地面巖(礦)層厚度計算公式的數學推導

沈 權，張靖華

(云南省地質勘查開發局第一地質大隊，云南 曲靖 655000)

1 概 述

地面巖(礦)層厚度計算公式是地質工作者常用的、基本的巖(礦)層厚度計算公式，以下簡稱“公式”。但它的數學推導來源，許多地質工作者都不甚了解，本文用數學方法系統地推導，并闡明巖(礦)層真厚度、地表實測巖(礦)層長度、巖(礦)層傾角、地面坡角、巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實測線的交角及巖(礦)層走向與巖(礦)層實測線的交角之間的數學關系，證明“公式”的可靠性及其數學的嚴謹性。筆者將以嚴謹的數學推導該“公式”以饗讀者。

2 地面巖(礦)層厚度計算公式公式推導

巖(礦)層厚度計算公式：H=l·(sinα·cosβ·sinω±sinβ·cosα)

(1)

或：H=l·(sinα·cosβ·cosγ±sinβ·cosα)

(2)

公式中：H：巖(礦)層真厚度；

I：地表實測巖(礦)層長度；

α：巖(礦)層傾角；

β：地面坡角；

γ：巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實測線的交角

ω：巖(礦)層走向與巖(礦)層實測線的交角

上述公式(1)、(2)是地質工作者常用的、基本的巖(礦)層厚度計算公式，本文就此把公式(1)、(2)數學推導展開如下：

為了公式(1)、(2)推導更容易理解，先要和讀者共同復習幾個普通地質學中的基本概念。

巖(礦)層真厚度：簡稱真厚度，指層狀或似層狀地質體(地層、巖層、礦層等)上、下界面之間的垂直距離(圖1中的H，AE線段)；([1]：地質詞典，下同)。

巖(礦)層走向：簡稱走向，某構造面或地質體的界面與水平參考面的交線稱為走向線，而走向線兩端的延伸方向即為走向(圖1中的BC線)；

巖(礦)層傾向：簡稱傾向，垂直于走向線，沿地質界面傾斜向下的方向所引的直線稱為傾斜線，傾斜線在水平面上的投影所指的界面傾斜方向稱為傾向(圖1中的CA線)；

巖(礦)層傾角：簡稱傾角，垂直地質界面走向的橫切面上所測定的此界面(圖1ADCE面)與水平

參考面(圖1，ABC面)之間的兩面角，即傾斜線(圖1，DE線)與其水平投影線(圖1，AC線)之間的夾角(圖1，α角)。

(1)地面坡度與巖(礦)層傾向同向(圖1)“公式”推導：

圖1 地面坡度與巖(礦)層傾向同向的立體圖

由地表實測導線長度l(AF線)和實測地面坡角β組成垂直水平面的△ABF中∠B為直角，則△ABF為直角三角形，即

AB=l·cosβ

①

在△ACB中，BC為走向線，AC為傾向線，按上述走向和傾向的定義BC與AC相互垂直則△ACB為直角三角形。在△ACB中，AC=AB·sinω，在△ACB中∠ω和∠γ互為余角，或為AC=AB·cosγ。代入①，

則AC=l·cosβ·sinω，或AC=l·cosβ·cosγ

②

在△ABF中，BF=l·sinβ

BFDC面為長方形∴BF=DC，DC=l·sinβ

③

同理⊿ACD為垂直走向平面(即傾向垂面)中的直角三角形，根據勾股弦定理([2])：

④

在傾向垂面的直角三角形ACD中，設∠DAC為β′，據幾何定理：平行線間同位角、內、外錯角及對頂角相等，則∠ADE=α-β′，在△AED中，AE(H)=AD·sin(α-β′)。

代入④

⑤

根據三角函數加法定理，則：sin(α-β′)=sinα·cosβ′-cosα·sinβ′，代入

⑤

⑥

代入⑥

真厚度H=l·(sinα·cosβ·sinω-sinβ·cosα)

(1)

∠ω和∠互為余角，當選用巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實測線的交角γ時公式為：

真厚度H=l·(sinα·cosβ·cosγ-sinβ·cosα)

(2)

特例：

當地面坡角β=0°時：cosβ= cos0°= 1，sinβ= sin0°= 0，sinβ·cosα=0，

代入(1)或(2)

則真厚度H=l·(sinα·sinω)或H=l·(sinα·cosγ)

當巖(礦)層走向與巖(礦)層實測線的交角ω=90°，γ=0°和β=0°時，

sinω= sin90°=1，cosγ= cos0°=1，代入(1)或(2)

則真厚度H=l·sinα

(2)地面坡度與巖(礦)層傾向相反(圖2)。

圖2 地面坡度與巖(礦)層傾向相反的立體圖

推導同上，在△AED中，∠DAE=α+β′，則：

真厚度H=l·(sinα·cosβ·sinω+sinβ·cosα)

∠ω和∠互為余角，當選用巖(礦)層走向法線與巖(礦)層實測線的交角γ時公式為：真厚度H=l·(sinα·cosβ·cosγ+sinβ·cosα)

3 結 語

當地質工作者完全了解“公式”具有數學的嚴謹性時，又知其所以然后，在運用“公式”計算巖(礦)層厚度時將充滿信心，在野外收集各種計算參數時將更加主動和準確。

參 考 文 獻

[1]地質礦產部《地質詞典》辦公室編輯.地質詞典 [M].北京：地質出版社，1983.

[2]戴春陶等.中學生數學詞典[M].內蒙古人民出版.1982.