巴黎新凱旋門中的數學

浦長宇

同學們，在科幻作品中，是不是經常能聽見“二維空間”、“三維空間”“四維空間”？所謂二維，就是一個平面上的內容，通常可以理解為具有長度、寬度的圖形，比如正方形. 三維空間，就是我們現在生活的世界，通常理解為具有長度、寬度、高度的物體，比如正方體. 那么四維空間是什么樣的呢？

為慶祝法國大革命200周年，法國在巴黎建造了一棟特別的建筑——一座龐大的拱門，它被稱為新凱旋門. 該拱門重量達到30萬噸，龐大到連巴黎圣母院都能安然穿過. 它的神奇之處不僅僅是龐大，而是它的一個綽號——通往異度世界的大門. 如果你有機會去新凱旋門參觀并認真地數出其邊的數量，你會發現是32條邊. 它是一個四維立方體！

它有何神奇之處呢？

在學習了平面直角坐標系之后，我們知道，在二維的平面世界中，我們只需要兩個坐標就能確定一個位置. 比如，要描述某一個邊長為1的正方形的話，要說出4個頂點的位置，分別為（0，0）、（1，0）、（0，1）和（1，1）. 這樣我們聯想到，如果要描述棱長為1的正方體，則每個頂點還需要表示高度的數據，即需要引入第三個坐標. 某一個立方體的8個頂點坐標可以表示為（0，0，0）、（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1）、（1，1，0）、（1，0，1）、（0，1，1）以及（1，1，1）. 這些坐標數字便是描述形狀的密碼.

由此，要描述一個四維立體，我們只需增加第4個坐標即可. 比如，一個四維立方體包含16個頂點，由（0，0，0，0）起始，向（1，0，0，0）和（0，1，0，0）延伸，并一路抵達最遠的（1，1，1，1）. 有了這些坐標數字，我們無需真正目睹它，便可以對其進行分析和探索.

一個四維立方體中共有多少條邊？我們知道，每條邊都對應著2個頂點，而這2個點的坐標中的數字只有一個不同. 每個點由4條邊交匯而成，其中每條邊都對應一位坐標數字的改變. 因此，四維立方體上總共有16×4條邊. 當然，這一計算并不正確，因為每條邊都被計算了2次：先從它的一個頂點算過去，之后又從另一個頂點算回來. 因此，四維立方體的邊的總數量應該是16×4÷2=32（條）.

由此，我們得出結論，新凱旋門是一個超立體——一個四維立體??？當然，它并非是一個真正的四維立體，畢竟我們生活在三維的世界中. 不過，就像我們能在只有長度、寬度的紙上畫出具有高度感的立體三維圖形一樣，這座新凱旋門是四維立體投射在我們三維世界的一個幻影.

去參觀過拉德芳斯區新凱旋門的人都說，總能感到那里有一陣陣可怕的強風，通過中心的拱門仿佛要把人吸進去一樣. 這種強風似乎在向我們揭示，在巴黎建造這樣一個超立體的幻影，就像打開了一扇通往異度空間的大門.

四維空間不是盡頭. 我們可以繼續推進至五維、六維甚至更高維度，并創建出這些世界中的超立方體. 數學賦予我們第六感，使我們能夠考慮這些超出三維宇宙邊界以外的形狀.

（作者單位：江蘇省常熟市古里中學）