恒成立問題中的含參問題

陳娟

【摘要】高中階段所包含的恒成立題，與之有關(guān)的函數(shù)很多、解題方法中會用到轉(zhuǎn)化變量、引進(jìn)參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、借助關(guān)系式本身的幾何意義等方法，很好地體現(xiàn)出學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題方面的能力，拓寬了學(xué)生解題的思路。因此，這一類數(shù)學(xué)問題就成為了最近幾年高考出題的一個熱點。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 轉(zhuǎn)化變量 主元更換 數(shù)形結(jié)合

在目前高中階段含參不等式問題中，主要是求本題中參數(shù)的取值范圍進(jìn)而使原不等式恒成立，是高考中的一種常見題。

一、轉(zhuǎn)化變量，引進(jìn)參數(shù)

例1.若x∈R，x2log24（a+1）a+2xlog22aa+1+log2（a+1）24a2>0一定成立，求這道題中a的范圍。

解：因為log22aa+1的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)t=log22aa+1，則以上關(guān)系式就成為“當(dāng)t為那些值時，（3-t）x2+2tx-2t>0一定成立”。

這個問題就可以轉(zhuǎn)化成我們所非常熟知的函數(shù)的等價問題，求解關(guān)于t的不等式組：3-t>0

Δ=（2t）2+8t（3-t）<0 。解得：t<0，即有l(wèi)og22aa+1<0，易得0 二、借助題中函數(shù)值域，把參數(shù)分離出來

例2.已知一切角θ，sin2θ+2mcosθ+4m-1<0恒成立，求這道題中m的范圍。

解：將此式分離變量得m（2cosθ+4）0，則上述不等式就變?yōu)?m 2m必須小于f（θ）=cos2θcosθ+2的最小值，所以這道題必須求cos2θcosθ+2的最小值。因為f（θ）=cos2θcosθ+2

=（cosθ+2）2-4（cosθ+2）+4cosθ+2

=cosθ+2+4cosθ+2-4

≥4-4=0

即cosθ=0時，有最小值為0，故m<0。

三、主元更換，轉(zhuǎn)化解題思路

例3.已知0≤m≤1，方程x2+mx-2m-1=0有實數(shù)根，求這道題中實根的范圍。

解：根據(jù)已知方程，以m為主元，則m（x-2）=（1-x）2，

由原方程知x≠2，得m=1-x2x-2，又0≤m≤1，即0≤1-x2x-2≤1

解之得-1-132≤x≤-1或1≤x≤-1+132。

四、數(shù)形結(jié)合，一目了然

例4.若x∈（0，4]，則不等式x（4-x）>ax一定成立，試求本題中a的范圍。

解：若設(shè)y1=x（4-x），則（x-2）2+y21=4（y1≥0）為上半圓。

設(shè)y2=ax，為過原點，a為斜率的直線。

在同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出本題中2個函數(shù)圖象。

由所畫的圖可知，y1的函數(shù)值必須要比y2的函數(shù)值大，所以這道題中a的取值范圍是a<0。

五、合理推理，借助幾何意義

例5.不論k為何值，y=kx+1與x2+y2-2ax+a2-2a-4=0一定有交點，求這道題中a的范圍。

解：（x-a）2+y2=4+2a，C（a，0），當(dāng)a>-2時，則這條直線所過點A（0，1）一定在圓上或圓的內(nèi)部，即點A（0，1）到圓心的距離小于或者等于圓的半徑，即a2+1≤2a+4（a>-2），得-1≤a≤3。

六、分幾種情況討論，不重不漏

例6.若|m|≤2，2x-1>m（x2-1）總成立，求這道題中x的范圍。

解：由|m|≤2這個條件想到把參數(shù)m分離出來，這就需要對x2-1這個式子進(jìn)行分情況討論。

①當(dāng)x2-1>0時，使此式2x-1x2-1>m恒成立，則2x-1x2-1>2， 所以1 ②當(dāng)x2-1<0時，使此式2x-1x2-1 ③當(dāng)x2-1=0時，使此式2x-1>0恒成立，則x=1。

綜上①②③得-1+72 目前高中階段的數(shù)學(xué)中，含有參數(shù)的這一類不等式恒成立問題，這種題所含有的數(shù)學(xué)知識點特別多，解題方法也不唯一，但是這種題的核心就是進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，有了這種解題思想，做這類題就能以不變應(yīng)萬變，這就要求學(xué)生要通過做過的習(xí)題不斷的總結(jié)和反思領(lǐng)悟。