轉(zhuǎn)臺(tái)軸承靜剛度建模及其影響因素分析

位文明,呂盾,張俊,趙萬(wàn)華

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710054, 西安)

轉(zhuǎn)臺(tái)軸承靜剛度建模及其影響因素分析

位文明,呂盾,張俊,趙萬(wàn)華

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710054, 西安)

為了改善轉(zhuǎn)臺(tái)的動(dòng)靜特性,分析了三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承靜剛度與軸承結(jié)構(gòu)型式、裝配工藝和外載荷的關(guān)系。結(jié)合軸承游隙、螺釘擰緊力矩、徑向與軸向滾子間的相互作用和外載荷等因素,將軸向滾子與軸圈間的接觸看作理想平面接觸,考慮徑向滾子壓力沿軸向的分布,并利用Boussinesq力與變形關(guān)系式求解實(shí)際的壓力值,通過(guò)求解軸承的整體靜力平衡方程,得到了三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承5個(gè)方向的靜剛度值。分析結(jié)果表明:轉(zhuǎn)臺(tái)固有頻率測(cè)試與理論值誤差不超過(guò)3.0%,驗(yàn)證了剛度理論模型的準(zhǔn)確性;軸向滾子與徑向滾子載荷間的相互作用很小;螺釘擰緊力矩、徑向游隙和外載荷對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)軸承剛度有重要影響,隨著螺釘擰緊力矩和徑向預(yù)壓量的增大,外載荷對(duì)剛度的影響減弱。

三排圓柱滾子軸承;靜剛度;預(yù)緊力;轉(zhuǎn)臺(tái)

轉(zhuǎn)臺(tái)在使用過(guò)程中要受到切削力、工件和夾具重力的作用。轉(zhuǎn)臺(tái)支承系統(tǒng)的剛度不僅影響臺(tái)面的靜力變形,同時(shí)還決定了工件-夾具-轉(zhuǎn)臺(tái)系統(tǒng)的動(dòng)剛度,進(jìn)而影響切削穩(wěn)定性和零件的加工精度。轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分(轉(zhuǎn)軸、蝸輪和剎緊裝置等)通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)軸承與基座相連,轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的靜剛度直接影響臺(tái)面的幾何精度和動(dòng)態(tài)特性。轉(zhuǎn)臺(tái)軸承能夠同時(shí)承受軸向、徑向載荷和傾覆力矩的作用,它的使用大大簡(jiǎn)化了數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)的機(jī)械結(jié)構(gòu)。

常用的轉(zhuǎn)臺(tái)軸承有單排四點(diǎn)接觸球軸承、雙排球軸承、交叉圓柱滾子軸承和三排圓柱滾子組合軸承等4種形式。關(guān)于單排徑向圓柱滾子軸承剛度的研究表明:圓柱滾子軸承的剛度不僅受到結(jié)構(gòu)形式和安裝工藝的影響,還與轉(zhuǎn)速、潤(rùn)滑狀態(tài)和外載荷等實(shí)際工況密切相關(guān)[1-4]。目前,三排圓柱滾子軸承的研究主要集中在計(jì)算滾子載荷和應(yīng)力分析,以研究軸承的壽命問(wèn)題[5-8],分析時(shí)最重要的是得到滾子的實(shí)際受力狀態(tài)。文獻(xiàn)[5-6]利用Hertz理論描述圓柱滾子與軸圈的接觸,通過(guò)求解靜力平衡方程得到各個(gè)滾子的實(shí)際載荷。文獻(xiàn)[7]為了考慮軸圈和螺釘?shù)娜嵝?建立了三排圓柱滾子軸承的有限元模型,圓柱滾子及其與軸圈的接觸特性等效為梁?jiǎn)卧院?jiǎn)化計(jì)算,通過(guò)有限元分析得到滾子的實(shí)際受力狀態(tài)。上述分析只能得到作用于滾子的整體載荷大小,而圓柱滾子受載時(shí)其壓力分布沿軸向變化明顯。為此,文獻(xiàn)[8]利用切片模型來(lái)描述圓柱滾子的接觸狀態(tài)以得到壓力沿其軸向的分布狀態(tài)。但是,關(guān)于三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承靜剛度的研究還很少。為了準(zhǔn)確地分析轉(zhuǎn)臺(tái)臺(tái)面的靜力變形和動(dòng)態(tài)特性,有必要分析轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的靜剛度及其隨載荷的變化規(guī)律。

本文考慮徑向圓柱滾子沿長(zhǎng)度方向的載荷分布及其與軸向滾子載荷的相互作用,建立了三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的靜剛度矩陣的計(jì)算方法,并通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)的固有頻率測(cè)試對(duì)剛度的理論值進(jìn)行驗(yàn)證,進(jìn)一步分析了靜剛度隨徑向游隙、螺釘擰緊力矩和外載荷的變化規(guī)律。

1 剛度矩陣的計(jì)算方法

三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承由L型軸圈、推力墊圈、座圈、兩排軸向圓柱滾子和一排徑向圓柱滾子組成,如圖1所示。分析時(shí)作如下假設(shè):軸承受到傾覆力矩和軸向力作用;內(nèi)外圈均為剛性,不發(fā)生變形;所有的變形均發(fā)生在圓柱滾子上及其與軸圈和座圈的接觸區(qū)域;徑向載荷和傾覆作用在同一個(gè)平面上;座圈靜止,軸圈在外載荷作用下發(fā)生相對(duì)位移;由于轉(zhuǎn)臺(tái)軸承轉(zhuǎn)速不高,不考慮離心力的作用。

圖1 三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 軸向部分滾子的受力分析

軸向部分滾子的受力狀態(tài)如圖2所示,軸向的兩排滾子中第i個(gè)滾子與x軸夾角

(1)

(2)

式中:φat0、φab0分別為上排、下排第一個(gè)滾子與x軸間的夾角;Zat、Zab分別為上排、下排滾子數(shù)量,一般有Zat=Zab。

圖2 軸向部分滾子受力示意圖

那么,上排第i個(gè)滾子與軸圈間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為

θati=-θxsinφati+θycosφati

(3)

上排第i個(gè)滾子的總壓縮量為

δati=ra(-θxsinφai+θycosφai)+

0.5La|θati|+δz-0.5ua

(4)

式中:ra為軸向滾子中心所在圓的半徑;La為軸向滾子長(zhǎng)度;δz為軸圈沿z向位移;ua為軸向游隙,正值為間隙,負(fù)值為預(yù)壓量。

同理,下排第i個(gè)滾子處滾子與軸圈間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為

θabi=θxsinφabi-θycosφabi

(5)

下排第i個(gè)滾子的總壓縮量為

δabi=rab(θxsinφabi-θycosφabi)+

0.5La|θabi|-δz-0.5ua

(6)

由于轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的徑向尺寸遠(yuǎn)大于圓柱滾子的長(zhǎng)度,可以不考慮軸向滾子上載荷分布對(duì)剛度的影響,利用理想平面接觸來(lái)描述軸向滾子的接觸變形與受力間的關(guān)系[9]。不考慮離心力時(shí),軸向滾子與內(nèi)外圈之間的接觸變形和夾角相等。同時(shí),為了保證滾子接觸,在任何位置滿足0.5Laθai+δai>0,并且有

(7)

式中:θin_ai、θex_ai分別為軸向滾子與軸圈、座圈間的夾角;θai、δai分別為軸向滾子與軸圈間的夾角和壓縮量。

那么,軸向部分滾子上的力和力矩分別為

(8)

(9)

1.2 徑向部分滾子的受力分析

徑向部分滾子在Fx、Fy和My作用下的受力狀態(tài)如圖3所示,第i個(gè)滾子與x軸夾角

φri=φr0+2(i-1)π/Zr

(10)

式中:φr0為徑向第一個(gè)滾子與x軸間的夾角;Zr為徑向滾子個(gè)數(shù)。

圖3 徑向部分滾子受力示意圖

徑向圓柱滾子的初始游隙大小為

uri=0.5ur(1-cos(φri-φur))

(11)

式中:ur為徑向游隙,正值為間隙,負(fù)值為預(yù)壓量;φur為Fx、Fy合力與x軸的夾角。

那么,第i個(gè)滾子的總壓縮量為

δri=δxcosφri+δysinφri+0.5Lr|θri|-

0.5ur(1-cos(φri-φur))

(12)

式中:δx、δy分別為軸圈沿x、y向的徑向位移;Lr為徑向滾子長(zhǎng)度。

當(dāng)軸圈的角位移分別為θx、θy(方向依據(jù)右手定則)時(shí),徑向第i個(gè)滾子與軸圈間的相對(duì)轉(zhuǎn)角為

θri=θxsinφri-θycosφri

(13)

在不考慮離心力時(shí),滾子與座圈和軸圈間的接觸變形相等,滾子與座圈和軸圈間的夾角也相等。為了保證滾子接觸,在任何位置滿足0.5Lθri+δri>0,那么有

(14)

考慮壓力沿圓柱滾子長(zhǎng)度方向分布時(shí),可以依照Boussinesq的集中力與變形的關(guān)系求解接觸力[10]。假設(shè)第i個(gè)圓柱滾子與軸圈間的接觸區(qū)域?yàn)榫匦?建立原點(diǎn)在接觸區(qū)中心處的局部坐標(biāo)系o(xi,yi,zi),yi軸沿滾子軸向,zi軸沿滾子徑向。將滾子與軸圈的矩形接觸區(qū)域等分為Ni(NxNy)個(gè)單元,每個(gè)單元上的壓力pij(j=1,…,Ni)均勻分布時(shí),有

(15)

式中:系數(shù)k0如式(16)所示;zik為第k個(gè)單元的幾何中心處的滾子輪廓值,如式(17)所示;Gikj為影響系數(shù),表示作用在單元j上單位壓力引起的單元k中心處的變形,如式(18)所示;δi為滾子與軸圈間的相對(duì)位移。

(16)

式中:E1、E2分別為滾子、軸圈材料的彈性模量;ν1、ν2分別為滾子、軸圈材料的泊松比。

(17)

式中:(xik,yik)(-R≤xik≤R,-L/2≤yik≤L/2)為第k個(gè)單元的中心坐標(biāo);R為徑向滾子半徑;L為徑向滾子長(zhǎng)度;θi為滾子與軸圈間的相對(duì)轉(zhuǎn)角。

Gikj=G(u+ai,v+bi)+G(u-ai,v-bi)-

G(u-ai,v+bi)-G(u+ai,v-bi)

(18)

式中:u=|xik-xij|,v=|yik-yij|;ai、bi分別為矩形單元的半寬和半長(zhǎng);G為積分求得的函數(shù),有

G(x,y)=xln(y+(x2+y2)1/2)+

yln(x+(x2+y2)1/2)

(19)

在圓柱滾子的整個(gè)接觸區(qū)域上,有

k0Gpi=δiI-zi

(20)

式中:I為Ni×1的單位向量;zi為Ni×1的向量。

接觸面上的合力與外力相平衡,那么有

(21)

同時(shí),發(fā)生接觸網(wǎng)格上的壓力應(yīng)滿足

pij≥0,j=1,…,Ni

(22)

利用式(20)～式(22),通過(guò)迭代求解,可以得到滾子與軸圈的實(shí)際接觸區(qū)域和接觸壓力pij。那么,徑向滾子上的合力和合力矩分別為

(23)

(24)

式中:ari、bri分別為第i個(gè)滾子接觸區(qū)域離散網(wǎng)格單元的半寬和半長(zhǎng);Nri為滾子與軸圈的矩形接觸區(qū)域等分單元數(shù);prij(j=1,…,Nri)為單元上均勻分布的壓力;yrij為單元幾何中心y的坐標(biāo)。

1.3 軸向滾子的初始游隙

軸向滾子的初始游隙由緊固螺釘預(yù)緊力決定,給定螺釘擰緊力矩下軸向滾子的初始游隙為

(25)

式中:Zb為螺釘?shù)膫€(gè)數(shù);T為擰緊力矩;db為螺釘直徑;Kb為螺釘力矩系數(shù),一般取值0.2。由于螺釘?shù)念A(yù)緊作用,軸向滾子的初始游隙都為負(fù)值。

1.4 轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的靜剛度求解

綜合徑向和軸向滾子的受力狀態(tài)分析,可以得到三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的整體靜力平衡方程為

(26)

求解時(shí),首先根據(jù)螺釘?shù)念A(yù)緊力矩T和式(25)求出軸向滾子的初始游隙,然后根據(jù)徑向接觸區(qū)域的網(wǎng)格參數(shù)和外載荷大小,利用Newton-Raphson方法求解式(26),得到給定載荷下軸承內(nèi)圈的位移量q={δx,δy,δz,θx,θy}T和各個(gè)徑向圓柱滾子的載荷分布。

對(duì)式(26)求導(dǎo),可以得到如下轉(zhuǎn)臺(tái)軸承整體靜剛度矩陣

(27)

2 理論模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

選擇圖4所示的轉(zhuǎn)臺(tái)作為研究對(duì)象,轉(zhuǎn)動(dòng)體通過(guò)YRT325型三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承與基座相連,軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。軸承軸圈、推力墊圈、座圈和滾子的材料均為軸承鋼,其密度為7.85×103kg/m3,彈性模量為2.06×1011Pa,泊松比為0.3。轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)體的質(zhì)量為175.1kg,在坐標(biāo)系o(x,y,z)中繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為3.9、3.9和5.5 kg·m2。采用LMS Test Lab振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)體的動(dòng)特性進(jìn)行測(cè)試,實(shí)驗(yàn)中采用單點(diǎn)激勵(lì)、多點(diǎn)拾振的測(cè)試方法,12個(gè)加速度傳感器測(cè)點(diǎn)均勻布置在轉(zhuǎn)動(dòng)體的上表面,如圖4所示。

表1 YRT325轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖4 轉(zhuǎn)臺(tái)動(dòng)特性測(cè)試裝置示意圖

根據(jù)圖5所示的轉(zhuǎn)動(dòng)體的等效動(dòng)力學(xué)模型和轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的支承剛度,可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)體的固有頻率。從表2可以看到,轉(zhuǎn)動(dòng)體3個(gè)方向固有頻率的理論值與實(shí)驗(yàn)值很接近,驗(yàn)證了本文轉(zhuǎn)臺(tái)軸承剛度計(jì)算模型的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)中轉(zhuǎn)臺(tái)軸承主要受到轉(zhuǎn)動(dòng)體z向重力作用,由于轉(zhuǎn)動(dòng)體和轉(zhuǎn)臺(tái)軸承結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性,其x、y向固有頻率,及繞x軸、繞y軸固有頻率的值分別相同。因此,只比較了x向、z向和繞x軸對(duì)應(yīng)的3階固有頻率。緊固螺釘?shù)膶?shí)際預(yù)緊力與理論值的差異使得實(shí)際軸向剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度與理論值不同,進(jìn)而使得固有頻率的理論值與實(shí)驗(yàn)值存在差別。

圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)體的等效動(dòng)力學(xué)模型

表2 轉(zhuǎn)動(dòng)體固有頻率的理論值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

3 剛度的影響因素分析

3.1 游隙的影響

由式(25)得到不同擰緊力矩下軸向滾子的實(shí)際游隙ua,如圖6所示,可以看到軸向游隙ua隨著擰緊力矩的增加顯著增大。

圖6 軸向游隙ua隨螺釘擰緊力矩T的變化規(guī)律

圖7 kzz隨軸向和徑向游隙的變化規(guī)律

圖8 kθx隨軸向和徑向游隙的變化規(guī)律

圖9 kxx隨徑向游隙的變化規(guī)律

轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的徑向和軸向游隙對(duì)z向平動(dòng)剛度kzz和繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθx的影響如圖7和圖8所示。從圖中可以看出,當(dāng)螺釘預(yù)緊力增加使得軸向游隙ua增大時(shí),kzz和kθx都隨之顯著變大,但是,kzz和kθx基本不隨徑向游隙ur變化。從圖9中可以看到,徑向游隙ur對(duì)徑向支承剛度kxx影響顯著,但是當(dāng)ur進(jìn)一步增加到-6.0μm后,徑向支承剛度基本不發(fā)生變化。這是由于軸向和徑向滾子數(shù)量眾多,L型軸圈的轉(zhuǎn)角變形很小,L型軸圈的轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)使得徑向滾子上載荷及其沿長(zhǎng)度方向的分布產(chǎn)生很大的波動(dòng),同時(shí)滾子長(zhǎng)度為12 mm,遠(yuǎn)小于軸向滾子中心圓直徑,使得徑向滾子產(chǎn)生的反力矩相對(duì)較小,對(duì)軸向滾子的載荷分布和剛度的貢獻(xiàn)很小。綜上分析可知,軸向支承剛度kzz和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθx主要由軸向游隙ua決定,徑向支承剛度主要由徑向游隙ur決定,徑向滾子對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的軸向剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度影響很小。

3.2 外載荷的影響

在不同螺釘擰緊力矩下,轉(zhuǎn)臺(tái)軸承軸向剛度kzz和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度kθx隨外載荷的變化規(guī)律如圖10和圖11所示。當(dāng)預(yù)緊力矩為5.0N·m時(shí),kzz和kθx都隨著Fz的增加而顯著減小,這是由于外載荷的作用使得軸向上排滾子與推力墊圈間的接觸力變小,甚至發(fā)生脫離,而扭矩Mx的增加對(duì)kzz和kθx的影響很小。從圖12和圖13可以看到,kzz和kθx隨著擰緊力矩的增加而增大,當(dāng)擰緊力矩增加到20.0N·m時(shí),Fz的增加基本不改變kzz和kθx的值。

圖10 kzz隨載荷Fz和Mx的變化規(guī)律(T=5.0N·m)

圖11 kθx隨載荷Fz和Mx的變化規(guī)律(T=5.0N·m)

圖12 kzz隨載荷Fz和T的變化規(guī)律

圖13 kθx隨載荷Fz和T的變化規(guī)律

(a)kxx

(b)kyy

在不同徑向游隙ur下,徑向支承剛度kxx隨外載荷的變化規(guī)律如圖14所示。當(dāng)預(yù)壓量小于6.0μm時(shí),kxx和kyy在Fx增大到某一值時(shí)急劇減小,這是由于L型軸圈隨著Fx移動(dòng),在Fx相反方向的部分徑向滾子與軸圈間脫離接觸,而當(dāng)預(yù)壓量超過(guò)6.0μm后,Fx對(duì)kxx和kyy基本沒(méi)有影響。與kxx不同的是,kyy出現(xiàn)突變的外載荷較大,這是由于Fx作用時(shí)對(duì)x向滾子的實(shí)際接觸狀態(tài)影響更顯著。同時(shí),隨著徑向預(yù)壓量的增加,不同載荷時(shí)的kxx和kyy整體上逐漸增加。當(dāng)預(yù)壓量大于6.0μm時(shí),kxx和kyy隨著預(yù)壓量增加的趨勢(shì)變緩。預(yù)壓量由6.0μm增加到7.5 μm時(shí),不同載荷下kxx和kyy的最大增加幅度為6.3%,而預(yù)壓量由7.5 μm增加到9.0μm時(shí),剛度的最大增加幅度減小到3.1%,此時(shí)預(yù)壓量對(duì)kxx和kyy影響很小。

4 結(jié) 論

(1)本文結(jié)合游隙、徑向滾子與軸向滾子間的相互作用和外載荷等因素,給出了計(jì)算三排圓柱滾子轉(zhuǎn)臺(tái)軸承5個(gè)方向靜剛度的方法,并通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)固有頻率的理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比,驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

(2)徑向滾子的壓力分布對(duì)軸向滾子的載荷影響很小,基本不改變轉(zhuǎn)臺(tái)軸承軸向剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。

(3)當(dāng)螺釘擰緊力矩較小時(shí),kzz和kθx隨著Fz的增加而顯著減小。kzz和kθx隨著擰緊力矩的增加而增大,當(dāng)擰緊力矩增加到20.0N·m后,kzz和kθx基本不隨Fz改變,而Mx對(duì)kzz和kθx基本沒(méi)有影響。

(4)當(dāng)徑向預(yù)壓量小于6.0μm時(shí),徑向剛度在外載荷作用下發(fā)生突變,發(fā)生突變的徑向載荷隨著預(yù)壓量的增加而增大。這種現(xiàn)象隨著徑向預(yù)壓量的增加而逐漸消失。

本文的分析可以為轉(zhuǎn)臺(tái)軸承的選型和裝配工藝規(guī)劃提供依據(jù)。

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(編輯 杜秀杰)

StaticStiffnessofThree-RowCylindricalRollerBearingforRotaryTable

WEI Wenming,Lü Dun,ZHANG Jun,ZHAO Wanhua

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710054, China)

To improve static and dynamic performances of rotary table, the effects of configurations, assembling technology and external load on the static stiffness of a three-row cylindrical roller bearing for rotary table are investigated. A theoretical model of static stiffness of three-row cylindrical bearing for rotary table is proposed considering the clearance, bolt preloads, and reactions of axial and radial rollers with external load. The contacts between the axial rollers and the outer ring are treated as ideal plane contact. And the actual contact forces and their distribution along the axial of radial rollers are obtained by Boussinesq’s relationship between force and deformation, the static stiffness in five directions is then sought out by solving the static equivalent equations. It is shown that the maximum error between experimental and theoretical results of natural frequency of the rotary table is less than 3.0%, thus the theoretical model is verified. The reactions between loads acting on the axial rollers and radial rollers are negligible. The bolt preloads, radial clearance and external load exert obvious effects on the static stiffness of rotary table bearing, and the effect of external load decreases with the increasing preloads of bolts and radial clearance.

three-row cylindrical roller bearing; static stiffness; preload; rotary table

2014-06-19。

位文明(1985—),男,博士生;趙萬(wàn)華(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(51235009);國(guó)家科技重大專項(xiàng)資助項(xiàng)目(2011zx04016-031)。

時(shí)間:2014-10-23

10.7652/xjtuxb201412002

TH133.33

:A

:0253-987X(2014)12-0008-07

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