函數那些事

張靜

重要數學概念的產生與發展，對數學的發展都起著非常重要的作用，我們已經學過一次函數和反比例函數，其中所涉及的“函數”就是數學中十分重要的概念之一.

函數在我們生活中無處不在，大自然造物主也經常給我們創造出許多許多優美的圖形，它們和函數圖像常常會不謀而合.

那么函數是怎樣產生與發展起來的呢？讓我們來了解一下函數的來源與發展和數學家們有趣的故事吧!這樣我們就可以加深對函數的理解，激發對數學的興趣，改變普遍認為的數學是枯燥無味的看法.

在笛卡爾引入變量以后，變量和函數等概念日益滲透到科學技術的各個領域，最早提出函數概念的是17世紀德國數學家萊布尼茨，之后在歐拉、柯西、狄利克雷等數學家的努力鉆研下不斷完善. 早期的函數概念是幾何觀念下的函數：早在14世紀，法國數學家奧萊斯姆就使用圖形表示隨時間t而變的x，并把“t”與“x”分別表示“經度”與“緯度”. 這一思想很快被開普勒和伽利略應用于天體研究中. 但是很長一段時間數學家都沒有明確函數的一般意義，當時絕大部分函數是被當做曲線來研究的.

到18世紀，函數概念發展為代數觀念下的函數：1718年貝努利對函數進行了明確的定義：“由某一變量及任意的一個常數結合而成的數量”. 意思是凡變量和常量構成的式子都叫做函數. 他所強調的函數要用公式來表示. 但是后來有的數學家覺得不應該把函數概念局限在只能用公式來表達上，例如，18世紀中葉歐拉就認為“函數是隨意畫出的一條曲線”. 當時有些數學家對于不用公式來表示函數還不是很習慣，這其中也有許多懷疑態度與爭論.

19世紀函數的概念就演變為對應關系下的函數：1822年傅里葉發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次. 1837年狄利克雷拓廣了函數概念，指出“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，那么y是x的函數”. 這個定義抓住了函數的本質屬性，為理論研究和實際應用提供了方便.

現代函數的概念則是集合論下的函數，即用集合對應關系來定義函數概念，人們把函數的概念提升到了更抽象的層次. 這一層次的函數概念在初中學習階段不會遇到，這一概念將在高中階段的學習中涉及.

函數概念的定義凝聚了無數數學家奮斗的心血，經過多年的探索形成了今天的定義，但是這就意味著函數不需要發展了嗎？當然不是，世界是神秘的、豐富多彩的，更多精彩的東西等著我們去發現呢，所以我們仍需努力學習，具有刻苦鉆研的精神，將函數繼續擴展起來.

（作者單位：揚州大學數學科學學院）