《數學歸納法》第一課時教學設計

張立軍

教材分析：

本節課是人教A版4—5第四講第一節數學歸納法第一課時，主要是讓學生了解數學歸納法原理，并能夠用數學歸納法證明一些與正整數有關的實際問題。它將一個無窮歸納過程轉化為一個有限步驟的演繹過程，是促進學生從有限思維發展到無限思維，并培養學生嚴密的推理能力和抽象思維能力的重要載體。

學情分析：

由于此前數列和推理與證明兩部分的學習，使學生對歸納推理有了一定的認知。

教學目標：

知識與技能目標：

1.了解數學歸納法產生的根源及其無窮遞推的本質，認清“奠基”和“遞推”兩者缺一不可。

2.體會數學歸納法的思想，會用數學歸納法證明一些簡單的命題。

過程與方法目標：

1.親身感悟數學歸納法原理發現和提出的過程，體會其由無限問題化為有限問題這一轉化的數學思想。

2.精心創設積極思考、大膽質疑的課堂愉悅情境，提高學習興趣和課堂效率。

情感態度與價值觀目標：

1.通過對數學歸納法的學習，進一步感受數學來源于生活，并形成嚴謹的科學態度和數學思維品質。

2.認識有限與無限的辯證關系。

教學重點：

數學歸納法產生過程的分析及其適用范圍，掌握數學歸納法證題的基本步驟。

教學難點：

認識數學歸納法的證明思路，對數學歸納法中遞推思想的理解。

教具準備：

傳統板書與多媒體輔助教學相結合。

教學過程：

一、情景設置

問題1：通過計算下面的式子，你能猜想出-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）的結果嗎？證明你的結論。

-1+3=

-1+3-5=

-1+3-5+7=

-1+3-5+7-9=

問題2：多米諾骨牌是怎樣全部倒下的？

二、探究新知

問題1中，要證明等式在n為正整數時都成立，雖然可以驗證n=1，2，3，4……甚至10000000時等式（★）成立，但是正整數有無限多個，我們無法對它們一一驗證，所以，通過驗證是無法完成證明的。

下面我們先來看看多米諾骨牌的視頻（多媒體播放視頻材料），討論問題2 。

如果不推倒起始的第一張骨牌，而從其后的第二張或某一張開始推倒，那么其前面的骨牌會倒嗎？如果因為抽去中間的某一張或某一張牌擺放不標準等原因，使得此處前一張骨牌倒下后不能碰倒下一張，那么骨牌會全部倒下嗎？顯然，以上的情況都不能使得全部骨牌倒下，可見讓所有的多米諾骨牌全部倒下，應具備如下條件：

條件一：第一張骨牌倒下。

條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導致后一張倒下。

其中條件一是前提、是基礎，條件二是持續遞推的保障，二者缺一不可。

通過以上合作交流，師生共同探究得到解決問題的方法：第一塊骨牌倒下相當于證明當n=1時，等式（★）成立；對于任一塊骨牌倒下相鄰的后一塊也倒下，相當于當n=k時，等式（★）成立，推出當n= k+1時等式（★）也成立。可以建立一種像多米諾骨牌那樣的“由前到后”的遞推關系，即由n=1時等式（★）成立為起點，遞推出n=2時等式（★）成立；再由n=2時等式（★）成立，遞推出n=3時等式（★）成立……依次自動遞推下去，就可以說，對于任意正整數n，等式（★）成立。

按照上述思路可具體證明等式（★）成立。

證明：⑴當n=1時，式（★）⑴左右兩邊都等于-1，即這時等式（★）成立。

⑵假設當n=k（k≥1）時等式（★）成立，即

-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）=（-1）kk

當n= k+1時，左邊=-1+3-5+…+（-1）k（2k-1）+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）kk+（-1）k+1［2（k+1）-1］

=（-1）k+1［-k+2（k+1）-1］

=（-1）k+1（k+1）=右邊

所以當n= k+1時等式（★）成立。

由⑴⑵可知，-1+3-5+…+（-1）n （2n-1）=（-1）n n(n∈N+)

三、明確概念

（板書）“數學歸納法”

一般地，證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都成立時，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0 (n0∈N+) 時命題成立。

（2）（歸納遞推）假設n= k (k∈N+,且k≥n0) 時命題成立，證明當n=k+1時，命題也成立。

只要完成以上兩個步驟，就可以判定命題對從n0開始的所有正整數n都成立。

上述方法叫做數學歸納法。

應用數學歸納法要注意以下幾點：

（1）第一步是基礎，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的。

（2）第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法。

（3）n0不一定取1，也可取其它一些正整數，n0是使命題成立的最小正整數。

（4）第二步的證明必須利用歸納假設，否則不能稱作數學歸納法。

四、鞏固應用

用數學歸納法證明:

（1）12+22+...+n2= （n∈N+）

（2）當n為正整數時，1+3+5+…+(2n-1)=n2

五、回顧總結

1.本節課學到了什么？

2.這些知識是怎樣得出的？

3.你有什么體會與感悟？

（責任編輯 史玉英）

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