函數(shù)學習錯覺反思

安桂林

錯覺是人對客觀事物歪曲的知覺，在函數(shù)學習中,它又經(jīng)常表現(xiàn)為在一定問題情境中對過去若干習得經(jīng)驗的錯誤加工。下面是比較典型的8個例子。

例1若A={1,2,3},B={1,2,4,7,9},則以“平方”為對應關(guān)系從A到B的函數(shù)個數(shù)為()。

（A）0 （B）1 （C）3 （D）4

錯解在已知定義域與對應關(guān)系下,從A到B的函數(shù)為“f:1→1,2→4,3→9”,故只有一個,選B。解析我們先看一下教材關(guān)于函數(shù)的定義:“設(shè)A,B是非空數(shù)集,如果按照某種確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有惟一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)(function),記作y=f(x)，x∈A.”很明顯，定義中強調(diào)的一個函數(shù)而并非是唯一的函數(shù)；強調(diào)的是“A、B與對應關(guān)系”這個整體而并非只有“定義域與對應關(guān)系”這兩部分。按教材的定義,若記函數(shù)值的集合(值域)為C，則由“定義域與對應關(guān)系”確定的函數(shù)“f∶A→C”僅僅為函數(shù)“f:A→B”中特殊而又唯一的一個。在本題中，由于定義域、對應關(guān)系已經(jīng)給出，故不同函數(shù)“f:A→B”的確定，其關(guān)鍵就在于確定集合B中的元素，它必含1，4，9，而元素2，7可分別含0個、1個或2個，故滿足條件的函數(shù)“f:A→B”共有4個，D真。

反思:本錯覺源自熟識了的自初中至高中的一般函數(shù)問題，當函數(shù)已知并無特別聲明時,我們通常是指由定義域、對應關(guān)系確定的從定義域到值域的函數(shù)（下同），但這并非就是函數(shù)的完整定義！

例2 若定義在R上的奇函數(shù)f(x+1)滿足f(x+3)=-f(x)，f(2)=1則f(6)-f(8)

錯解：因為f(x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，從而有f(6)-f(8)=-f(3)+f(5)=f(0)-f(2)=-1。

解析：按照定義,“y=f(x),x∈A”即是一句話“y是定義在A上關(guān)于x的函數(shù)”。故已知條件“定義在R上的奇函數(shù)”意即關(guān)于x的函數(shù)是奇函數(shù)，所以有f(1+x)=-f(1-x),即有f(x)=-f(2-x).而f(x+3)=-f(x),f(2)=1故f(6)-f(8)=f(0)-f(2)=-f(2)-f(2)=-2。

反思：此錯覺因混淆諸如“已知f(x)，求f(x+1)”等類問題引起.應該明白,在函數(shù)f[g(x)]中,自變量仍然為“x”，它由f(x)中通過對g(x)的運算而得到，運算時是將“g(x)”作為自變量，但運算后“g(x)”已不是f[g(x)]的自變量了！由此，我們可有如下一些結(jié)論：

（1）若f[g(x)]是以T≠0為周期的周期函數(shù)，則對定義域內(nèi)的任一x，恒有f[g(T+x)]=f[g(x)]；

（2）若f[g(x)]是奇函數(shù)，則對定義域內(nèi)的任一X，恒有f[g(-x)]=-f[g(x)]；

（3）若f[g(x)]是偶函數(shù)，則對定義域內(nèi)的任一x，恒有f[g(-x)]=f[g(x)]。

例3 已知，求。

錯解:設(shè),得，所以的反函數(shù)是,

x≠2。

解析:由例2的解析知是指由f-1(x) 對“”運算后的結(jié)果。于是,本題的真意是:先求的反函數(shù)f-1(x) ,后求。由,得。令,得,(x≠2),所以。

反思：本錯解出自對f-1[g(x)]的理解，從表象看，既然f[g(x)]是關(guān)于x的函數(shù)，所以它的反函數(shù)當然是f-1[g(x)]。但根據(jù)函數(shù)的運算意義,只有確定了函數(shù)f-1(x) 后才可有f(x)對g(x)的運算f-1[g(x)],故應先求f-1(x) ,再求f-1[g(x)]。

例4 判定函數(shù)的奇偶性。

錯解：因為f(x)=x2+x-1是非奇非偶函數(shù),所以也是非奇非偶函數(shù)。

解析：函數(shù)是一個整體,其奇偶性是它的整體性質(zhì),故應從整體著手進行判斷。解答如下：函數(shù)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).又當x<0時, -x>0,f(-x) =-(-x)2+(-x)+1=-f(x).故f(x)是奇函數(shù)。

反思:本錯覺因習得的判定非分段函數(shù)的奇偶性而致:若非分段函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的某一組相反數(shù)x0,-x0,有f(-x0)≠±f(x0),則f(x)必為非奇非偶函數(shù),可用它來判定分段函數(shù)的奇偶性便背離了函數(shù)奇偶性的定義!

例5 已知函數(shù)的定義域是R,求實數(shù)a的取值范圍。

錯解:由已知f(x)=ax2+ax-3≠0對任意實數(shù)x恒成立，拋物線與x軸無交點，故有△=a2+12a<0，解得-12

解析：錯解中“f(x)=ax2+ax-3≠0對任意實數(shù)x恒成立”是正確的，但函數(shù)f(x)=ax2+ax-3并非一定是二次函數(shù)，因為“a=0”也符合條件，故本題應分為a=0和a≠0兩種情況予以解答，答案為-12

反思：類似于本例中的錯誤在求解函數(shù)問題中經(jīng)常見到，一方面二次函數(shù)的有關(guān)結(jié)論在我們頭腦中留有較深印象,另一方面我們在平時學習中又沒有很好注意“二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c”與“函數(shù)f(x)=ax2+bx+c”之間的微妙區(qū)別，諸如后者的不良思考習慣再加上類似于前者的解題經(jīng)歷,往往是產(chǎn)生此類錯覺的直接原因。如在求解問題“已知關(guān)于x的不等式mx2-4mx+m+3>0的解集為非空集合，求實數(shù)m的取值范圍”時，我們就易遺漏m=0這種情況！

例6函數(shù)y=f(x)定義在R上，則函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)兩圖像的對稱情況是（）

A .關(guān)于直線y=0對稱

B.關(guān)于直線x=0對稱

C .關(guān)于直線y=1對稱

D.關(guān)于直線x=1對稱

錯解：因為f(1-x)=f[-(x-1)]，所以兩函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故選B。

解析：錯解判定的對稱性，即是滿足條件f(x-1)=f(1-x)的函數(shù)y=f(x)的對稱性，它是一個函數(shù)圖像的對稱，屬自對稱問題。研究互對稱有兩種解決方法，一種用圖像變換考慮： y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像分別由y=f(x)與y=f(-x)的圖像向右平移1個單位得到(因為f(1-x)=y=f[-(x-1)]),而y=f(x)與y=f(-x)的圖像關(guān)于y軸對稱, 所以兩函數(shù)圖象關(guān)于直線x=1對稱,選D。另一種用函數(shù)值相等或互為相反數(shù)時對應自變量之間的關(guān)系考慮：設(shè)兩函數(shù)圖像上兩點關(guān)于直線x=x0對稱，則有x1-1=1-x2，于是得，故D真。

反思：自對稱與互對稱是圖像的兩類基本對稱,兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別。從聯(lián)系角度看,它們均可用坐標來考慮:函數(shù)圖像的自對稱問題從f(x1),f(x2)出發(fā)考慮相應的中點；函數(shù)互對稱問題從f[g(x1)],f[g(x2)]出發(fā),通過列式g(x1)=g(x2)。