多項(xiàng)式(1 +x)k +(1－x)k－2k的整除性問(wèn)題

楊 婷，周佳馨，楊仕椿

(阿壩師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，四川 汶川 623000)

0 引 言

在代數(shù)和數(shù)論中，整除性是整數(shù)和多項(xiàng)式的一類(lèi)重要性質(zhì)，對(duì)此已有十分豐富的成果，也有很多尚待解決的問(wèn)題與進(jìn)一步研究的課題［1－3］.著名的奇完全數(shù)問(wèn)題、Euler 函數(shù)的性質(zhì)、冪數(shù)問(wèn)題、約數(shù)和函數(shù)等等，其本質(zhì)上都是屬于整除性問(wèn)題.

對(duì)于正整數(shù)k，設(shè)未定元為x 的一元多項(xiàng)式，

問(wèn)題 哪些正整數(shù)m 和n，可使整數(shù)關(guān)系，

成立?

1980年，Bombieri［4］證明了:如果整除關(guān)系成立，則必有m ≤229.特別是當(dāng)m ≠2，3，5 或7 時(shí)，必有n ＜10370.然而在一般情況下，這仍是一個(gè)尚未完全解決的問(wèn)題.

2013年，周凡雨等［5］對(duì)m = 2，3，4，7 進(jìn)行研究，證明了，當(dāng)m = 2 或3 時(shí)，整除關(guān)系(2)對(duì)于任何大于m 的正整數(shù)n 都成立，當(dāng)m = 5 或7 時(shí)，整除關(guān)系(2)成立的充要條件分別是n ＞5，且n ≡±1(mod6)，以及n ＞7 且n ≡1(mod6).

在此基礎(chǔ)上，本研究通過(guò)代數(shù)和數(shù)論知識(shí)，運(yùn)用同余關(guān)系、遞推序列的通項(xiàng)以及復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)，討論了m = 4 時(shí)多項(xiàng)式的整除性問(wèn)題，主要結(jié)論是:

定理1 對(duì)于任何正整數(shù)n ＞4，均有，

1 若干引理

引理1 對(duì)于任何正整數(shù)n，都有x2－ 1 |Tn(x).

證明 見(jiàn)文獻(xiàn)［5］中的引理2.1.

引理2 在數(shù)列{an}中，給定a1，且an+1= λan+ f(x)，n ＞1，其中λ ≠0，則此一階遞推數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為，

證明 由遞推數(shù)列的性質(zhì)可直接推出.

引理3 若A、B 為復(fù)數(shù)，且| A| ＞λ| B|，則，

證明 在| A| ＞λ| B| 兩邊同時(shí)減去| B| 可得，

則由三角形不等式可得，

結(jié)論成立.

2 定理1的證明

由于，

且

因此，根據(jù)引理1 可知，x2－1 | Tn(x)，所以要驗(yàn)證，當(dāng)m = 4 時(shí)整除關(guān)系T4(x)| Tn(x)，n ∈N，只需要驗(yàn)證整除關(guān)系，

由于多項(xiàng)式x2+7 的根是和所以整除關(guān)系(4)成立的充要條件是，

即，

設(shè)，

有，

情形1 n 為奇數(shù).通過(guò)計(jì)算可得，S1= 1，S3=－5，S5= 11.所以，S5≡3(mod4).由式(5)可得，

則，

下面證明，

假設(shè)當(dāng)n = r 時(shí)，式(7)成立，即Sr≡2(mod4)，則當(dāng)n = r +2 時(shí)，由式(6)可得，

所以，當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，式(7)成立.因此，當(dāng)n ＞4，且n 為奇數(shù)時(shí)，Sn≠1，則整除關(guān)系(4)成立.

情形2 n 為偶數(shù)，且n ≡2(mod4).設(shè)n = 4k +2 時(shí)，由式(5)可得，

由式(8)可得，

由于S6= 9，S10= 57，S14=－87，所以，

下面證明，

假設(shè)當(dāng)n = 4k +2 時(shí)，式(10)成立，即S4k+2≡9(mod16)，則當(dāng)n = 4k +6 時(shí)，由式(9)可得，

S4k+6≡S4k+2= 9(mod16).

所以，當(dāng)n = 4k +2 時(shí)，式(10)成立.因此，當(dāng)n＞4，且n = 4k +2 時(shí)，Sn= 16l +9 ≠1，則整除關(guān)系(4)成立.

情形3 n 為偶數(shù)，且n ≡0(mod4).令n = 4k，由式(5)可得，

S4k+4= S4k－16S4k－4，

令S4k= Wl，則Wl+1= Wl－16Wl－1，所以，

Wl+1－ λWl= δ(Wl－ λWl－1)，

則由，

可得，

由于W1= S4= 1，W2= S8=－31，則當(dāng)l ≥3時(shí)，有，

根據(jù)引理2，由式(11)可得，

令A(yù) = 256(31 +λ)δl－3，B = (16λ+31λ2)λl－3，通過(guò)計(jì)算可得，

所以| A| ＞2| B|.由于| λ| ＞1，根據(jù)引理3可得，| A－ B| ＞| B| ＞510，則，

于是Wl≠1.所以，當(dāng)n = 4k 時(shí)，Sn≠1，則整除關(guān)系(4)成立.

綜上所述，當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)，整除關(guān)系(4)成立.定理1 得證.

［1］Richard K G.Unsolved problems in number theory［M］.New York:Springer Verlag，1994.

［2］華羅庚.數(shù)論導(dǎo)引［M］.北京:科學(xué)出版社，1979.

［3］馮克勤，余紅兵.整數(shù)與多項(xiàng)式［M］.北京:高等教育出版社，1999.

［4］Bombieri E.On a problem of tu concerning divisibility of polynomials［C］//Proceedings of the 1980 Beijing Symposium on Differential Geometry and Differential Equations.Beijing:Science Press，1982:1481－1482.

［5］周凡雨，陳運(yùn)棟，張璐瑤，等.多項(xiàng)式(1+x)k+(1－x)k－2k的整除性［J］.湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，34(3):49－52.