收斂性、閉性與拓撲空間

李云霞，劉高杰，周 琴

(成都理工大學 管理科學學院，四川 成都 610059)

1 拓撲空間和閉集

定義1 設X 是一個集合，T 是X 的一個子集族.如果T 滿足以下條件:

①X，φ ∈T;

②若A，B ∈T，則A ∩B ∈T;

③若T1?T，則∪A∈T1A ∈T.

則稱T 是X 的一個拓撲.

如果T 是集合X 的一個拓撲，則稱偶對(X，T)是一個拓撲空間，或稱集合X 是一個相對于拓撲T而言的拓撲空間;或者當拓撲T 早已約定或在行文中已有說明而無需指出時，稱集合X 是一個拓撲空間.此外，T 的每一個元素都稱為拓撲空間(X，T)(或X)中的一個開集.

定義2 設E ?Rn，如果E 的每一個聚點都屬于E，則稱E 為閉集.

引理1 設X 是一個拓撲空間，A ?X，則A 是一個閉集當且僅當A 的補集A' 是一個開集.

證明

1)必要性.

2)充分性.

設A'是一個開集.如果x ∈A'，則A'是x 一個鄰域，它滿足條件，A' ∩A = φ.因此，xd(A).于是有d(A)?A，即A 是一個閉集.

定理1 設X 是一個拓撲空間，記Ψ 為所有閉集構成的族，則:

①X，φ ∈Ψ;

②如果A，B ∈Ψ，則A ∪B ∈Ψ，從而如果A1，A2，…，An∈Ψ，n ≥1，則A1∪A2∪…An∈Ψ;

③如果φ ≠Ψ1?Ψ，則∩A∈Ψ1A ∈Ψ.

證明 根據引理1 有，Ψ = {U' | U ∈T}，其中，T 是X 的拓撲.

1)由于X，φ ∈T，所以，

φ = X'，X = φ' ∈Ψ.

2)當時A，B ∈Ψ，有A'，B'∈T，從而A'∩B'∈T.因此，

3)令T1= {A| A' ∈Ψ1}，于是T1?T，因此∪U∈T1U ∈T.從而，

由定理1 知，可用定義閉集的方式來確定拓撲結構.

2 收斂性、閉性與拓撲空間

2.1 度量空間中的收斂性與閉性

設(X，d)為度量空間，d 是距離，定義，

為x0的以ε 為半徑的開球，亦稱為x0的ε-鄰域.

設{xn}是(X，d)中的點列，如果存在x ∈X，使則稱點列{xn}是(X，d)中的收斂點列，x 是點列{xn}的極限.類似于Rn，可以證明度量空間中收斂點列的極限是唯一的.

類似于Rn，可以證明度量空間中收斂點列是有界點集.度量空間中閉集也可以用點列的極限來定義.

定理2 M 是閉集的充要條件是M 中任何收斂點列的極限都在M 中，即若xn∈M，n = 1，2，…，xn→x，則x ∈M.

證明 必要性顯然成立.由定義易知M 的每個聚點都屬于M，從而M 是閉集.

2.2 收斂性和閉集

定義3 設X 是一個非空集合，XS是由X 上的所有點列構成的集合，若XS× X 的子集S，滿足:對任意α，β ∈XS，若(α，x)∈S，且β 是α 的子列，則(β，x)∈X，則稱S 是集合X 上的一個收斂.此時(α，x)∈S 可稱為點列α 在X 中收斂于x，或稱x 為點列α 的極限，記為

定義4 設X 是一個非空集合，S 是集合X 上的一個收斂，A ?X.若A 中的收斂點列的極限仍屬于A，則稱A 為X 在S 下的閉集.

定理3 設X 是一個非空集合，S 是集合X 上的一個收斂.記Ψ 為X 在S 下的全體閉集構成的集族，則:①φ，X ∈Ψ;②若A，B ∈Ψ，則A ∪B ∈Y;③若Ψ1∈Ψ，則F ∈Y.

證明 根據定義4，得:

1)顯然成立φ ∈Ψ.對A ?X，若A 中的收斂點列的極限仍屬于A，收斂點列仍在X 中，其極限也屬于X，故有X ∈Ψ.

2)若A，B ∈Ψ，任取A ∪B 中的點列{xn}其收斂于x，則其在集合A 中{xn}的子列也收斂于x，由于A 是閉集，故x ∈A;在集合B 中{xn}的子列也收斂于x，由于B 是閉集，故x ∈B;從而x ∈A ∪B，于是A ∪B ∈Ψ.

3)任取F 中的點列{xn}，其收斂于x，由于F 是閉集有x ∈F，又因為{xn}?F，所以{xn}F.于是由x ∈F 可得因此

定理4 記TS= {U ?X| U'∈Ψ}，則TS是X上的一個拓撲.

證明 Ψ 滿足定理3 的3 個條件，故TS滿足定義1 的3 個條件，因而TS是X 上的一個拓撲.

定理4 說明，由集合X 上的收斂S 可賦予X 一個拓撲結構TS.

例1 設X 是一個平庸空間，XS是由X 上的所有點列構成的集合，取S = XS× X，易知S 是X 上的一個收斂，由定義4 可知平庸空間X 也是個閉集，從而平庸空間X 上的收斂S 賦予X 一個拓撲結構，稱之為平庸拓撲.

例2 設X 是一個離散空間，XS是由X 上的所有點列構成的集合，由于X 中的每個集合都是開集，即有A ?X，A'?X.根據引理1 知，A 是閉集.從而令S = {({xn}，x)}存在M ∈Z+，使得當n ＞M 時，有xn≡x}，易知S 是X 上的一個收斂，由定義4 可知離散空間X 也是個閉集，從而離散空間X 上的收斂S賦予了X 一個拓撲結構，稱之為離散拓撲.

定義5 設{xi}i∈Z+是拓撲空間(X，T)中的一個序列，x ∈X.如果對于x 的每一個領域U，存在M∈Z+使得當i ＞M 時有xi∈U，則稱點x 是序列{xi}i∈Z+在拓撲T 下的一個極限點(或極限)，也稱為序列{xi}i∈Z+收斂于x，記作

如果序列至少有一個極限，則稱這個序列是一個收斂序列.

需要指出的是，(X，TS)中的S 收斂與TS收斂可能不一致.

例3 設X 是一個不可數集，T 是X 上的可數補拓撲.可以證明X 中的一個點列{xn}拓撲T 收斂于x的充要條件是，存在M ∈Z+使得當i ＞M 時xi= x.若X 上的拓撲T 是X 上的某個收斂S 確定的拓撲.即，存在X 上的收斂S，使得TS= T.

可證，X 上的點列{xn}的T 收斂與S 收斂一定不一致.這是因為，若兩種收斂是一致的，則由上述定義知，{xn}S 收斂于x，當且僅當，存在M ∈Z+使得當i ＞M 時xi= x.而(X，TS)(= (X，T))中的子集A 是閉集，當且僅當，若{xn}?A，并且{xn}S 收斂于x，則必有x ∈A.

因為TS= T，即TS是可數補拓撲，故對于A 真包含于X:A 是閉集，當且僅當，A 是可數集.取B 是X 的一個真子集且不可數，則B 不是閉集.但另一方面，對于{xn}?B 有{xn}S 收斂于x，則存在M ∈Z+使得當i ＞M 時xi= x，于是x ∈B，故B 是(X，TS)中的閉集，矛盾.從而證明了X 上的點列{xn}的T 收斂與S 收斂一定不一致.

2.3 實 例

用S 收斂來確定拓撲結構，即所謂的基本函數空間R(Rn).

對于n 維Euclid 空間Rn中的點x = (x1，x2，…，xn)，記設p1，p2，…，pn為個非負整數，多重指標p 是指如下的有序n-數組p = (p1，p2，…，pn)，記| p| = p1+ p2+ … + pn.對于每個多重指標p，引進偏微分算子，

設φ 為定義在Rn上的函數，稱集合{x:φ(x)≠0}的閉包為φ 的支集，記為suppφ.

設φ 為定義有Rn上的函數，稱Dpφ(如果存在)為φ 的p 階偏導數.如果pj= 0，則表示不對xj求偏導數.如果所有的pj= 0(j = 1，2，…，n)，表示不求任何偏導數.Rn上無限次可微復值函數的全體為C∞(Rn).C∞(Rn)中具有緊支集的函數的全體記為R(Rn).容易看出，C∞(Rn)、R(Rn)按照通常函數的線性運算都是復線性空間.

定義6 設{φm}?C∞(Rn)(m = 1，2，3，…)，φ ∈C∞(Rn).如果對Rn中的任一緊子集K 以及任一多重指標p，{Dpφm}在K 上一致收斂于Dpφ，則稱{φm}在C∞(Rn)中收斂于φ，記為

定義7 設{φm}?C∞(Rn)(m = 1，2，3，…)，φ ∈R(Rn).如果滿足:

①存在Rn的緊子集K，使得對這一切m = 1，2，3，…，有suppφm?K;

②對任一多重指標p，{Dpφm}在Rn上一致收斂于Dpφ.

則稱{φm}在R(Rn)中收斂于φ，記為，{φm}而稱R(Rn)按照所規定的線性運算及收斂概念為一基本函數空間.

易知，(R(Rn)，TS)不僅是拓撲空間，而且是線性空間，以及其上的線性運算在拓撲TS下是連續的，因而其是拓撲線性空間.

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