柱、棱錐、棱臺中的特殊情形入手。如圖１所示。

S直棱柱側=ch

S正棱錐側=■ch′

S正棱臺側=■（c+c′）h′

類比可得出旋轉體的側面積公式：

S圓柱側＝2πrl

S圓錐側=πrl

S圓臺側=π（r+r′）l

2.由柱、錐、臺三種幾何體的內在關系，說明側面積計算有怎樣的統一性？

正棱錐可以看成正棱臺上底面收縮為一點的情形，直棱柱可以看成正棱臺上底面擴展為下底面的情形。故棱臺側面積公式中c′=0，c′＝c時，即為正棱錐、直棱柱側面積。

3.延伸探究問題：

（1）斜棱柱的側面積展開圖是怎樣的？如何計算側面積？

（2）圓臺側面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝ π（r+r′）l，如何證明？

（3）圓錐、圓臺展開圖中的圓心角與哪些量有關？

（4）你自己想到的其他問題。

問題（1）教材中未涉及，但解決此問題有助于學生對棱柱側面積計算有完整的認識。問題（2）關于圓臺的側面積公式，教材中是類比棱臺得到的，在章節后的鏈接中給出了推導。可以引導學生研讀教材，參閱資料。問題（3）是傳統教材中給出的結論。如圖２所示。

圓錐側面展開圖扇形圓心角?夼＝■·３６０°，圓臺側面展開圖扇環圓心角?夼＝■·３６０°，其中r、r′是底面半徑，l是母線長。以上在新課程教材中未出現，但是作為訓練學生探究能力的素材是十分理想的。

筆者以上述問題為探究內容布置給學生，一周后學生提交的報告內容豐富，想法很多。首先，對斜棱柱側面積公式、圓臺側面積公式都能給出完整的推導過程。其次，學生的研究報告中還提到旋轉體中球的表面積，由于不能展開成一平面圖形，平面化思想方法已經行不通，需要“積分”思想，將球體分割成一個個“準錐體”來推導球面面積。還有學生干脆圍繞本節內容，收集了一些有趣的問題，向同學進行問題征解。這些都給我們的課堂教學增添了許多鮮活的素材。

在課堂交流環節中，一方面要重視上述探究問題的討論，拓寬學生視野，提高研究問題的深度和廣度。另一方面我們要重視對一些基本概念的辨析、基本問題的解決方法的學習和討論。在直棱柱、正棱錐學習過程中，設計一些概念辨析問題，如比較正方體與正四棱柱、正三棱錐與正四面體的異同等。在常見的側面積計算問題中，結合具體問題，讓學生學會從高、斜高、側棱長、底面正多邊形邊長（邊心距、外接圓半徑）中的一些量來推算其他量。還有幾何體表面兩點最短距離問題，讓學生學會用平面化思想方法來解決。這些重點內容在探究性課題的課堂交流環節需要統籌考慮。

筆者在選擇“柱錐臺側面積”作為探究課題，按照上述幾個環節組織探究教學活動后，課堂面貌發生了很大變化：學生一改以前被動學習的狀態，課上積極主動發問，學習討論的內容更加豐富、深刻，超出了我們教學的預期。

【啟發與思考】

缺乏質疑和創新精神的課堂，倒逼我們要加強數學探究教學。學生的獨立思考和勇于質疑的習慣、嚴謹的科學態度和不怕困難的頑強精神，是開展數學探究教學的價值取向。課程標準指出，高中階段至少應為學生安排一次數學探究活動，雖然數學探究的課時和內容未作具體安排，但是數學探究活動是剛性要求。因此，教師要努力成為數學探究課題的創造者，就需要有比較開闊的數學視野，了解與中學數學知識有關的擴展知識和內在的數學思想，并認真思考其中的一些問題，加深對數學的理解，提高數學能力，為指導學生進行數學探究做好充分準備，并積累指導學生進行數學探究的資源。

如何確立數學探究的課題？筆者提出如下兩個路徑供參考。

一是從課本教學內容中選擇探究課題。這樣的課題既能照顧到基礎教學，又能拓寬學生的視野。實踐中選取探究性問題，需要教者的智慧也需要觀念的更新。就本節內容而言，在筆者組織探究性課題教學后，還有教師提出質疑，斜棱柱側面積和圓臺側面積公式推導是傳統教材中繁難的內容，已刪去，在教學中花時間是否妥當？教材及考試說明是開展教學的依據。乍一聽很有道理，但細細品味，卻很不妥。因為新課程理念提出：用教材教而不是教教材。參考不同版本教材，設計出適合學生探究的課題，培養學生探究問題的能力，這才是新課程教學的真正要求。

二是從課堂上學生提出的有意義的問題和見解中捕捉探究課題。例如教學“點到直線距離”一課，除了課本介紹的“求點到直線距離的方法”，即求出垂線交點，用兩點距離求解。教學實踐中有學生提出用等積法來計算距離。還有學生用兩點距離建立函數，通過求函數最小值來計算距離。把這些不同解法，用問題串聯起來，我們就可以用“點到直線距離”作為探究課題，組織探究教學活動。因此平時要重視課堂上生成的問題資源，并加以收集、匯總、提煉，許多有意義的探究性課題就蘊藏其中。■

（作者單位：江蘇省高郵中學）

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最近，在揚州市范圍內舉辦了一次公開教學活動，課題是“柱錐臺的表面積”，它是蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修2第一章內容。教材沒有像以往那樣重公式的推導，而是側重介紹推導的思想方法，即立體幾何問題平面化思想、類比思想等。

課后幾位同行結合課堂實際提出了如下問題：在強調直棱柱側面積公式不適用斜棱柱時，有學生提出斜棱柱側面積如何計算，教者為何不再深究？圓臺側面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝π（r+r′）l是教學時類比棱臺得到的，未作嚴格的證明，為什么學生沒有質疑？等等。歸納起來意見集中在一點：課堂沒有鼓勵質疑的精神。

其實，上述問題在課堂教學中教者是有意識地作了回避。可能是基于以下幾點考慮：一是現行教材中已刪去斜棱柱側面積的內容，對學生的學習不作要求。二是公式推導并非教學重點，圓臺側面積公式的推導也就被省略了。三是從教學時間安排上不能顧及。“幾何體側面展開圖”的教學僅1個課時，沒辦法在實際教學中既關注難點又關注考點。

盡管如此，對這節公開課指出的問題令人深思。我們又該如何改進這節課的教學？結合本人教學實踐嘗試，筆者提出，把“柱錐臺的側面積”作為探究性課題，并認為只有把它作為探究教學的案例來組織教學活動，才能把本節內容的學習引向深入。

【重構及說明】

整個教學活動過程可以設計為：首先教師圍繞本課題設計好要探究的問題，然后由學生進行自主探究，寫出課題研究報告，教師收閱后，再選擇對象組織課堂交流。

1.回答“柱錐臺的側面積如何計算？”，并提出解決問題的方法建議。

按照平面化思想方法，將上述幾何體展開成平面圖形，再通過平面圖形面積計算得出，并建議列出結果。要求對多面體從棱柱、棱錐、棱臺中的特殊情形入手。如圖１所示。

S直棱柱側=ch

S正棱錐側=■ch′

S正棱臺側=■（c+c′）h′

類比可得出旋轉體的側面積公式：

S圓柱側＝2πrl

S圓錐側=πrl

S圓臺側=π（r+r′）l

2.由柱、錐、臺三種幾何體的內在關系，說明側面積計算有怎樣的統一性？

正棱錐可以看成正棱臺上底面收縮為一點的情形，直棱柱可以看成正棱臺上底面擴展為下底面的情形。故棱臺側面積公式中c′=0，c′＝c時，即為正棱錐、直棱柱側面積。

3.延伸探究問題：

（1）斜棱柱的側面積展開圖是怎樣的？如何計算側面積？

（2）圓臺側面積公式S=■（c+c′）Ｌ＝ π（r+r′）l，如何證明？

（3）圓錐、圓臺展開圖中的圓心角與哪些量有關？

（4）你自己想到的其他問題。

問題（1）教材中未涉及，但解決此問題有助于學生對棱柱側面積計算有完整的認識。問題（2）關于圓臺的側面積公式，教材中是類比棱臺得到的，在章節后的鏈接中給出了推導。可以引導學生研讀教材，參閱資料。問題（3）是傳統教材中給出的結論。如圖２所示。

圓錐側面展開圖扇形圓心角?夼＝■·３６０°，圓臺側面展開圖扇環圓心角?夼＝■·３６０°，其中r、r′是底面半徑，l是母線長。以上在新課程教材中未出現，但是作為訓練學生探究能力的素材是十分理想的。

筆者以上述問題為探究內容布置給學生，一周后學生提交的報告內容豐富，想法很多。首先，對斜棱柱側面積公式、圓臺側面積公式都能給出完整的推導過程。其次，學生的研究報告中還提到旋轉體中球的表面積，由于不能展開成一平面圖形，平面化思想方法已經行不通，需要“積分”思想，將球體分割成一個個“準錐體”來推導球面面積。還有學生干脆圍繞本節內容，收集了一些有趣的問題，向同學進行問題征解。這些都給我們的課堂教學增添了許多鮮活的素材。

在課堂交流環節中，一方面要重視上述探究問題的討論，拓寬學生視野，提高研究問題的深度和廣度。另一方面我們要重視對一些基本概念的辨析、基本問題的解決方法的學習和討論。在直棱柱、正棱錐學習過程中，設計一些概念辨析問題，如比較正方體與正四棱柱、正三棱錐與正四面體的異同等。在常見的側面積計算問題中，結合具體問題，讓學生學會從高、斜高、側棱長、底面正多邊形邊長（邊心距、外接圓半徑）中的一些量來推算其他量。還有幾何體表面兩點最短距離問題，讓學生學會用平面化思想方法來解決。這些重點內容在探究性課題的課堂交流環節需要統籌考慮。

筆者在選擇“柱錐臺側面積”作為探究課題，按照上述幾個環節組織探究教學活動后，課堂面貌發生了很大變化：學生一改以前被動學習的狀態，課上積極主動發問，學習討論的內容更加豐富、深刻，超出了我們教學的預期。

【啟發與思考】

缺乏質疑和創新精神的課堂，倒逼我們要加強數學探究教學。學生的獨立思考和勇于質疑的習慣、嚴謹的科學態度和不怕困難的頑強精神，是開展數學探究教學的價值取向。課程標準指出，高中階段至少應為學生安排一次數學探究活動，雖然數學探究的課時和內容未作具體安排，但是數學探究活動是剛性要求。因此，教師要努力成為數學探究課題的創造者，就需要有比較開闊的數學視野，了解與中學數學知識有關的擴展知識和內在的數學思想，并認真思考其中的一些問題，加深對數學的理解，提高數學能力，為指導學生進行數學探究做好充分準備，并積累指導學生進行數學探究的資源。

如何確立數學探究的課題？筆者提出如下兩個路徑供參考。

一是從課本教學內容中選擇探究課題。這樣的課題既能照顧到基礎教學，又能拓寬學生的視野。實踐中選取探究性問題，需要教者的智慧也需要觀念的更新。就本節內容而言，在筆者組織探究性課題教學后，還有教師提出質疑，斜棱柱側面積和圓臺側面積公式推導是傳統教材中繁難的內容，已刪去，在教學中花時間是否妥當？教材及考試說明是開展教學的依據。乍一聽很有道理，但細細品味，卻很不妥。因為新課程理念提出：用教材教而不是教教材。參考不同版本教材，設計出適合學生探究的課題，培養學生探究問題的能力，這才是新課程教學的真正要求。

二是從課堂上學生提出的有意義的問題和見解中捕捉探究課題。例如教學“點到直線距離”一課，除了課本介紹的“求點到直線距離的方法”，即求出垂線交點，用兩點距離求解。教學實踐中有學生提出用等積法來計算距離。還有學生用兩點距離建立函數，通過求函數最小值來計算距離。把這些不同解法，用問題串聯起來，我們就可以用“點到直線距離”作為探究課題，組織探究教學活動。因此平時要重視課堂上生成的問題資源，并加以收集、匯總、提煉，許多有意義的探究性課題就蘊藏其中。■

（作者單位：江蘇省高郵中學）

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