光在非均勻介質中傳播規律的演示

魏振博 王占山

（同濟大學精密光學工程技術研究所，同濟大學物理科學與工程學院，上海 200092）

光在介質中的傳播規律遵循費馬原理，如：在均勻介質中，光沿直線傳播，這是人們普遍接受的觀點.在非均勻介質中，光的傳播軌跡比較復雜，與非均勻介質的狀態有密切關系.在光學教學過程中，主要是講授光在均勻介質中的傳播.只在很少的國內外教科書中，有關于光在非均勻介質中傳播的介紹，主要是海市蜃樓和沙漠幻影［1－3］.

在夏季，白天海水溫度較低，特別是有冷水流經過的海面，水溫更低，靠近海面的空氣受海水溫度的影響，溫度較低.隨著海面向上距離的增加，空氣的溫度受海水溫度的影響減小，因此，將出現下冷上暖的反常現象（正常情況是下暖上涼，平均每升高100m，氣溫降低0.6℃ 左右）.靠近海面的空氣因氣壓高，密度大，再加上溫度低，密度變大.在這種情況下，隨著距離海面高度的增加，空氣的密度逐漸減小，導致空氣的折射率逐漸減小.在這種折射率逐漸變小的空氣中，光線在傳播的過程中發生彎折，形成海市蜃樓現象.在夏天的沙漠里，沙子的比熱容比較小，很快就能被太陽曬得很熱，接近沙層空氣的溫度也就升高很快.空氣傳熱差，在無風時，空氣上下層間的熱量交換極小.因此，隨著離開沙子表面距離的增加，空氣的溫度逐漸減小，導致靠近沙層表面的空氣密度比上層空氣密度小，也就是靠近沙層表面空氣的折射率小于上層空氣的折射率.由于沙漠中空氣折射率的變化，產生了沙漠幻影現象.同理，這種情況也可出現在夏天的馬路上.

光在均勻介質中沿直線傳播的規律是非常容易看到的，也是在實驗上容易演示的.光在非均勻介質中傳播的海市蜃樓和沙漠幻影現象不是經常能夠看到的，實驗上的演示也不是十分容易.要在實驗上演示光在非均勻介質中的傳播規律，首先需要產生一個折射率不斷變化的區域，且在這個區域內光要有一定的散射，這樣才能明顯地觀察到光的傳播規律.本文選擇糖漿往清水中擴散部分作為折射率漸變區域，采用激光筆發出的532nm激光作為光源，通過激光在糖漿與清水擴散區域的傳播，演示了光在非均勻介質中的傳播規律，證實了光在非均勻介質中傳播不是直線.進一步根據演示現象推導了溶液中折射率的相對變化.

1 實驗現象

實驗器材包括：照相機、有機玻璃容器（140mm×50mm×210mm）、白糖、帶有膠皮管的漏斗、燒杯、量筒、532nm的激光筆、支架.

將清水倒入有機玻璃容器中，水面距底部40mm左右，然后用帶有膠皮管的漏斗將糖漿注入清水的底部，使糖漿擴散形成濃度漸變區域.用支架將波長532nm的激光筆固定好，使激光筆發出的激光以一定角度射入糖漿與清水間形成的濃度漸變區域.用照相機從正面拍攝光線的傳播路徑.

糖漿的濃度和實驗室的溫度決定糖漿向清水中擴散的速度，也就是決定了擴散區域內溶液折射率的變化情況.為了得到最佳的觀察效果，需要優化糖漿的濃度和實驗室的溫度.在實驗中，我們發現溫度對糖漿擴散的影響不大，濃度對糖漿向清水中的擴散影響甚大，如在糖漿濃度過大時甚至看不到光線的彎折.通過大量的實驗，光線偏折比較明顯的糖漿中的水和糖的質量比為2∶3.圖1示出了光線在非均勻溶液中的傳播狀態.

圖1 實驗得到的光在非均勻介質中的傳播現象

糖漿和清水間的擴散應與時間有關，這將導致光在上述非均勻介質中的傳播現象也隨時間變化.為了觀察這種變化，我們在距離容器2m遠處放一個觀察屏（一張白紙即可），經過非均勻傳播的光在觀察屏上形成一個光點.只要觀察該光點的位置隨時間的變化，就可以了解光在非均勻溶液中傳播狀態隨時間的變化情況.通過實驗發現在30分鐘內，所觀察的光點位置的變化不明顯，表明非均勻區域內折射率隨時間變化不明顯.在距離容器2m遠處觀察，是因為距離越遠觀察的現象越顯著.

為了進一步演示光在非均勻介質中的傳播，我們在裝有糖漿與清水的容器的一側放上一個限制光闌，在另一側放上一個寫有數字的卡片.當沒有放入帶有非均勻介質的容器時，通過光闌，能看到的數字是12（見圖2（a））.當保持演示裝置的位置不變，只是在觀察光闌與數字卡片間加入我們制作的折射率變化的液體，這時通過光闌看到的數字不是12，而是12下面的數字13（見圖2（b））.這一實驗證實了光在非均勻介質中傳播時發生了彎曲.

2 光在非均勻介質中傳播規律的分析

光在非均勻介質中傳播的實驗現象觀察是定性的，為了能夠獲得光傳播規律的定量信息，首先需要獲得光傳播路徑函數，然后根據路徑函數確定非均勻介質中折射率的相對變化.

2.1 光線傳播路徑的函數表達式

為了確定光線傳播路徑，我們在演示裝置上增加了兩個鋼板尺，通過鋼板尺，可以確定出光線傳播路徑實驗曲線，如圖3所示.采用二次函數擬合了實測曲線，得到的擬合曲線方程為

式中，y是光線徑跡在高度方向的值，x是沿著光傳播方向上光線的位置值.由此式可知，光在糖漿與清水擴散區域內的傳播軌跡是拋物線.

圖3 光線在非均勻介質中的傳播徑跡

2.2 非均勻介質折射率的確定［4］

為了確定非均勻介質折射率分布，假定其折射率在y方向上是漸變的，在x方向上是不變的.將非均勻介質在y方向上分割成許多薄片，每片的折射率是ni，由折射定律有

對于非均勻介質內的任意位置，應有

光線徑跡上（x，y）處的一段曲線元，其弧長ds的大小可表示為

由折射定律有

將式（5）代入式（4）得到

將光線徑跡方程（1）代入上式，得到

按式（9）作圖，如圖4所示，其是非均勻介質折射率相對變化，只要知道n0sinθ0就可以知道所研究的介質的折射率隨位置的變化.由圖4可知，所研究的非均勻介質的折射率變化只有1%左右.

圖4 非均勻介質折射率隨位置的變化

3 結語

本文采用糖漿與清水交界區域實現了光在非均勻介質中的傳播規律的演示，結果表明：溫度對傳播規律的影響不大，但糖漿中水和糖的質量比是觀察到明顯光學偏折現象的重要因素.實驗獲得了光線在非均勻介質中光線徑跡，擬合得出光線在我們制備的非均勻介質傳播徑跡是拋物線.由徑跡曲線，得出了非均勻介質折射率的變化規律.

本文介紹的演示實驗裝置簡單，現象直觀，內容豐富，大大激發了學生學習光學的興趣，拓展了學生對光學學習的思路，加深了學生對統領光線傳播規律的費馬原理的認識.

［1］ 鐘錫華.現代光學基礎［M］.北京：北京大學出版社，2003：17－20.

［2］ 費恩曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學講義 第一卷［M］.鄭永令，華宏鳴，吳子儀，等，譯.上海：上海科學技術出版社，2005：263－264.

［3］ Ajoy Ghatak，Optics［M］.4thed，北京：清華大學出版社，2010.

［4］ 趙建林.高等光學［M］.北京：國防工業出版社，2012：70－72.