從一道試題談開放題的有效解答

楊傳岡

【例題展示】

如果從這四種水果中選擇三種，搭配成一個售價是60元的果籃（不考慮籃子的價錢），可以怎樣選擇？分別寫出水果的名稱和數量（整千克）。

【數據鏈接】

這是四年級數學練習中的一道開放性習題，符合題意的答案不唯一。試題要求并不高，只要寫出一種可能即可，從答卷情況來看，學生的答案精彩紛呈。仔細對全年級所有學生的考卷進行梳理、統計后的結果令人振奮：全部12種答案學生均有涉及，充分展示了開放題教學實驗后，學生的思維品質明顯提升，思維的廣闊性得到有效的鍛煉。

【數據分析】

瑕不掩瑜，學生在不同算法的選擇上表現出較大差異。從思維的精確性看，四年級各班級之間的差距比較明顯，2班和4班均達到了100%，1班和3班整體情況較好，而5班僅64%，7班也僅為69？郾4%，6班為77？郾6%，由此可知不同班級開放題教學的實效性存在較大差距；從思維的廣闊性看，不同班級也表現了較大差距，其中7班出現了10種不同算法，4班出現了9種不同算法，6班僅出現了4種不同算法，3班出現了5種不同算法；1班出現了6種不同算法；從思維的獨特性看，差異表現更強烈，全年級選擇第一種方案的僅有1人，令人遺憾的是第一、二、三、四、十二等五種方案，1班、2班、3班、6班完成的學生人數均為0人，選擇第七、十、十一種方案的人數則分別達到了84人、50人、66人，由此亦能反映出學生創造性思維的培養任重道遠。（數據見附表）

【教學思考】

綜合上面的統計信息，結合個人日常對開放題教學的實踐及思考，筆者以為要幫助學生有效解答開放題，需要關注下面幾個維度。

一、問題情境要善于誘發直覺思維

數學開放題沒有固定的解題模式，需要學生深刻、主動地思考，從紛繁的信息中篩選有用條件，調動自己已形成的全部知識儲備來設計方案，通過不斷嘗試、探索、否定、重組、再試，直至捕獲直覺念頭。小學生囿于年齡的限制，其思維更傾向于形象思維，故開放題的情境設置須有助于誘發學生的直覺思維，幫助學生激活特定的認知結構，從而有效實現問題的解決。

題中橙子的有關信息是“4千克28元”，其余水果都是單價。題目要求由三種水果組成水果籃，這種條件呈現方式從某種意義上來說，給了學生一種強烈的心理暗示。他們會主動尋求后三種水果價格之間的內在聯系，不難發現菠蘿和荔枝的單價和為20元，而哈密瓜的單價為5元，由此可輕易得到兩種不同的方案，即菠蘿和荔枝的數量均為1千克，哈密瓜的數量為8千克；菠蘿和荔枝的數量分別為2千克，哈密瓜的數量為4千克，這兩種方案完全是一種類型的兩個分支，相互聯系在一起，得其一就能知其二。學生的解答也恰如我們所預測的，給出上述解答的共有116人次，占全年級正確答案的41？郾34%。這也正如波利亞所說：“在你找到第一個蘑菇時，繼續觀察，也許就能發現一堆蘑菇?！?/p>

二、相關數據要有利于學生進行數據建模

數學開放題學習的重要目標之一就是要發展小學生的思維，提升思維品質，編制時要充分體現這一核心要義，重點關注問題內容所包含的對思維深度、廣度、嚴密性、靈活性與批判性的考量。四年級的學生形象思維有余而抽象思維較弱，在數據處理上常常受現有知識經驗的影響，更多地從四則運算著手。為了貼近學生實際、凸顯訓練重點，開放題要最大限度地降低題意的理解難度及相關數據的繁瑣程度，把著眼點聚焦于對學生思維變化的觀察，思維習慣的訓練及思維品質的提升上。

以本題為例，各種水果單價的數據都比較小，這就為學生數據建模提供寬松的外部環境。當學生明晰了橙子的單價為7元后，接下來要做的是從7、5、8、12這4個數中選擇3個，累加后和是60，從而引發4種建模趨向，即7、5、8；7、5、12；7、8、12；5、8、12（前文已討論過）。從學生答題的統計數據來看，“7、5、12”這組條件受到了同學們的青睞，方案二、四、七、八均是由此延伸而來，相應答題的學生人數為7、3、84、35人，合計占了全年級答對總數的45？郾75%。但值得注意的是學生對于“7、5、8”這組條件似乎有一些思維方面的障礙，延展出的解答方案一、三、五、六的人數僅分別為1、3、4、5人，總計僅占全年級答對總數的4？郾61%。特別是前三種水果的單價和為20元，每種各買3千克這種方案全年級僅有5人，學生對這一顯而易見的數學現實的漠視，其背后潛藏著的思維深層次原因到底是什么，值得我們進一步探討。

三、問題解決評價不能唯方案數量論

數學開放題解題思路的多樣化特征能最大限度地吸引學生的注意力，解題答案的不唯一能促進不同層次學生的個性化學習，特別是部分學困生也能從開放題的解決過程中獲得成功的喜悅，積累數學解題經驗，漸漸找回學好數學的信心。因此，在開放題教學的初級階段，教師要降低門檻，針對不同學生提出不同的問題解決要求，考查時明確只要得出一種正確結果就得滿分，最大限度地保護學生學習開放題的熱情和興趣。經過一段時間的系統學習與訓練，再逐漸加大對問題答案呈現數量的要求。

本題中，考慮四年級學生才開始系統學習數學開放題，并且試題沒有明確問題的答案數量，只要寫出一種正確答案就能得滿分。經過梳理，學生共給出了281人次的正確答案，占總人數的80？郾29%，僅有5名學生主動給出了兩種以上的答案，這也說明小學生在沒有明確要求時主動呈現多種答案的意識尚未清晰。

開放題講評時，教師要有針對性地引導不同層次的學生了解自己在解決開放題時的進步，鼓勵學生反思自己的解題歷程，聆聽他人與眾不同的見解，碰撞彼此的觀點，擦出智慧的火花，借此培養學生的自我評價能力，同時鼓勵更多學生能根據實際情況主動給出開放題的不同答案。

（作者單位：江蘇省鹽城市第二小學）