緊束縛近似在低維模型中的應(yīng)用

楊翠紅 王璐

［摘要］緊束縛近似是獲得能帶結(jié)構(gòu)的基本方法，在固體物理教學(xué)中占有重要的地位。但考慮復(fù)式格子或多帶系統(tǒng)時(shí)具體求解是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，對(duì)本科生的學(xué)習(xí)有一定難度。結(jié)合一維原子鏈這一簡單模型，由淺入深分析緊束縛近似的求解過程，并拓展至二維、三維情況進(jìn)行討論，深刻理解模型的實(shí)質(zhì)。

［關(guān)鍵詞］緊束縛近似一維原子鏈能帶

［中圖分類號(hào)］G642.0［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］2095-3437（2014）10-0161-02固體物理是大學(xué)物理學(xué)相關(guān)專業(yè)一門重要的專業(yè)必修課。固體物理是研究固體的結(jié)構(gòu)及微觀粒子之間相互作用與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以闡明其性能與用途的學(xué)科。目前，材料物理、半導(dǎo)體物理、新材料等新興交叉學(xué)科的學(xué)習(xí)也必須具備相關(guān)固體物理的理論基礎(chǔ)知識(shí)，固體物理的學(xué)習(xí)成為基礎(chǔ)理論與應(yīng)用學(xué)科之間的橋梁。在固體物理的學(xué)習(xí)中，對(duì)數(shù)學(xué)和物理的基礎(chǔ)要求相對(duì)較高，對(duì)教者和學(xué)者都提出了較高要求。表現(xiàn)之一：能帶論如何有效地掌握并加以應(yīng)用是一重點(diǎn)內(nèi)容。眾所周知，能帶理論是理解和解釋晶格振動(dòng)、電導(dǎo)率、吸收譜等物理性質(zhì)的重要方法。但如何較好地掌握能帶計(jì)算方法對(duì)本科生而言需要加強(qiáng)，本文從學(xué)生所熟悉的一維原子鏈模型出發(fā)逐步地闡明緊束縛近似求價(jià)電子能帶的方法，旨在由淺入深地理清緊束縛近似下求解能帶的過程。另外，結(jié)合量子力學(xué)算符表示方法，將哈密頓量在緊束縛近似下采用算符形式在實(shí)空間中表示，并簡要給出求解思路，供學(xué)生比較學(xué)習(xí)。

一、一維單原子鏈中電子的能量

一維單原子鏈模型。電子的質(zhì)量為m，相鄰原子之間的距離為a，具體計(jì)算中簡化考慮原子最外層電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是非簡并且各向同性的情況，用φi（x）表示。

孤立原子核外單電子束縛態(tài)滿足的本征值方程為：H0φi（x-am）=［-■■+V（x-am）］ φi（x-am）=εiφi（x-am）（1）

其中：V（x-am）代表孤立原子am=ma格點(diǎn)的電子在x處的勢場，εi、φi（x-am）是價(jià)電子第i個(gè)束縛態(tài)的能級(jí)和波函數(shù)。

孤立原子結(jié)合成晶體后，勢函數(shù)由V（x）過渡到晶體的周期性勢場U（x），是各格點(diǎn)所有原子的勢場之和，哈密頓量H0過渡到H，為了求解晶體中電子的狀態(tài)波函數(shù)，晶體的本征值方程稍做變形：HΨ（x）=（H0+H′）Ψ（x）=EΨ（x）（2）

H′=U（x）-V（x）看成微擾作用。晶體中的電子狀態(tài)采用原子軌道線性組合 （LCAO）方法，晶體中電子的波函數(shù)為

Ψk（x）=■■e ■ φi（x-am） （3）

代入薛定諤方程（2）即可，具體求解能量和波函數(shù)時(shí)，考慮當(dāng)原子間距比原子半徑大時(shí)，不同格點(diǎn)的φi（x-am）重疊很小，波函數(shù)滿足正交歸一性。通過簡單計(jì)算得到能量為

E=εi-■J（■■）e■（4）

其中：-J（as）代表相互作用能的微擾貢獻(xiàn)［1，2］。當(dāng)最完全的重疊，在位能用J0表示；只考慮到最近鄰相互作用時(shí)，包含左右兩個(gè)最近鄰，則一維單原子鏈模型中核外電子的能量為

E（k）=εi-J0-2J（a）cos（ka）（5）

可見由于孤立原子結(jié)合成晶體后，電子受到其它原子對(duì)其的作用，孤立原子的核外電子能級(jí)過渡到晶體中的能帶，展寬2J（a）cos（ka），此部分的能量與波矢k滿足余弦函數(shù)的關(guān)系，大小取決于微擾哈密頓量的平均值J（a）。這一結(jié)論可使學(xué)生理解從單一原子能級(jí)到晶體能帶的轉(zhuǎn)變過程。

上述模型采用緊束縛近似方法計(jì)算能譜，可進(jìn)一步拓展用其它方法表示。結(jié)合量子力學(xué)中算符的表示形式，上述模型在實(shí)空間中只考慮最近鄰相互作用在緊束縛近似下，電子的哈密頓量：

H=t0■a■■ai-J（a）■（a■■ai+1+h·c） （6）

其中a■■，ai分別表示電子在i格點(diǎn)的產(chǎn)生湮滅算符，t0和J（a）分別為電子的在位能和最近鄰跳躍能，h·c代表共厄項(xiàng)，一維單原子鏈采用玻恩－卡門邊界條件，具有晶格的周期性，對(duì)算符做傅立葉變換，可得

H=■［t0-2J（a）cos（ka）］ a■■ak（7）

其能譜項(xiàng)與上面的解析表示式（5）一致。以上過程的具體處理使學(xué)生通過簡單模型了解量子力學(xué)二次量子化的處理方法。另外還應(yīng)明確處理具有周期性的物理量常常變換到倒空間來處理具體問題，相應(yīng)地系統(tǒng)特征量（如費(fèi)米能量、態(tài)密度等）都習(xí)慣在k空間來表示。

二、一維復(fù)式雙原子鏈中電子的能量

一維復(fù)式雙原子鏈模型：電子的質(zhì)量分別為mA、mB，相鄰原子之間的距離仍用a表示，相鄰原胞之間的距離為2a，此時(shí)每個(gè)原胞中有兩個(gè)不等價(jià)的原子，相比之前一維單原子鏈模型，由簡單晶格變?yōu)閺?fù)式晶格，自由度發(fā)生變化，描述方式也相應(yīng)的有所變化，此模型是復(fù)式晶格最簡單的代表，為其它復(fù)雜復(fù)式晶格采用緊束縛近似方法求解能帶提供基本求解過程。具體計(jì)算中仍簡化考慮孤立原子最外層電子狀態(tài)非簡并的情形。晶體中A、B兩類原子分別組成Bloch波函數(shù)，總的波函數(shù)為這兩個(gè)Bloch和的線性組合Ψk（x）=cAΨk,A（x）+cBΨk,B（x）（8）

求解晶體中的本征值方程，左乘波函數(shù)的復(fù)共軛并對(duì)全空間積分，同樣考慮不同格點(diǎn)的波函數(shù)重疊很小，只包含最近鄰相互作用，A（B）原子的最近鄰是B（A）原子，得到兩個(gè)方程：

［HAA（k）-E］cA+HAB（k）cB=0HBA（k）cA+［HBB（k）-E］cB=0 （9）

其中：Hσσ（k）≈εσ，εσ代表孤立A、B原子的原子能級(jí)，且只考慮最近鄰原子間的相互作用HA,B（k）≈-J12cos（ka）求解上式久期方程給出電子能譜

E±（k）=■（10）

可見，一維雙原子鏈一個(gè)原胞中含有兩類不等價(jià)原子，有兩個(gè)自由度，對(duì)應(yīng)著兩支能譜。當(dāng)A、B兩原子等價(jià)，能帶過渡到第一種單原子鏈的情形。

三、分析討論

在以上兩個(gè)模型的基礎(chǔ)上可進(jìn)一步推廣到更一般的情形。如正六邊形原胞，一個(gè)原胞中也有兩類不等價(jià)原子A、B，這個(gè)結(jié)構(gòu)就是目前凝聚態(tài)物理前沿的一個(gè)研究熱點(diǎn)，石墨烯（graphene）材料。這類結(jié)構(gòu)采用緊束縛近似求解能帶過程與一維雙原子鏈類似，主要的區(qū)別就是最近鄰的原子排列以及最近鄰原子數(shù)目。對(duì)石墨烯而言：A（B）原子有3個(gè)最近鄰的B（A）原子，同時(shí)如果進(jìn)一步考慮次近鄰相互作用，次近鄰的原子的排列也因具體結(jié)構(gòu)而異。對(duì)石墨烯采用緊束縛近似具體求解色散關(guān)系參見文獻(xiàn)[3]。另有必要提一點(diǎn)，石墨烯因其結(jié)構(gòu)簡單，物性特殊，在固體物理的教學(xué)中可多方面與基礎(chǔ)知識(shí)相聯(lián)系引入介紹，使學(xué)生了解學(xué)科前沿，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。在此基礎(chǔ)上還可進(jìn)一步考慮最外層載流子的狀態(tài)數(shù)m個(gè)，以及一個(gè)原胞中不等價(jià)的原胞個(gè)數(shù)n個(gè)，一共有mn個(gè)自由度，以及考慮能帶交疊等相對(duì)復(fù)雜的具體情況。

本文從學(xué)生相對(duì)熟悉的一維單、雙原子模型出發(fā)，采用緊束縛模型考慮孤立原子結(jié)合成晶體后核外價(jià)電子的能譜結(jié)構(gòu)。對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，拓展到更復(fù)雜的情形加以闡明。通過具體例子，由淺入深地介紹可以幫助學(xué)生牢固掌握緊束縛近似方法求能帶的基本過程，做到學(xué)懂會(huì)用；通過對(duì)能帶深刻的認(rèn)識(shí)和理解，為后續(xù)進(jìn)一步從能帶圖上分析電學(xué)性質(zhì)將打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［參考文獻(xiàn)］

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［責(zé)任編輯：左蕓］