配方法在數學中的應用

蔡興元

【摘要】配方法是高中數學的重要思想方法之一，也是高考?？嫉膬热荩渑浞叫问届`活多樣，解題時要對題目進行分析，合理地恒等變形使問題化難為易。

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）02-0074-01

將一個式子（包括有理式和超越式）或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法。這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一。

一、配方法的一般步驟

1.化1；2.移項；3.配方；4.求解。關鍵是在方程兩邊同時添加的常數項等于一次項系數一半的平方。

二、配方法的具體應用

1.解一元二次方程：用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的步驟是：①把原方程化成x2+px+q=0的形式；②移項整理得：x2+px=-q；③在方程x2+px=-q的兩邊同時加上一次項系數p的一半的平方得x2+px+（■）■=-q+（■）■；④用直接開方法解方程（x+■）■=■-q即可。

【例】解方程：2x2+4x-6=0

解： 原方程兩邊同時除以2得：x2+2x-3=0

移項得：x2+2x=3

方程左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方得：

x2+2x+12=3+12

（x+1）2=4

直接開平方得：（x+1）=2或（x+1）=-2

解得：x1=1, x2= -3

2.求最值

【例】已知實數x,y滿足x2+3x+y-3=0，則x+y的最大值為____。

分析：將y用含x的式子來表示，再代入(x+y)求值。

解：x2+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x2，

代入(x+y)得x+y=3-2x-x2=-(x2+2x-3)=-[(x+1)2-4]=4-(x+1)2。

由于(x+1)2≥0,故4-(x+1)2≤4，故推測(x+y)的最大值為4，此時x，y有解，故(x+y)的最大值為4。

3.證明非負性

【例】證明：a2+2b+b2-2c+c2-6a+11≥0

解：a2+2b+b2-2c+c2-6a+11=(a+3)2+(b+1)2+(c+1)2，結論顯然成立。

4.用配方法化簡二次根式

對于形如■的二次根式常?？梢岳门浞椒▉砘?，因為只要適當變形?？墒筧±2■成為一個完全平方式。去掉根號時一定要注意■表示的是算術根，防止出錯。

【例】化簡：■。

分析：為了將■變形成a2+b2-2ab的形式可以先將8■分解：

8■=2■=2■·■=（■-■）■， 而19=3+16=（■）■+（■）■，

∴■=（■）■+（■）■-2■·■，將這個式子作為被開方數，就可以化簡了。

解：原式=■=■=4-■

5.用配方法證明等式

因任意一個數的平方一定是非負數，利用這個性質，通過配方可以證明某些等式。

【例】若a、b、c為實數，且a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，求證：a=b=c。

證明一：由已知等式兩邊同乘以2得，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0?圯（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ca+a2）=0?圯（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，而：（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，當且僅當（a-b）2=（b-c）2=（c-a）2=0取到等號，即：a=b=c。

6.用配方法分解因式

【例】分解因式：x2-120x+3456。

分析：由于常數項數值較大，如果運用十字相乘法，勢必要實驗多次，因此宜采用配方法。

解：原式=（x2-120x+3600）2+（3456-3600）=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）。

7.比較大小

【例】比較代數式2x2+6x+8與x2+8x的大小。

解：∵（2x2+6x+8）-（x2+8x）=x2-2x+8=（x2-2x+1）+7＞0，

∴2x2+6x+8＞x2+8x。

8.判斷三角形現狀

【例】在△ABC中，三邊a,b,c滿足：a+b+c=■，a2+b2+c2=■，試判斷△ABC的形狀。

分析：由題設可將a+b+c平方，從而得到a2+b2+c2。

解：∵a+b+c=■?圯a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=■，

又∵a2+b2+c2=■，

∴ab+bc+ca=■-■÷2=■， ∴a2+b2+c2=ab+bc+ca，整理配方得：（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?圯a=b=c，即△ABC是等邊三角形。

……

三、配方法在配方中的技巧

對于任意的a、b（這里的a、b可以代指任意一個式子，即包括超越式和代數式），都有a+b=■+■-■a+b=■+■-2■，

（一般情況下，前一個公式最好用于對x±y配方，后一個公式最好用于對x±ax進行配方）

對于任意的a、b、c，都有a+b+c=■+■+■2-2■-2■-2■

（一般情況下，這個公式最好用于對x+y+z進行配方）

配方時，只需要明確要進行配方兩項或三項，再套用上述公式即可。

四、用配方法的注意事項和可能出現的問題

配方的對象是含有未知數的二次三項式，其理論依據是完全平方式，配方的方法是通過添項：加上一次項系數一半的平方構成完全平方式，對學生來說，要理解和掌握它，確實感到困難，因此在教學過程中學生可能出現以下幾個問題：

1.在利用添項來使等式左邊配成一個完全平方公式時，等式的右邊忘了加。

2.在開平方這一步驟中，學生要么只有正、沒有負的，要么右邊忘了開方。

3.當一元二次方程有二次項的系數不為1時，在添項這一步驟時，沒有將系數化為1，就直接加上一次項系數一半的平方。

數學方法的學習是一個永無止境的過程，只要在數學學習的過程中善于總結，挖掘題目中的一些規律，很多數學問題都可以迎刃而解。