追及相遇問題的歸類分析

邱樹雄

追及相遇問題常涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，而且每個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律又不一樣，所以給學(xué)生審題和分析問題帶來很大的困惑，學(xué)生常把這里當(dāng)成一個(gè)難點(diǎn)，上新課的時(shí)候能聽懂，當(dāng)時(shí)也會(huì)做，往往到綜合考試時(shí)遇到此類問題，就無從下手，就成難題了.仔細(xì)分析其中的原因，筆者認(rèn)為是學(xué)生解決這類問題時(shí)，對(duì)應(yīng)物理知識(shí)很難被有效提取.而知識(shí)要能在解題時(shí)很快被有效提取，那就要注意，知識(shí)在構(gòu)成和存儲(chǔ)時(shí)要被真正的理解和有序存儲(chǔ).所以為了有序存儲(chǔ)解題方法，筆者把問題給歸類分析，以方便在需要時(shí)能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的實(shí)質(zhì)

討論兩個(gè)物體在同一時(shí)刻能否到達(dá)同一位置

2.追及相遇過程中的兩個(gè)關(guān)系

“同一時(shí)刻”涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系

“同一位置”涉及兩個(gè)物體的位移關(guān)系

3.分析追及相遇問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

是“速度相等”這一條件，它是追及相遇問題中兩物體相距距離最大或最小的臨界條件；也是分析能否追上的切入點(diǎn).

（這個(gè)條件將在具體問題的應(yīng)用過程中，再予以更好的說明.）

4.追及相遇問題的分類

（1） 一定能追上（比如：勻加速追勻速、勻速追勻減速）

（2） 不一定能追上（比如：勻速追勻加速、勻減速追勻速）

二、典例分析

例1（勻加速追勻速）

一輛汽車在十字路口等待綠燈.綠燈亮起時(shí)，它以3m/s2的加速度開始行駛，恰在此時(shí)，一輛自行車以6m/s的速度并肩行駛.試求：

（1）汽車追上自行車之前，經(jīng)過多長時(shí)間兩車之間的距離最大，最大距離是多少？

（2）汽車經(jīng)過多長時(shí)間追上自行車？追上時(shí)汽車的速度多大？

解析

（1）由于兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即汽車的速度為6m/s時(shí)，兩車間的距離最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在這段時(shí)間內(nèi)，自行車行駛的位移x1=vt1=12m

汽車行駛的距離x2=12at21=6m.

故兩車之間的最大距離Δx=x1-x2=6m.

（2）兩車位移相等時(shí)，汽車追上自行車，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上時(shí)，汽車的速度v′=at2=12m/s

點(diǎn)評(píng)首先判斷勻加速追勻速屬于一定能追上的情況，速度相等時(shí)兩者距離最大，追上時(shí)同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，根據(jù)時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系列方程求解即可.

例2（勻速追勻減速）

甲車在前以15m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9m/s的速度同向行駛，當(dāng)相距32m時(shí)，甲車以1m/S2的加速度剎車，問:

（1）經(jīng)過多長時(shí)間兩車間距離最大？最大值是多少？

（2）經(jīng)過多長時(shí)間乙車追趕上甲車？

解析（1）兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即甲車的速度為9m/s時(shí)，兩車間的距離最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即經(jīng)過6s兩車間距離最大.

此時(shí)甲車位移x1=15+92×6m=72m,乙車位移x2=9×6m=54m

所以，兩車距離最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)設(shè)甲車經(jīng)時(shí)間t1停下，則t1=0-15-1s=15s,甲車的位移x甲=112.5m;乙車的位移x乙=9×15m=135m.因?yàn)閤甲+32m>x乙,所以，在乙車追上之前，甲車已經(jīng)停止.

乙車追上甲車所需時(shí)間t=112.5+329s=16.06s.

點(diǎn)評(píng)勻速追勻減速也是一定能追上的情況，不管初始條件如何，兩者速度相等時(shí)距離最大；

但是這里有剎車問題要注意，前方做勻減速運(yùn)動(dòng)的車是否在被追上之前就已經(jīng)停下了.

例3勻速追勻加速：

一輛汽車從靜止開始以2m/s2的加速度勻加速啟動(dòng)，同時(shí)一乘客在車后10m處以4m/s的速度追車，問人能否追上車？若能追上求追上的時(shí)間；若追不上求人和車的最小距離.

解析當(dāng)汽車的速度v1=4m/s時(shí)，汽車行駛的時(shí)間t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因?yàn)閤1+10m>x2,所以人不能追上汽車.

此時(shí)人和車的距離也就是最小距離，所以最小距離Δx=6m.

點(diǎn)評(píng)這道例題屬于不一定能追上的問題，以速度相等為分析問題的切入點(diǎn)，如果速度相等時(shí)追不上就追不上了，因?yàn)樗俣认嗟葧r(shí)兩者間距離最小.如果把題目中10m改為4m，則恰好追上.如果把10m改為2m且人和車在兩條平行直線上運(yùn)動(dòng)，則它們會(huì)相遇兩次.

例4(勻減速追勻速)

汽車正以10m/s的速度在平直的公路上行駛，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s的速度做同向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，汽車立即剎車，剎車的加速度大小為6m/s2，汽車恰好不碰上自行車，求汽車剎車時(shí)離自行車多遠(yuǎn)？

解析恰好不碰上自行車，指的是汽車速度減速到與汽車速度相等時(shí)，汽車剛好追上自行車.即經(jīng)過t=

v-v0a=4-10-6s=1s的時(shí)間，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在這段時(shí)間內(nèi)，自行車的位移x2=vt=4m,所以汽車剎車時(shí)應(yīng)該離自行車距離Δx=x2-x1=3m.

點(diǎn)評(píng)這道例題仍然屬于不一定能追上的問題，由兩者速度相等時(shí)距離最小可知，恰好追不上的臨界點(diǎn)是二者速度相等時(shí)，恰好在同一位置，從而找到兩者的位移關(guān)系.

三、歸納總結(jié)

以上四個(gè)典型的例題包含了追及類問題的四個(gè)基本類型，通過分析知道，在解決這類問題之前，只要能夠判斷出問題是屬于一定能追上還是不一定能追上的情況，接下來的分析就有目的性了.第一類，一定能追上的情況，由于速度相等時(shí)兩物體間的距離最大，根據(jù)時(shí)間關(guān)系找兩者的位移關(guān)系即可.第二類，不一定能追上的情況，由于根據(jù)速度相等時(shí)兩者間的距離最小，根據(jù)時(shí)間關(guān)系找位移關(guān)系確定兩者速度相等時(shí)的位置關(guān)系，即可判斷是恰好追上還是追不上或者是可能相遇兩次的情況.

endprint

追及相遇問題常涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，而且每個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律又不一樣，所以給學(xué)生審題和分析問題帶來很大的困惑，學(xué)生常把這里當(dāng)成一個(gè)難點(diǎn)，上新課的時(shí)候能聽懂，當(dāng)時(shí)也會(huì)做，往往到綜合考試時(shí)遇到此類問題，就無從下手，就成難題了.仔細(xì)分析其中的原因，筆者認(rèn)為是學(xué)生解決這類問題時(shí)，對(duì)應(yīng)物理知識(shí)很難被有效提取.而知識(shí)要能在解題時(shí)很快被有效提取，那就要注意，知識(shí)在構(gòu)成和存儲(chǔ)時(shí)要被真正的理解和有序存儲(chǔ).所以為了有序存儲(chǔ)解題方法，筆者把問題給歸類分析，以方便在需要時(shí)能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的實(shí)質(zhì)

討論兩個(gè)物體在同一時(shí)刻能否到達(dá)同一位置

2.追及相遇過程中的兩個(gè)關(guān)系

“同一時(shí)刻”涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系

“同一位置”涉及兩個(gè)物體的位移關(guān)系

3.分析追及相遇問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

是“速度相等”這一條件，它是追及相遇問題中兩物體相距距離最大或最小的臨界條件；也是分析能否追上的切入點(diǎn).

（這個(gè)條件將在具體問題的應(yīng)用過程中，再予以更好的說明.）

4.追及相遇問題的分類

（1） 一定能追上（比如：勻加速追勻速、勻速追勻減速）

（2） 不一定能追上（比如：勻速追勻加速、勻減速追勻速）

二、典例分析

例1（勻加速追勻速）

一輛汽車在十字路口等待綠燈.綠燈亮起時(shí)，它以3m/s2的加速度開始行駛，恰在此時(shí)，一輛自行車以6m/s的速度并肩行駛.試求：

（1）汽車追上自行車之前，經(jīng)過多長時(shí)間兩車之間的距離最大，最大距離是多少？

（2）汽車經(jīng)過多長時(shí)間追上自行車？追上時(shí)汽車的速度多大？

解析

（1）由于兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即汽車的速度為6m/s時(shí)，兩車間的距離最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在這段時(shí)間內(nèi)，自行車行駛的位移x1=vt1=12m

汽車行駛的距離x2=12at21=6m.

故兩車之間的最大距離Δx=x1-x2=6m.

（2）兩車位移相等時(shí)，汽車追上自行車，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上時(shí)，汽車的速度v′=at2=12m/s

點(diǎn)評(píng)首先判斷勻加速追勻速屬于一定能追上的情況，速度相等時(shí)兩者距離最大，追上時(shí)同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，根據(jù)時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系列方程求解即可.

例2（勻速追勻減速）

甲車在前以15m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9m/s的速度同向行駛，當(dāng)相距32m時(shí)，甲車以1m/S2的加速度剎車，問:

（1）經(jīng)過多長時(shí)間兩車間距離最大？最大值是多少？

（2）經(jīng)過多長時(shí)間乙車追趕上甲車？

解析（1）兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即甲車的速度為9m/s時(shí)，兩車間的距離最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即經(jīng)過6s兩車間距離最大.

此時(shí)甲車位移x1=15+92×6m=72m,乙車位移x2=9×6m=54m

所以，兩車距離最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)設(shè)甲車經(jīng)時(shí)間t1停下，則t1=0-15-1s=15s,甲車的位移x甲=112.5m;乙車的位移x乙=9×15m=135m.因?yàn)閤甲+32m>x乙,所以，在乙車追上之前，甲車已經(jīng)停止.

乙車追上甲車所需時(shí)間t=112.5+329s=16.06s.

點(diǎn)評(píng)勻速追勻減速也是一定能追上的情況，不管初始條件如何，兩者速度相等時(shí)距離最大；

但是這里有剎車問題要注意，前方做勻減速運(yùn)動(dòng)的車是否在被追上之前就已經(jīng)停下了.

例3勻速追勻加速：

一輛汽車從靜止開始以2m/s2的加速度勻加速啟動(dòng)，同時(shí)一乘客在車后10m處以4m/s的速度追車，問人能否追上車？若能追上求追上的時(shí)間；若追不上求人和車的最小距離.

解析當(dāng)汽車的速度v1=4m/s時(shí)，汽車行駛的時(shí)間t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因?yàn)閤1+10m>x2,所以人不能追上汽車.

此時(shí)人和車的距離也就是最小距離，所以最小距離Δx=6m.

點(diǎn)評(píng)這道例題屬于不一定能追上的問題，以速度相等為分析問題的切入點(diǎn)，如果速度相等時(shí)追不上就追不上了，因?yàn)樗俣认嗟葧r(shí)兩者間距離最小.如果把題目中10m改為4m，則恰好追上.如果把10m改為2m且人和車在兩條平行直線上運(yùn)動(dòng)，則它們會(huì)相遇兩次.

例4(勻減速追勻速)

汽車正以10m/s的速度在平直的公路上行駛，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s的速度做同向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，汽車立即剎車，剎車的加速度大小為6m/s2，汽車恰好不碰上自行車，求汽車剎車時(shí)離自行車多遠(yuǎn)？

解析恰好不碰上自行車，指的是汽車速度減速到與汽車速度相等時(shí)，汽車剛好追上自行車.即經(jīng)過t=

v-v0a=4-10-6s=1s的時(shí)間，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在這段時(shí)間內(nèi)，自行車的位移x2=vt=4m,所以汽車剎車時(shí)應(yīng)該離自行車距離Δx=x2-x1=3m.

點(diǎn)評(píng)這道例題仍然屬于不一定能追上的問題，由兩者速度相等時(shí)距離最小可知，恰好追不上的臨界點(diǎn)是二者速度相等時(shí)，恰好在同一位置，從而找到兩者的位移關(guān)系.

三、歸納總結(jié)

以上四個(gè)典型的例題包含了追及類問題的四個(gè)基本類型，通過分析知道，在解決這類問題之前，只要能夠判斷出問題是屬于一定能追上還是不一定能追上的情況，接下來的分析就有目的性了.第一類，一定能追上的情況，由于速度相等時(shí)兩物體間的距離最大，根據(jù)時(shí)間關(guān)系找兩者的位移關(guān)系即可.第二類，不一定能追上的情況，由于根據(jù)速度相等時(shí)兩者間的距離最小，根據(jù)時(shí)間關(guān)系找位移關(guān)系確定兩者速度相等時(shí)的位置關(guān)系，即可判斷是恰好追上還是追不上或者是可能相遇兩次的情況.

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追及相遇問題常涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，而且每個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律又不一樣，所以給學(xué)生審題和分析問題帶來很大的困惑，學(xué)生常把這里當(dāng)成一個(gè)難點(diǎn)，上新課的時(shí)候能聽懂，當(dāng)時(shí)也會(huì)做，往往到綜合考試時(shí)遇到此類問題，就無從下手，就成難題了.仔細(xì)分析其中的原因，筆者認(rèn)為是學(xué)生解決這類問題時(shí)，對(duì)應(yīng)物理知識(shí)很難被有效提取.而知識(shí)要能在解題時(shí)很快被有效提取，那就要注意，知識(shí)在構(gòu)成和存儲(chǔ)時(shí)要被真正的理解和有序存儲(chǔ).所以為了有序存儲(chǔ)解題方法，筆者把問題給歸類分析，以方便在需要時(shí)能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的實(shí)質(zhì)

討論兩個(gè)物體在同一時(shí)刻能否到達(dá)同一位置

2.追及相遇過程中的兩個(gè)關(guān)系

“同一時(shí)刻”涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系

“同一位置”涉及兩個(gè)物體的位移關(guān)系

3.分析追及相遇問題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

是“速度相等”這一條件，它是追及相遇問題中兩物體相距距離最大或最小的臨界條件；也是分析能否追上的切入點(diǎn).

（這個(gè)條件將在具體問題的應(yīng)用過程中，再予以更好的說明.）

4.追及相遇問題的分類

（1） 一定能追上（比如：勻加速追勻速、勻速追勻減速）

（2） 不一定能追上（比如：勻速追勻加速、勻減速追勻速）

二、典例分析

例1（勻加速追勻速）

一輛汽車在十字路口等待綠燈.綠燈亮起時(shí)，它以3m/s2的加速度開始行駛，恰在此時(shí)，一輛自行車以6m/s的速度并肩行駛.試求：

（1）汽車追上自行車之前，經(jīng)過多長時(shí)間兩車之間的距離最大，最大距離是多少？

（2）汽車經(jīng)過多長時(shí)間追上自行車？追上時(shí)汽車的速度多大？

解析

（1）由于兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即汽車的速度為6m/s時(shí)，兩車間的距離最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在這段時(shí)間內(nèi)，自行車行駛的位移x1=vt1=12m

汽車行駛的距離x2=12at21=6m.

故兩車之間的最大距離Δx=x1-x2=6m.

（2）兩車位移相等時(shí)，汽車追上自行車，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上時(shí)，汽車的速度v′=at2=12m/s

點(diǎn)評(píng)首先判斷勻加速追勻速屬于一定能追上的情況，速度相等時(shí)兩者距離最大，追上時(shí)同一時(shí)刻到達(dá)同一位置，根據(jù)時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系列方程求解即可.

例2（勻速追勻減速）

甲車在前以15m/s的速度勻速行駛，乙車在后以9m/s的速度同向行駛，當(dāng)相距32m時(shí)，甲車以1m/S2的加速度剎車，問:

（1）經(jīng)過多長時(shí)間兩車間距離最大？最大值是多少？

（2）經(jīng)過多長時(shí)間乙車追趕上甲車？

解析（1）兩車速度相等時(shí)相距最遠(yuǎn)，即甲車的速度為9m/s時(shí)，兩車間的距離最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即經(jīng)過6s兩車間距離最大.

此時(shí)甲車位移x1=15+92×6m=72m,乙車位移x2=9×6m=54m

所以，兩車距離最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)設(shè)甲車經(jīng)時(shí)間t1停下，則t1=0-15-1s=15s,甲車的位移x甲=112.5m;乙車的位移x乙=9×15m=135m.因?yàn)閤甲+32m>x乙,所以，在乙車追上之前，甲車已經(jīng)停止.

乙車追上甲車所需時(shí)間t=112.5+329s=16.06s.

點(diǎn)評(píng)勻速追勻減速也是一定能追上的情況，不管初始條件如何，兩者速度相等時(shí)距離最大；

但是這里有剎車問題要注意，前方做勻減速運(yùn)動(dòng)的車是否在被追上之前就已經(jīng)停下了.

例3勻速追勻加速：

一輛汽車從靜止開始以2m/s2的加速度勻加速啟動(dòng)，同時(shí)一乘客在車后10m處以4m/s的速度追車，問人能否追上車？若能追上求追上的時(shí)間；若追不上求人和車的最小距離.

解析當(dāng)汽車的速度v1=4m/s時(shí)，汽車行駛的時(shí)間t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因?yàn)閤1+10m>x2,所以人不能追上汽車.

此時(shí)人和車的距離也就是最小距離，所以最小距離Δx=6m.

點(diǎn)評(píng)這道例題屬于不一定能追上的問題，以速度相等為分析問題的切入點(diǎn)，如果速度相等時(shí)追不上就追不上了，因?yàn)樗俣认嗟葧r(shí)兩者間距離最小.如果把題目中10m改為4m，則恰好追上.如果把10m改為2m且人和車在兩條平行直線上運(yùn)動(dòng)，則它們會(huì)相遇兩次.

例4(勻減速追勻速)

汽車正以10m/s的速度在平直的公路上行駛，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s的速度做同向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，汽車立即剎車，剎車的加速度大小為6m/s2，汽車恰好不碰上自行車，求汽車剎車時(shí)離自行車多遠(yuǎn)？

解析恰好不碰上自行車，指的是汽車速度減速到與汽車速度相等時(shí)，汽車剛好追上自行車.即經(jīng)過t=

v-v0a=4-10-6s=1s的時(shí)間，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在這段時(shí)間內(nèi)，自行車的位移x2=vt=4m,所以汽車剎車時(shí)應(yīng)該離自行車距離Δx=x2-x1=3m.

點(diǎn)評(píng)這道例題仍然屬于不一定能追上的問題，由兩者速度相等時(shí)距離最小可知，恰好追不上的臨界點(diǎn)是二者速度相等時(shí)，恰好在同一位置，從而找到兩者的位移關(guān)系.

三、歸納總結(jié)

以上四個(gè)典型的例題包含了追及類問題的四個(gè)基本類型，通過分析知道，在解決這類問題之前，只要能夠判斷出問題是屬于一定能追上還是不一定能追上的情況，接下來的分析就有目的性了.第一類，一定能追上的情況，由于速度相等時(shí)兩物體間的距離最大，根據(jù)時(shí)間關(guān)系找兩者的位移關(guān)系即可.第二類，不一定能追上的情況，由于根據(jù)速度相等時(shí)兩者間的距離最小，根據(jù)時(shí)間關(guān)系找位移關(guān)系確定兩者速度相等時(shí)的位置關(guān)系，即可判斷是恰好追上還是追不上或者是可能相遇兩次的情況.

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