探秘隱含條件

林宇杰

很多題目都含有某些隱含條件，它們有淺有深. 有的隱含條件藏得并不隱蔽，明眼人一眼便可以洞察這些小把戲. 例如：

△ABC中，有∠A=70°，∠B=30°，求∠C的度數.

這種題目太簡單了，很多人都能求出來，∠C=180°-70°-30°=80°. 但不禁要問180°是從哪里來的？這個“180°”便是從△ABC的三角之和而來的. “180°”便是這個簡單題目的隱含條件，只不過藏得不隱蔽而已.

可是，當隱含條件將自己埋得更深時，題目的難度也就上升一個檔次了.

例如本周數學活動課上，我們探究的無蓋長方體盒子問題，我們就遇到了隱含條件藏得很深的難題.

【問題情境】一個無蓋的長方體盒子的容積為V.

【問題設計1】如果盒子底面是邊長為a的正方形，這個盒子的表面積是多少？

【問題設計2】如果盒子底面是長為b、寬為c的長方形，這個盒子的表面積是多少？

【問題設計3】上面兩種情況下，如果盒子的底面面積相等，那么兩種盒子的表面積相差多少？（不計制造材料的厚度）

我們都知道影響體積的變量有三個：長、寬、高，體積=長·寬·高.

在（1）中，我們知道長、寬都為a，所以表面積S1=a2+4··a，化簡得S1=.

在（2）中，知道了長為b、寬為c，所以表面積S2=bc+2··（b+c），化簡得S2=.

但接下來要比較S1和S2的差可就有些難度了，因為到底是用“S1-S2”還是“S2-S1”，這個問題的突破口很難尋找，所以想到加上絕對值“S1-S2”. 如果是考場上，丟分就少了，因為僅僅是沒有化簡而已. 若固執地去猜想“S1-S2”還是“S2-S1”，蒙對的幾率只有一半，但在這一半的基礎上還是要丟失“S1-S2”或“S2-S1”的推理過程分.

要想成功突破“S1-S2”還是“S2-S1”這個難點，有賴于之前說過的隱含條件.

第（3）問說兩個盒子的底面積相等，很多人都得到了a2=bc，但卻難以再次進行突破. 回想小學時，我們也碰到過“面積相等”. 那時，我們通過實踐都知道在四邊形當中，周長相等時，正方形面積最大. 也就是當面積相等時，正方形周長最小.

切換到這道題目中，我們由a2=bc（面積相等），得到了4a<2（b+c）（正方形周長最小），所以2a

將這個不等式代入S1和S2中，便可以發現S1

我又聯想到在上次期中考試中一道考題：

已知a、b、c是△ABC的三邊的長度，請猜想b2+c2-a2-2bc是正數、負數還是零？解釋原因.

我記得當時很多人沒有做出來，便是因為隱含條件沒有充分開發. 比如，有些人已將原式化簡得到：

b2+c2-a2-2bc=（b-c+a）（b-c-a）.

但沒有能繼續突破和有后續進展，原因是什么？

仔細讀題，想起老師以前說過，“題目做不了，往往是因為條件沒有被充分利用”. 這個題目中有一個很關鍵卻又很容易被忽視的條件“a、b、c是△ABC的三邊的長度”. 這里就有一個隱含條件，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，所以b-c+a為正數，而b-c-a應該是負數.

所以（b-c+a）（b-c-a）=正數·負數=負數. 即原式是負數.

綜上，隱含條件之重要性不言而喻，它們往往最容易被忽視，卻又起到左右題目的重要作用，所以充分開發、重視和利用隱含條件對于難題破解是很重要的.

劉老師點評:小林這篇研究論文很有思維深度，又能“旁征博引”，是一篇少有的高質量數學寫作. 特別是文中用三個不同的題例闡釋了隱含條件的可能“表征”，它們有淺有深，而較難問題往往隱含條件埋藏得很深，需要充分解讀. 想起美國數學家喬治·波利亞在名著《怎樣解題》中所說“回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的”，對于本文所涉及的較難的隱含條件來說，思路不能獲得貫通的原因往往就是在“回答尚未弄清的問題”.

最后，作為變式訓練的需要，還可將問題做如下改編，同學們思考是不是跟小林同學提供的解答是一樣的？

【問題變式】兩個無蓋長方體盒子A1、A2，它們的容積分別是V1、V2.

（1） 若盒子A1的底面是邊長為a的正方形，則這個盒子的高是______；

（2） 若盒子A2的底面是長為b、寬為c的長方形，這個盒子的表面積是多少？

（3） 在（1）、（2）的條件下，若V1=V2，且a2=bc，兩種盒子A1、A2的表面積哪個大？大多少？

（指導教師：劉東升）