勻質(zhì)三角形板和邊框的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

邱為鋼

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000）

常見剛體（質(zhì)量均勻分布），如桿和三角形板，對(duì)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由桿和三角形的幾何量來表示［1，2］.文獻(xiàn)［3，4］給出了勻質(zhì)三角形邊框相對(duì)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾何量表示，他們的推導(dǎo)過程中，使用了不少平面幾何知識(shí).平面幾何也可以用代數(shù)的方法來研究，這就是解析幾何的處理思路.應(yīng)用這種思路，筆者給出了文獻(xiàn)［3，4］結(jié)論的代數(shù)推導(dǎo)方法，整個(gè)推導(dǎo)過程中可以不畫圖，實(shí)用方便.

考慮一個(gè)質(zhì)量均勻分布的桿，線密度λ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m＝λL.垂直于桿所在平面的轉(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)O，桿兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （x1，y1）和 （x2，y2），如圖1所示.

質(zhì)心C的坐標(biāo)為

勻質(zhì)桿相對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是

由平行軸定理，勻質(zhì)桿相對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

把式（1）和（2）代入式（3），計(jì)算得到勻質(zhì)桿相對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

圖1 桿的坐標(biāo)示意圖

應(yīng)用勻質(zhì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的坐標(biāo)表示式（4），可以計(jì)算出勻質(zhì)三角形邊框相對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)垂直于三角形邊框所在平面的轉(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)O，勻質(zhì)三角形邊框三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），如圖2所示.

圖2 三角形邊框坐標(biāo)與邊長(zhǎng)示意圖

三角形三個(gè)邊長(zhǎng)的平方為

設(shè)邊框（桿）的質(zhì)量線密度是λ，由式（4）以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的疊加性，得到勻質(zhì)三角形邊框相對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

按定義，勻質(zhì)三角形邊框的質(zhì)心坐標(biāo)為

由解析幾何知識(shí)可知［5］，勻質(zhì)三角形邊框的質(zhì)心坐標(biāo)式（7）就是中點(diǎn)三角形的內(nèi)心坐標(biāo)I.反用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，得到勻質(zhì)三角形邊框相對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

式（8）的具體運(yùn)算可以借助數(shù)學(xué)軟件（例如Mathematica）來完成，計(jì)算發(fā)現(xiàn)式（8）可以寫成以下表達(dá)式

利用Mathematica多項(xiàng)式展開和取系數(shù)功能，得到式（9）中的待定系數(shù)為

由式（9）、（10）和（11），得到勻質(zhì)三角形邊框相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

作代換

式（12）化簡(jiǎn)得到與文獻(xiàn)［3，4］相同的結(jié)論：

接下來求勻質(zhì)三角形板相對(duì)垂直板所在平面任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)轉(zhuǎn)軸通過原點(diǎn)O，m為三角形板的質(zhì)量，三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）（可參考圖2）.由文獻(xiàn)［1，2］可知，勻質(zhì)三角形板相對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

其中三角形三個(gè)邊長(zhǎng) （a，b，c）由式（5）和式（13）確定.三角形板的質(zhì)心坐標(biāo)為

由平行軸定理，計(jì)算得到勻質(zhì)三角形板相對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的坐標(biāo)表示為

勻質(zhì)桿和三角形板相對(duì)任意轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的坐標(biāo)表示式（4）和（17），就是本文的主要結(jié)論.對(duì)于可以三角形剖分的平面物體，一旦知道了所有頂點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以方便利用式（17）來編程計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（面積也容易用坐標(biāo)表示出來）.相比較，如用勻質(zhì)三角形板轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的幾何表示式（15），需要知道每個(gè)三角形重心到轉(zhuǎn)軸的距離，知道每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，計(jì)算三角形的面積（算三角形的質(zhì)量），平行軸定理要反復(fù)使用，反而不如式（17）的坐標(biāo)表示直接方便.

［1］ 江少林，華保盈.剛體繞任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡(jiǎn)便計(jì)算［J］.工科物理（現(xiàn)刊名《物理與工程》），1998，8（3）：31－32.

［2］ 劉風(fēng)智.任意三角形平板剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與慣量主軸［J］.大學(xué)物理，2007，26（3）：16－17.

［3］ 周國(guó)全，徐斌富.勻質(zhì)邊框三角形剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式［J］.大學(xué)物理，2012，31（12）：8－9.

［4］ 李力.簡(jiǎn)捷推導(dǎo)勻質(zhì)三角形邊框剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［J］.大學(xué)物理，2013，35（05）：10，43.

［5］ Incenter［EB／OL］.［2013－07－01］http：／／mathworld.wolfram.com／Incenter.html