理想氣體熱力學過程吸放熱情況的圖像判斷法

鄭明陽 王天為 張國鋒

（1北京航空航天大學電子信息工程學院，北京 100191；2北京航空航天大學物理科學與核能工程學院，北京 100191）

在本科生熱學課程中，講完熱力學第一定律后，按教學要求，需要學生掌握熱力學過程的吸熱或放熱情況，只有會判斷一個熱力學過程的吸放熱情況，才能準確地計算循環(huán)過程中的效率、制冷系數(shù)等等.如何非常簡便地判斷一個熱力學過程的吸放熱情況是至關重要的.

壓強－體積（p－V）圖上的任意一條曲線，都代表一個準靜態(tài)過程；反之，任意一個準靜態(tài)過程，也都可以用p－V圖上的一條曲線表示.因此，可借助p－V圖來研究任何準靜態(tài)過程的吸放熱情況.熱力學中的4種最基本過程（等溫、等壓、等體、絕熱）都可以概括為一個多方過程：pVn＝常數(shù)，n為多方指數(shù).n＝0時為等壓過程，n＝1時為等溫過程，n＝γ（γ絕熱比）時為絕熱過程，n＝∞時為等體過程.對于一般的熱力學準靜態(tài)過程，雖然不能夠用一個多方過程來替代，但對于該過程曲線上的任意一個無限小的微元過程，都可以看作一個多方過程的一小部分.因此對準靜態(tài)過程任一微元過程吸放熱的研究，可以通過研究用以擬合該微元過程的多方過程吸放熱來判斷，即研究該多方過程熱容的正負.

熱力學過程整體吸放熱的情況，可以由該過程的各個微元過程相加得到.但事實上，對于整體過程吸放熱的研究，并不需要像研究微觀過程那樣仔細，而是可以在p－V圖上借助等溫線和絕熱線比較曲線所圍面積的大小得到.

本文第一部分將討論理想氣體熱力學準靜態(tài)過程任意微小過程吸放熱的判斷，第二部分介紹判斷理想氣體熱力學過程整體吸放熱的作圖方法.

1 理想氣體熱力學曲線上任意微元過程吸放熱的研究

1.1 多方過程的摩爾熱容

以下研究理想氣體系統(tǒng).由熱力學第一定律可以得到，對于任意一個微小的熱力學過程，其熱量變化為

在兩邊分別除以νdT，并利用V＝νVm關系，則有

對于多方過程，有TVn－1＝常量，兩邊求全微分得

再在兩邊除以dT，得

由該式可得Cn，m隨n值變化情況如圖1所示.

圖1 多方熱容在p－V圖上的曲線

1.2 不同n值時無限小微元過程吸放熱的討論

根據(jù)多方過程n的不同取值，對無限小微元過程吸放熱情況分以下5種情況討論：

（1）當n＞γ時，Cn，m＞0，如圖2所示，虛線為絕熱線，AB在絕熱線下方，AC在絕熱線上方.當該過程沿著A→B方向時，dT＜0，＝νCn，mdT＜0，為放熱過程；當該過程沿著A→C方向時，dT＞0，＝νCn，mdT＞0，為吸熱過程.

圖2 n＞γ時的判斷方法

（2）當n＝γ時，Cn，m＝0，為絕熱過程.

（3）當1＜n＜γ時，Cn，m＜0.如圖3所示，虛線為絕熱線，AB在絕熱線上方，AC在絕熱線下方，曲線CAB夾在等溫線與絕熱線之間.該過程沿著A→B 方向時，dT＜0，＝νCn，mdT＞0，為吸熱過程；當該過程沿著A→C方向時，dT＞0，＝νCn，mdT＜0，為放熱過程.

圖3 1＜n＜γ時的判斷方法

（4）當n＝1時，該過程為等溫過程，如圖4.內(nèi)能變化dU＝0，虛線為絕熱線，AB在絕熱線上方，AC在絕熱線下方，＝dU＋＝.A→B過程系統(tǒng)對外做正功，＞0；A→C過程外界對系統(tǒng)做正功＜0.

圖4 n＝1時的判斷方法

（5）當n＜1時，Cn，m＞0.如圖5所示，虛線為絕熱線，AB在絕熱線、等溫線上方.AC在絕熱線、等溫線下方.當該過程沿著A→B方向時，dT＞0，＝νCn，mdT＞0，為吸熱過程；當該過程沿著A→C方向時，dT＜0＝νCn，mdT＜0，為放熱過程.

圖5 n＜1時的判斷方法

1.3 準靜態(tài)微元過程吸放熱的分析歸納

對情況（1）的A→B 過程，情況（3）、（4）、（5）的A→C過程可知，從絕熱線上任一點出發(fā)的微元過程，如果該過程曲線在絕熱線下方，那么該過程對外放熱；對情況（1）的A→C過程，情況（3）、（4）、（5）的A→B過程可知，從絕熱線上任一點出發(fā)的微元過程，如果該過程曲線在絕熱線上方，那么該過程從外界吸熱.

以上討論的微元過程，微元曲線或在絕熱線上方，或在絕熱線下方，即曲線斜率始終小于或大于絕熱線斜率.由于絕熱線彼此平行，因此沿曲線前進的過程中，曲線依次穿過彼此平行的絕熱線，即曲線始終與絕熱線相交.

如果曲線某段與某條絕熱線相接觸后折回，如圖6：A→B→C過程，此時熱力學曲線與某條絕熱線相切與B點，A→B過程在絕熱線1下方，對外放熱，B→C過程在絕熱線2上方，吸收熱量，而B點就是吸放熱恰好發(fā)生轉(zhuǎn)變的位置.

圖6 曲線某段與某條絕熱線相接觸后折回吸、放熱判斷方法

1.4 小結(jié)

經(jīng)過以上分析歸納可得：從絕熱線上任一點出發(fā)的微元過程，如果該過程曲線在絕熱線下方，那么該過程對外放熱；如果該過程曲線在絕熱線上方，那么該過程從外界吸熱.如果沿曲線前進的過程中曲線不斷穿過彼此平行的絕熱線，則吸放熱情況不變，當且僅當曲線與某條絕熱線相切時，吸放熱情況恰好在切點處發(fā)生變化.

2 理想氣體熱力學過程整體吸放熱的判斷

2.1 任意理想氣體熱力學過程整體吸放熱的判斷

在分析了微觀過程即某點的吸放熱情況之后，下面討論如何根據(jù)p－V圖像來判斷某一個過程的吸放熱情況.比如圖7中的A－B－C過程.

如圖7所示，AE，AD分別為過初始狀態(tài)點A的等溫線和絕熱線，由熱力學第一定律得

圖7 任意的一個熱力學過程

其中，WAC在數(shù)值上等于曲線AC與橫軸所夾面積SAC.下面求ΔUAC.過C點做絕熱線交等溫線AE于點A′，則A點與A′點在同一條等溫線上.因為內(nèi)能是一個狀態(tài)函數(shù)，所以有

又因為A′C過程沿絕熱線，則

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將式（8）和式（9）代入式（7）得

同樣，WA′C在數(shù)值上等于曲線A′C與橫軸所夾面積SA′C.

因此，欲判斷AC過程吸放熱情況，只需比較AC曲線和A′C曲線與橫軸所夾面積SAC和SA′C大小.

如果SAC＜SA′C，該過程放熱；如果SAC＞SA′C，該過程吸熱；如果SAC＝SA′C，就整體而言，該過程即不吸熱也不放熱.

這樣一來，就把熱力學吸放熱問題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域面積大小，因此只要知道了p－V圖上所需區(qū)域的面積，吸放熱情況就隨之確定下來.

值得說明的是，上述提到的判斷熱力學過程整體吸放熱的方法是一個通用方法，可以適用于任何熱力學過程.但對于一些比較特殊的熱力學曲線，我們還可以通過其他一些比較簡便的方法來判斷其吸放熱情況.

2.2 特殊的熱力學過程整體吸放熱情況判斷

（1）熱力學曲線在絕熱線一側(cè)體積膨脹時吸放熱的討論（以下推導均假設p（V）是V的單值函數(shù)）

我們過初始狀態(tài)點1做一條絕熱線，在絕熱線p0（V）上取一點2，使狀態(tài)2與要研究的末狀態(tài)3是等體關系，如圖8所示.

圖8 熱力學曲線在絕熱線一側(cè)體積膨脹時吸放熱的討論

理想氣體的內(nèi)能U是一個狀態(tài)量，內(nèi)能的變化只與初末狀態(tài)有關，與過程無關，即有下式

又根據(jù)公式

得到

對于絕熱過程有Q12＝0，又因為V2＝V3，所以式（13）可以寫為

Q13的符號取決于這兩項：

情況1：當曲線p（V）一直在曲線p0（V）上方，即p（V）－p0（V）恒大于零時，且點3不在點2的下方，可知Q23≥0，進而Q13＞0，該過程吸熱；

情況2：當曲線p（V）一直在曲線p0（V）下方，即p（V）－p0（V）恒小于零時，且點3不在點2的上方，可知Q23≤0，進而Q13＜0，該過程放熱.

所以，當熱力學曲線不穿過初始狀態(tài)的絕熱線時，可以從圖像上直接看出該過程吸放熱的情況.

（2）熱力學曲線末狀態(tài)在過初始狀態(tài)的等溫線上方的情況

當熱力學曲線穿過了過初始狀態(tài)的絕熱線時，根據(jù)情況（1）中的推導，該過程的吸放熱情況是無法根據(jù)上述方法（1）來確定的.但是，當熱力學曲線末狀態(tài)在過初始狀態(tài)的等溫線上方時，如圖9所示：

AE為過初始狀態(tài)點A的等溫線，末狀態(tài)點C在AE上方.由熱力學第一定律：

圖9 熱力學曲線末狀態(tài)在過初始狀態(tài)的等溫線上方

QAC＝ΔUAC＋WAC以及ΔUAC＞0和WAC＞0得QAC＞0，即該狀態(tài)吸熱.所以，即便所研究過程的熱力學曲線穿過了過初狀態(tài)的絕熱線，只要當末狀態(tài)在過初狀態(tài)的等溫線的上方時，該過程一定是吸熱的.

3 結(jié)語

經(jīng)過以上討論可以得出如下結(jié)論：任何一個熱力學準靜態(tài)過程，都可以通過研究其p－V圖像來判斷其吸放熱情況.

對熱力學曲線上任意一小段微元過程的研究，可按如下方式進行判斷：

從絕熱線上一點出發(fā)的無窮小微元過程，如果該微元過程曲線在絕熱線下方，那么該過程對外放熱；如果該過程曲線在絕熱線上方，那么該過程從外界吸熱.如果沿曲線前進的過程中曲線不斷穿過彼此平行的絕熱線，則吸放熱情況不變，當且僅當曲線與某條絕熱線相切時，吸放熱情況恰好在在切點處發(fā)生變化.

對于熱力學過程整體吸放熱的研究可通過借助圖像面積得到（見圖7）：設初始狀態(tài)A沿著曲線到末狀態(tài)C，過C點做絕熱線交過A點的等溫線于點A′，設AC曲線和A′C曲線與橫軸所夾面積分別為SAC和SA′C，當SAC＜SA′C，該過程放熱；當SAC＞SA′C該過程吸熱；當SAC＝SA′C，就整體而言，該過程既不吸熱也不放熱.

另外對于一些比較簡單的熱力學過程可直接看出其吸放熱情況.

［1］ 劉玉鑫.大學物理通用教程 熱學［M］.北京：北京大學出版社，2002：121－157.

［2］ 嚴子浚.判斷熱力過程吸熱與放熱的一種簡便方法［J］.物理與工程，2002（3）：16－18.

［3］ 秦允豪.普通物理學教程 熱學［M］.3版.北京：高等教育出版社，2011.