基于點光源的邁克耳孫干涉實驗條紋的機理分析

李賢芳 李建青 馬爭爭 余靈鳳

（武漢理工大學(xué)物理系，湖北 武漢 430070）

在一般大學(xué)物理的教材［1，2］中，只介紹了以平行平面薄膜的等傾或等厚的分振幅型干涉，類似地，在大學(xué)物理實驗教材［3］中，也只是介紹了通過等傾干涉所產(chǎn)生的圓條紋現(xiàn)象的觀察及相應(yīng)的物理量的測量.然而，邁克耳孫干涉儀可以調(diào)制出橢圓和雙曲線干涉條紋，但其條紋形成的理論推導(dǎo)很少涉及.本文將根據(jù)點光源雙光束干涉理論對邁克耳孫干涉儀各種不同形狀條紋產(chǎn)生的機理進(jìn)行理論分析和比較.

1 點光源雙波場的雙葉雙曲面的形成［4］

如圖1所示，令P（x，y，z）為干涉場中一考察點，S1，S2為兩初相位相同，相距為d，強度相等的兩相干點光源.則在真空中有光程差：

圖1 雙光束干涉的幾何關(guān)系示意圖

整理后得方程

由于Δ≤d，由解析幾何知，這是以S1，S2為焦點，以x軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，如圖2所示.d為定量，則每一Δ值對應(yīng)兩個對稱的相應(yīng)曲面，雙葉雙曲面的幾何意義是該曲面上任意一點至兩焦點的距離差為一常數(shù)點的軌跡，而對于P到S1，S2的距離差為常數(shù)的物理意義正是“光程差恒定”之意，故該組雙葉雙曲面正是等光程差曲面，顯然，x＝0時，對應(yīng)光程差Δ＝0.

圖2 兩點光源的等光程差曲面

2 接收屏上干涉條紋的幾何形狀及形成條件

因為S1，S2兩光源的光強相等，則干涉條紋就是一族等光程差線，若用接收屏（如毛玻璃）接收，實質(zhì)上就是接收屏與等光程差曲面相交的截線，下面討論幾種典型的干涉條紋形狀.

2.1 接收屏上雙曲線條紋的形成條件

顯然，當(dāng)接收屏為z＝D平面時，干涉條紋為z＝D平面與等光程曲面的交線，故有

解此方程組，得到

這是一組雙曲線方程，所以z＝D平面上的干涉條紋呈雙曲線規(guī)律分布.由于旋轉(zhuǎn)雙曲面是對x軸旋轉(zhuǎn)對稱的，因此在任一與x軸（兩點光源連線）平行的平面上，其干涉條紋皆為雙曲線形狀.若接收屏離O點足夠遠(yuǎn)，即且P點在z軸附近（近軸條件），此時可將z＝D代入光程差公式（1）并用二項式定理展開，忽略高次項有

所以有

條紋間距

這是一些平行于y軸的直線，故在z＝D屏面上在滿足近軸條件的情形下，得到的干涉條紋是一族平行于y軸的等距分布的直線干涉條紋（此即近軸條件下，雙光束干涉得到平行等距干涉條紋的由來）.

2.2 接收屏上圓形條紋的形成條件

同理，在接收屏為x＝D平面上（與S1，S2兩光源連線垂直平面）

整理得

顯然，這是一組以x＝D平面與x軸交點為圓心的一族同心圓，故此時x＝D平面截得的條紋形狀為一族同心圓環(huán)形條紋，k為圓環(huán)半徑.當(dāng)x＝0時（yOz平面），該平面上任意點的光程差皆為零，此時光強最大，故該接收屏被均勻照明.

2.3 接收屏上橢圓條紋形成的條件

當(dāng)接收屏不在上述位置時.設(shè)接收屏的法線在xOy屏面上，法線與接收屏相交于x0，y0，法線與x軸成θ角，在接收屏上取（m，z′），如圖3，x，y，z坐標(biāo)與接收屏上得m，z′坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

將式（6）代入式（2）即得此接收屏與等光程差曲面截線在m，z坐標(biāo)系中的方程.代入得

這是一個m，z′坐標(biāo)上的二次曲線的方程，根據(jù)解析幾何知識，當(dāng)z′2與m2的系數(shù)同號時，則曲線為一橢圓，將該式展開整理可得m2的系數(shù)為，現(xiàn)z′2項的系數(shù)為負(fù)值（d≥Δ），故橢圓出現(xiàn)的條件為，即

如不滿足此條件，則接收屏上得到的是雙曲線干涉條紋.綜合以上情況，點光源雙光束干涉條紋的形狀隨屏幕位置變化的規(guī)律用圖像表示為（圖4）.

3 邁克耳孫干涉實驗條紋的分析［5，6］

3.1 邁克耳孫干涉實驗原理

圖5是邁克耳孫干涉儀的等效光路圖，設(shè)M′2與之間的距離為，氦氖激光器中發(fā)出的平行光經(jīng)透鏡（擴(kuò)束鏡）L匯聚得點光源S，S經(jīng)AB膜反射成鏡像于S1，S1再經(jīng) M1和 M′2成鏡像于S′1，S′2；由幾何光學(xué)知識可知S′2與S′1之間的距離為d.因為S′1，S′2分別來自于同一光源S，故S′1與S′2是相干的.此時，邁克耳孫干涉儀的干涉條紋可以等效看成是由 S′1，S′2產(chǎn)生的干涉，這樣，用激光照明的干涉儀，就等效為兩個單色點光源S′1與S′2的干涉.

圖4 條紋形狀隨接收屏位置的變化

圖5 邁克耳孫干涉儀等效光路圖

圖6 等傾干涉光程差分析圖

3.2 邁克耳孫干涉儀的各種條紋的形成條件

由前面分析可知，對于兩點光源產(chǎn)生的雙光束干涉，接收屏上干涉條紋的形狀將隨著接收屏與產(chǎn)生干涉的兩相干點光源連線的相對位置的改變而改變.對于邁克耳孫干涉儀，接收屏的位置是固定在一個方位上，且S′1，S′2的連線位置是由 M1與M′2的相對位置決定，此時要獲得不同形狀干涉條紋，只能改變M1與M′2的相對位置.

1）圓條紋的形成條件

當(dāng)激光束垂直于M1，且M′2與M1平行，此時接收屏垂直于S′1與S′2的連線，接收屏接收到的為一束同心圓環(huán)型條紋，即等傾干涉，其光程差分析如圖6.

將此式用二項式定理展開得

該光程差公式表明，在 M′2與 M1平行的條件下，即d一定，光程差只與φ有關(guān)，此為等傾干涉.

2）直條紋的形成條件

當(dāng)M1與M2到分光板G1的距離近乎相等，即M′2與M1相交（膜厚趨于零），且兩者有微小夾角時，M1與 M′2將形成兩個對頂?shù)目諝馀猓鐖D7所示，此時S′1與S′2的連線基本上與接收屏平行，則接收到的條紋中間是直線，兩邊呈對稱分布的雙曲線.因為邁克耳孫干涉儀的接收屏很小，基本滿足近軸條件，所以實際接收到的是近乎直線的條紋.這種情況通常說成是等厚干涉.

3）橢圓或雙曲線條紋的形成條件

當(dāng)M′2與M1不平行且不相交，（膜厚較大，遠(yuǎn)大于λ）如圖8，因為M′2與M1之間有較厚的空氣層，此時S′1與S′2的連線與接收屏既不平行也不垂直，接收屏得到的是如圖8所示的橢圓或雙曲線條紋.很明顯此種干涉情況既非等傾也非等厚.對于實際情況，因為干涉儀中的接收屏視場很小，所以觀察到的只是橢圓或雙曲線的一部分，有時候難得判斷是橢圓還是雙曲線，但是根據(jù)干涉原理，可以判斷曲線條紋的彎曲方向.原因是：如果M1與M′2的距離較大（即d較大），則φ的微小變化將引起Δ的較大變化，故條紋與等厚線的偏離程度增大，這時條紋將發(fā)生彎曲，彎曲的方向是凸向楔棱（M1與M′2延伸面的相交線）.如圖9所示.

圖7 直線與雙曲線條紋

圖8 邁克耳孫干涉儀既非等傾也非等厚的干涉

圖9 干涉條紋偏離等厚線

曲線干涉條紋凸向楔棱的原因定性分析是：干涉條紋是等光程差線，當(dāng)入射光并非平行光時，對于傾角較大的入射光束，它所對應(yīng)的光程差若與傾角較小的入射光束對應(yīng)的光程差相等，應(yīng)以平板厚度的增大來補償，這一點從光程差公式Δ＝2×cosφ可以看出.因靠近楔形板邊緣的點對應(yīng)的入射角較大，因此，干涉條紋越靠近邊緣越偏離到厚度更大的地方，所以在厚板的情況下光束入射角的變化將引起光程差較大的變化，這樣條紋的彎曲將顯露出來.

4 結(jié)語

邁克耳孫干涉圖樣較多，通過以上的分析討論，理解每一種圖樣產(chǎn)生的原因，掌握等傾干涉與等厚干涉的條件，對學(xué)生掌握邁克耳孫干涉儀的應(yīng)用及快速準(zhǔn)確地調(diào)試，減少測量誤差將有很大的幫助.

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