巧用平均數(shù)求解物理問題

摘要：要做好物理教學(xué)工作，必須關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)赝诰驅(qū)W生的數(shù)學(xué)知識(shí)并指導(dǎo)學(xué)生在物理問題中的應(yīng)用是物理教師的一種必備素質(zhì)。結(jié)合高中物理與數(shù)學(xué)的實(shí)際，通過巧用平均數(shù)求解物理問題，來說明物理教學(xué)如何恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，為物理教學(xué)服務(wù)。

關(guān)鍵詞：平均數(shù)；物理；數(shù)學(xué)；圖象；知識(shí)遷移

中圖分類號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0099-02

物理教學(xué)中的概念教學(xué)、物理規(guī)律教學(xué)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理都必須以數(shù)學(xué)作為工具，學(xué)生數(shù)學(xué)水平如何，可以說直接關(guān)系到物理教學(xué)的成敗。物理教學(xué)中最重要的是物理概念和物理規(guī)律的教學(xué)，物理教學(xué)中，大多數(shù)概念和所有的物理規(guī)律必須用數(shù)學(xué)語言來描述。由于數(shù)學(xué)和物理有密切的關(guān)系，所以，指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確而恰當(dāng)?shù)卦谖锢碇惺褂脭?shù)學(xué)知識(shí)，是提高物理教學(xué)的方法之一，下面平均數(shù)在求解物理問題中的應(yīng)用來說明：

數(shù)學(xué)中，因?yàn)椋╝-b）2=a2-2ab+b2且（a-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab。這樣自然得到，如果a≥0，b≥0則■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，■稱為算術(shù)平均數(shù)，■稱為幾何平均數(shù)，所以■≥■的含義是兩個(gè)不小于“0”的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)。由于■≥■，所以當(dāng)a+b為定值S（即a+b=S）時(shí)，ab≤■，即兩個(gè)不小于“0”的數(shù)的和為定值時(shí)這兩個(gè)數(shù)的積有最大值且僅當(dāng)a=b時(shí)有最大值。且積的最大值為abmax=■[2]同樣道理，當(dāng)ab為定值S時(shí)，因?yàn)閍+b≥2■，即a+b≥2■，即兩個(gè)不小于“0”的數(shù)積為定值時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的和有最小值且僅當(dāng)a=b時(shí)有最小值。最小值為（a+b）min=2■以上的數(shù)學(xué)結(jié)論在物理中有重要意義，正確應(yīng)用上述結(jié)論不但可使物理上的計(jì)算簡(jiǎn)便，而且對(duì)正確理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問題有重要意義。通過用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題，對(duì)培養(yǎng)知識(shí)的遷移能力有重要意義。下面舉幾個(gè)具體的例子加以說明。例1：某金屬帶電荷10-8庫(kù)，一與地隔緣的金屬球，與之相接觸，然后移開到相距1米的距離，問兩金屬球之間的庫(kù)侖力最大為多少牛頓？解：已知r=1米，Q1+Q2=10-8庫(kù)，求Fmax。根據(jù)庫(kù)侖定律F=k■[3]且Q1+Q2=10-8（定值），Q1≥0，Q2≥0，F(xiàn)=k■≤■■，代入k、r值，F(xiàn)max=■×■牛=■×10-7牛。答：兩金屬球之間的庫(kù)侖力最大為■×10-7牛頓.例2：如圖所示，斜坡長(zhǎng)為S，斜坡高與斜坡長(zhǎng)的比為■，在坡頂以V0的水平速度拋出一物體，剛好落在坡底，問物體在做平拋運(yùn)動(dòng)過程中與斜面的高度最大值是多少？解：設(shè)斜坡長(zhǎng)為S，高為h，s′為出發(fā)點(diǎn)到斜坡底的水平距離，根據(jù)物體在做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)有h=■gt2，s′=V0 t，s′=ctgθ×h所以V0=ctgθ■

在物體做平拋運(yùn)動(dòng)的任一時(shí)刻：h2=V0 t×tg θ-■g t2= ctgθ×■×t×tgθ-■g t2=t[■-■gt]=■[■gt（■-■gt）]≤■×■=■。在這個(gè)問題的處理中，得到t[■-■gt]的表達(dá)式后，即轉(zhuǎn)化為求表達(dá)式t[■-■gt]的最大值的問題，顯然t和■-■gt的和并非是一個(gè)定值，所以將t乘以■g，■gt+（■-■gt）=■就是一個(gè)與變量t無關(guān)的定值。因?yàn)椤鰐-■gt2≥0，所以■-■gt≥0且■gt≥0.所以■gt（■-■gt）≤■=■=，所以■[■gt（■-■gt）]≤■×■=■

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，物理教學(xué)中恰當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)能力是十分有益的[4]，通過這種培養(yǎng)，學(xué)生不但學(xué)好了物理，同時(shí)鞏固和應(yīng)用了數(shù)學(xué)，這正符合知識(shí)整合的教改思想[5，6]，在新課標(biāo)中是教師教學(xué)設(shè)計(jì)中必不可少的程序，也是學(xué)生必備的技能。

參考文獻(xiàn)：

[1]閻金鐸.中學(xué)物理教學(xué)概論.高等教育出版社，2003年版.

[2]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室《數(shù)學(xué)》.人民教育社出版社，2004年版。

[3]人民教育出版社中學(xué)物理室《物理》.人民教育社出版社，2005年版。

[4]皮連生.現(xiàn)代教學(xué)設(shè)計(jì).首都師范大學(xué)出版社，2005年版.

[5]王東云，楊光弟，黃銻儒.大學(xué)物理教學(xué)的學(xué)科滲透[J].高師理科學(xué)刊，2009，29（4）：91-92.

[6]楊光弟.通過學(xué)科整合提高學(xué)生能力[J].高師理科學(xué)刊，2008，28（2）：3l.

作者簡(jiǎn)介：張榮登（1966-），男，漢族，學(xué)歷：大學(xué)本科，畢業(yè)于云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，現(xiàn)從事教學(xué)與管理工作。endprint

摘要：要做好物理教學(xué)工作，必須關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)赝诰驅(qū)W生的數(shù)學(xué)知識(shí)并指導(dǎo)學(xué)生在物理問題中的應(yīng)用是物理教師的一種必備素質(zhì)。結(jié)合高中物理與數(shù)學(xué)的實(shí)際，通過巧用平均數(shù)求解物理問題，來說明物理教學(xué)如何恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，為物理教學(xué)服務(wù)。

關(guān)鍵詞：平均數(shù)；物理；數(shù)學(xué)；圖象；知識(shí)遷移

中圖分類號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0099-02

物理教學(xué)中的概念教學(xué)、物理規(guī)律教學(xué)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理都必須以數(shù)學(xué)作為工具，學(xué)生數(shù)學(xué)水平如何，可以說直接關(guān)系到物理教學(xué)的成敗。物理教學(xué)中最重要的是物理概念和物理規(guī)律的教學(xué)，物理教學(xué)中，大多數(shù)概念和所有的物理規(guī)律必須用數(shù)學(xué)語言來描述。由于數(shù)學(xué)和物理有密切的關(guān)系，所以，指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確而恰當(dāng)?shù)卦谖锢碇惺褂脭?shù)學(xué)知識(shí)，是提高物理教學(xué)的方法之一，下面平均數(shù)在求解物理問題中的應(yīng)用來說明：

數(shù)學(xué)中，因?yàn)椋╝-b）2=a2-2ab+b2且（a-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab。這樣自然得到，如果a≥0，b≥0則■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，■稱為算術(shù)平均數(shù)，■稱為幾何平均數(shù)，所以■≥■的含義是兩個(gè)不小于“0”的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)。由于■≥■，所以當(dāng)a+b為定值S（即a+b=S）時(shí)，ab≤■，即兩個(gè)不小于“0”的數(shù)的和為定值時(shí)這兩個(gè)數(shù)的積有最大值且僅當(dāng)a=b時(shí)有最大值。且積的最大值為abmax=■[2]同樣道理，當(dāng)ab為定值S時(shí)，因?yàn)閍+b≥2■，即a+b≥2■，即兩個(gè)不小于“0”的數(shù)積為定值時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的和有最小值且僅當(dāng)a=b時(shí)有最小值。最小值為（a+b）min=2■以上的數(shù)學(xué)結(jié)論在物理中有重要意義，正確應(yīng)用上述結(jié)論不但可使物理上的計(jì)算簡(jiǎn)便，而且對(duì)正確理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問題有重要意義。通過用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題，對(duì)培養(yǎng)知識(shí)的遷移能力有重要意義。下面舉幾個(gè)具體的例子加以說明。例1：某金屬帶電荷10-8庫(kù)，一與地隔緣的金屬球，與之相接觸，然后移開到相距1米的距離，問兩金屬球之間的庫(kù)侖力最大為多少牛頓？解：已知r=1米，Q1+Q2=10-8庫(kù)，求Fmax。根據(jù)庫(kù)侖定律F=k■[3]且Q1+Q2=10-8（定值），Q1≥0，Q2≥0，F(xiàn)=k■≤■■，代入k、r值，F(xiàn)max=■×■牛=■×10-7牛。答：兩金屬球之間的庫(kù)侖力最大為■×10-7牛頓.例2：如圖所示，斜坡長(zhǎng)為S，斜坡高與斜坡長(zhǎng)的比為■，在坡頂以V0的水平速度拋出一物體，剛好落在坡底，問物體在做平拋運(yùn)動(dòng)過程中與斜面的高度最大值是多少？解：設(shè)斜坡長(zhǎng)為S，高為h，s′為出發(fā)點(diǎn)到斜坡底的水平距離，根據(jù)物體在做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)有h=■gt2，s′=V0 t，s′=ctgθ×h所以V0=ctgθ■

在物體做平拋運(yùn)動(dòng)的任一時(shí)刻：h2=V0 t×tg θ-■g t2= ctgθ×■×t×tgθ-■g t2=t[■-■gt]=■[■gt（■-■gt）]≤■×■=■。在這個(gè)問題的處理中，得到t[■-■gt]的表達(dá)式后，即轉(zhuǎn)化為求表達(dá)式t[■-■gt]的最大值的問題，顯然t和■-■gt的和并非是一個(gè)定值，所以將t乘以■g，■gt+（■-■gt）=■就是一個(gè)與變量t無關(guān)的定值。因?yàn)椤鰐-■gt2≥0，所以■-■gt≥0且■gt≥0.所以■gt（■-■gt）≤■=■=，所以■[■gt（■-■gt）]≤■×■=■

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，物理教學(xué)中恰當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)能力是十分有益的[4]，通過這種培養(yǎng)，學(xué)生不但學(xué)好了物理，同時(shí)鞏固和應(yīng)用了數(shù)學(xué)，這正符合知識(shí)整合的教改思想[5，6]，在新課標(biāo)中是教師教學(xué)設(shè)計(jì)中必不可少的程序，也是學(xué)生必備的技能。

參考文獻(xiàn)：

[1]閻金鐸.中學(xué)物理教學(xué)概論.高等教育出版社，2003年版.

[2]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室《數(shù)學(xué)》.人民教育社出版社，2004年版。

[3]人民教育出版社中學(xué)物理室《物理》.人民教育社出版社，2005年版。

[4]皮連生.現(xiàn)代教學(xué)設(shè)計(jì).首都師范大學(xué)出版社，2005年版.

[5]王東云，楊光弟，黃銻儒.大學(xué)物理教學(xué)的學(xué)科滲透[J].高師理科學(xué)刊，2009，29（4）：91-92.

[6]楊光弟.通過學(xué)科整合提高學(xué)生能力[J].高師理科學(xué)刊，2008，28（2）：3l.

作者簡(jiǎn)介：張榮登（1966-），男，漢族，學(xué)歷：大學(xué)本科，畢業(yè)于云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，現(xiàn)從事教學(xué)與管理工作。endprint

摘要：要做好物理教學(xué)工作，必須關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)赝诰驅(qū)W生的數(shù)學(xué)知識(shí)并指導(dǎo)學(xué)生在物理問題中的應(yīng)用是物理教師的一種必備素質(zhì)。結(jié)合高中物理與數(shù)學(xué)的實(shí)際，通過巧用平均數(shù)求解物理問題，來說明物理教學(xué)如何恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，為物理教學(xué)服務(wù)。

關(guān)鍵詞：平均數(shù)；物理；數(shù)學(xué)；圖象；知識(shí)遷移

中圖分類號(hào)：G623 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）22-0099-02

物理教學(xué)中的概念教學(xué)、物理規(guī)律教學(xué)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理都必須以數(shù)學(xué)作為工具，學(xué)生數(shù)學(xué)水平如何，可以說直接關(guān)系到物理教學(xué)的成敗。物理教學(xué)中最重要的是物理概念和物理規(guī)律的教學(xué)，物理教學(xué)中，大多數(shù)概念和所有的物理規(guī)律必須用數(shù)學(xué)語言來描述。由于數(shù)學(xué)和物理有密切的關(guān)系，所以，指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確而恰當(dāng)?shù)卦谖锢碇惺褂脭?shù)學(xué)知識(shí)，是提高物理教學(xué)的方法之一，下面平均數(shù)在求解物理問題中的應(yīng)用來說明：

數(shù)學(xué)中，因?yàn)椋╝-b）2=a2-2ab+b2且（a-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab。這樣自然得到，如果a≥0，b≥0則■≥■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，■稱為算術(shù)平均數(shù)，■稱為幾何平均數(shù)，所以■≥■的含義是兩個(gè)不小于“0”的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）這兩個(gè)數(shù)的幾何平均數(shù)。由于■≥■，所以當(dāng)a+b為定值S（即a+b=S）時(shí)，ab≤■，即兩個(gè)不小于“0”的數(shù)的和為定值時(shí)這兩個(gè)數(shù)的積有最大值且僅當(dāng)a=b時(shí)有最大值。且積的最大值為abmax=■[2]同樣道理，當(dāng)ab為定值S時(shí)，因?yàn)閍+b≥2■，即a+b≥2■，即兩個(gè)不小于“0”的數(shù)積為定值時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的和有最小值且僅當(dāng)a=b時(shí)有最小值。最小值為（a+b）min=2■以上的數(shù)學(xué)結(jié)論在物理中有重要意義，正確應(yīng)用上述結(jié)論不但可使物理上的計(jì)算簡(jiǎn)便，而且對(duì)正確理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決具體問題有重要意義。通過用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題，對(duì)培養(yǎng)知識(shí)的遷移能力有重要意義。下面舉幾個(gè)具體的例子加以說明。例1：某金屬帶電荷10-8庫(kù)，一與地隔緣的金屬球，與之相接觸，然后移開到相距1米的距離，問兩金屬球之間的庫(kù)侖力最大為多少牛頓？解：已知r=1米，Q1+Q2=10-8庫(kù)，求Fmax。根據(jù)庫(kù)侖定律F=k■[3]且Q1+Q2=10-8（定值），Q1≥0，Q2≥0，F(xiàn)=k■≤■■，代入k、r值，F(xiàn)max=■×■牛=■×10-7牛。答：兩金屬球之間的庫(kù)侖力最大為■×10-7牛頓.例2：如圖所示，斜坡長(zhǎng)為S，斜坡高與斜坡長(zhǎng)的比為■，在坡頂以V0的水平速度拋出一物體，剛好落在坡底，問物體在做平拋運(yùn)動(dòng)過程中與斜面的高度最大值是多少？解：設(shè)斜坡長(zhǎng)為S，高為h，s′為出發(fā)點(diǎn)到斜坡底的水平距離，根據(jù)物體在做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)有h=■gt2，s′=V0 t，s′=ctgθ×h所以V0=ctgθ■

在物體做平拋運(yùn)動(dòng)的任一時(shí)刻：h2=V0 t×tg θ-■g t2= ctgθ×■×t×tgθ-■g t2=t[■-■gt]=■[■gt（■-■gt）]≤■×■=■。在這個(gè)問題的處理中，得到t[■-■gt]的表達(dá)式后，即轉(zhuǎn)化為求表達(dá)式t[■-■gt]的最大值的問題，顯然t和■-■gt的和并非是一個(gè)定值，所以將t乘以■g，■gt+（■-■gt）=■就是一個(gè)與變量t無關(guān)的定值。因?yàn)椤鰐-■gt2≥0，所以■-■gt≥0且■gt≥0.所以■gt（■-■gt）≤■=■=，所以■[■gt（■-■gt）]≤■×■=■

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，物理教學(xué)中恰當(dāng)?shù)刂笇?dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)能力是十分有益的[4]，通過這種培養(yǎng)，學(xué)生不但學(xué)好了物理，同時(shí)鞏固和應(yīng)用了數(shù)學(xué)，這正符合知識(shí)整合的教改思想[5，6]，在新課標(biāo)中是教師教學(xué)設(shè)計(jì)中必不可少的程序，也是學(xué)生必備的技能。

參考文獻(xiàn)：

[1]閻金鐸.中學(xué)物理教學(xué)概論.高等教育出版社，2003年版.

[2]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室《數(shù)學(xué)》.人民教育社出版社，2004年版。

[3]人民教育出版社中學(xué)物理室《物理》.人民教育社出版社，2005年版。

[4]皮連生.現(xiàn)代教學(xué)設(shè)計(jì).首都師范大學(xué)出版社，2005年版.

[5]王東云，楊光弟，黃銻儒.大學(xué)物理教學(xué)的學(xué)科滲透[J].高師理科學(xué)刊，2009，29（4）：91-92.

[6]楊光弟.通過學(xué)科整合提高學(xué)生能力[J].高師理科學(xué)刊，2008，28（2）：3l.

作者簡(jiǎn)介：張榮登（1966-），男，漢族，學(xué)歷：大學(xué)本科，畢業(yè)于云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，現(xiàn)從事教學(xué)與管理工作。endprint