中考數(shù)學(xué)圓知識的熱點題型分析

吳金有

縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關(guān)概念以及性質(zhì)等一般以填空題，選擇題的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圓的有關(guān)性質(zhì)，如垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質(zhì)等綜合性問題的運用一般以計算證明的形式考查；利用圓的知識與其他知識點如代數(shù)函數(shù)，方程等相結(jié)合作為中考壓軸題將會占有非常重要的地位，另外與圓有關(guān)的實際應(yīng)用題，閱讀理解題，探索存在性問題仍是熱門考題，應(yīng)引起讀者的注意。下面究近年來圓的有關(guān)熱點題型，舉例解析如下，以拋磚引玉。

一、圓的性質(zhì)的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：

例1：如圖，已知點E是圓O上的點，B、C分別是劣弧AD的三等分點， ∠BOC＝46°，則∠AED的度數(shù)為 。

【分析】由B、C分別是劣弧ＡＤ的三等分點知，圓心角∠AOB=∠BOC=∠COD,又∠BOC＝46°，所以∠AOD=138°。

根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。從而有∠AED＝69°。

【點評】本題根據(jù)同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系。

二、直線與圓的位置關(guān)系的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：①直線與圓的位置關(guān)系有三種；②直線與圓的位置關(guān)系的判定；③圓的切線的性質(zhì)與判定。

例2：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD， 垂足為E，DA平分∠BDE。

（1）求證： AE是⊙O的切線；

（2）若∠DBC=30°,

DE=1cm，求BD的長．

【分析】（1）證明：連接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA.

∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.

∴∠OAD=∠EDA.∴OA∥CE.

∵AE⊥DE，

∴∠AED=90°,∠OAE=∠DEA=90°.

∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切線．

（2）∵BD是直徑，

∴∠BCD=∠BAD

=90°.

∵∠DBC=30°,

∠BDC=60°，

∴∠BDE=120°．

∵DA平分∠BDE，

∴∠BDA=∠EDA=60°．

∴∠ABD=∠EAD=30°．

在Rt△AED中，∠AED=90°,

∠EAD=30°∴AD=2DE．

在Rt△ABD中，∠BAD=90°,

∠ABD=30°∴BD=2AD=4DE．

∵DE的長是1cm，∴BD的長是4cm．

【點評】證明圓的切線，過切點的這條半徑為必作輔助線.即經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

三、圓與圓的位置關(guān)系的考查

基礎(chǔ)知識鏈接：如果兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離,如圖（1）、（2）、（3）所示，其中（1）又叫做外離，（2）、（3）又叫做內(nèi)含，（3）中兩圓的圓心相同,這兩個圓還可以叫做同心圓。

如果兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切,如圖（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切,（5）又叫做內(nèi)切。

如果兩個圓只有兩個公共點,那么就說這兩個圓相交,如圖（6）所示。

四、圓與多邊形的計算考查

基礎(chǔ)知識鏈接：①圓與正多邊形的關(guān)系的計算；②弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計算.

例3：小芳隨機地向如圖所示的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是

【分析】設(shè)圓的半徑為1，則圓的面積為π，易算得正方形的邊長為，正方形面積為2，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是。

【點評】本題考查的是幾何概率，解題的關(guān)鍵是圓與圓內(nèi)接正方形的面積，根據(jù)古典概型，可轉(zhuǎn)化為面積之比。

例4：兩同心圓，大圓半徑為３，小圓半徑為１，

則陰影部分面積為

【分析】根據(jù)大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8π，圖中的陰影面積為圓環(huán)面積的一半4π。

【點評】有關(guān)面積計算問題，不難發(fā)現(xiàn)，一些不規(guī)則的圖形可轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形計算，本題就較好的體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化方法和整體思想。

綜合上述例子，我們不難看出，圓知識在中考里的考察面越來越廣，這也為我們?nèi)粘＝虒W(xué)起到一定的導(dǎo)向作用。若能將圓知識與其它已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識有機地結(jié)合起來，即知新，又溫故，培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用的能力，這對數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練是大有裨益的。《數(shù)學(xué)課程標準》指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當?shù)默F(xiàn)實的、有意義、富有挑戰(zhàn)性的”，放在圓知識學(xué)習(xí)上，就是找到一個引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的“跳一跳，夠得著”的認知蘋果，挖掘更多新題型、新考法、拓寬知識應(yīng)用，提升分析問題、解決問題的能力，豐富練習(xí)素材，優(yōu)化整個教與學(xué)的過程。