探究圖解法在高中數學解題中的應用

孫志權

關于數學的解題方法有很多種，并且每一種的解題方法都有著自身的特點.在種類眾多的解題方法中，圖解法是應用最為廣泛的一種解題方法.按照所限定的條件，采用幾何直觀繪圖手法，借助對圖形有效的分析，將圖形所包含的內容利用文字數學的形式表現出來.圖解法的特點就是結合圖形的直觀形象，引導啟發學生的思路，以便獲取更加準確的答案.圖解法是數形結合在數學解題過程的集中性體現，由“形”中獲取“數”的方法.

一、目標函數和約束條件都是線性的

例1maxz=3x+y

s.t2x+3y≤24,

x-y≤7,

y≤6,x≥0,

y≥0.

在解題之前可以先作出可行域，如下圖陰影部位OABCD可以表示成在平面區域內可以作為可行域存在.直線l：3x+y=0

根據定理2中顯示，從O點到C點是形成的目標函數逐漸增大的發展方向，所在B點可以得出我們所需要的最值解，這時候B點處z=3x+y所得出的值將達到最大化.

解方程組x- y=7，

2x+3y=2≤4 這時候的B點坐標為（9，2）.所以Zmax=3×9+2=29.

所以由例子1我們可以得出利用線性規劃圖解法進行求解問題的步驟

建立一個完整的直角坐標系，根據相關的約束條件作出線性規劃問題中的可行域，在沒有可行域的情況下，問題是沒有解的.

畫出由O到C發展的方向，目標函數值增大的方向就能夠找到目標函數并取得最優解

通過對方程組求解，并將坐標代入取得最優值.

二、目標函數與約束條件的非線性發展

例2在滿足f（x）=ax2-c，-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍.

在解答這道問題時可進行優化問題，max（min）f（x）=ax2-c

- 4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

x=3

由f（x）ax2-c 可以知道-4≤a-c≤-1

-1≤4a- c≤ 5

將原來的問題進行充分的轉化成約束條件4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

求出f（3）=9a-c的取值范圍

我們可以做出可行域中的陰影部分，如下圖.

由上圖我們可以指導題目的最優解是A（0，1）和C（3，7）.

a=0，c=7這兩個條件代入9a-c得出結論-1≤9a-c≤20 也就是3x+4y.

三、圖解法的應用能夠使抽象的數學問題更加的具體，能夠更加直觀的表達，將復雜的問題轉化為簡易化

例3一個四面體的頂點與各棱中點共有10個點，在其中取四個不共面的點不同的取法

共有( )

A.150種B.147種

C.144種D.141種

如圖,在圖形的10個點中任意選取4個點作為解題使用，但是在結論中顯示要求這4個點不共面，所以在選取的4個點中排除共面的點就可以了.在圖形中可以顯示，四面體一共有四個面，在每個面中都有6個點，所以對共面的計算就可以采用4×C46，在6條棱中存在的6個中點可以組成4個點共面的3種情況.由圖我們可以得知，在每一條棱上都有三個不同的點，這三個不同的點與所在的棱的對棱的中點又共面，所以在這種情況下，6種四個點共面的情形，所以符合題意的解法是C410-4×C46-3-6=141.故本題的答案應該選（D）.

endprint

關于數學的解題方法有很多種，并且每一種的解題方法都有著自身的特點.在種類眾多的解題方法中，圖解法是應用最為廣泛的一種解題方法.按照所限定的條件，采用幾何直觀繪圖手法，借助對圖形有效的分析，將圖形所包含的內容利用文字數學的形式表現出來.圖解法的特點就是結合圖形的直觀形象，引導啟發學生的思路，以便獲取更加準確的答案.圖解法是數形結合在數學解題過程的集中性體現，由“形”中獲取“數”的方法.

一、目標函數和約束條件都是線性的

例1maxz=3x+y

s.t2x+3y≤24,

x-y≤7,

y≤6,x≥0,

y≥0.

在解題之前可以先作出可行域，如下圖陰影部位OABCD可以表示成在平面區域內可以作為可行域存在.直線l：3x+y=0

根據定理2中顯示，從O點到C點是形成的目標函數逐漸增大的發展方向，所在B點可以得出我們所需要的最值解，這時候B點處z=3x+y所得出的值將達到最大化.

解方程組x- y=7，

2x+3y=2≤4 這時候的B點坐標為（9，2）.所以Zmax=3×9+2=29.

所以由例子1我們可以得出利用線性規劃圖解法進行求解問題的步驟

建立一個完整的直角坐標系，根據相關的約束條件作出線性規劃問題中的可行域，在沒有可行域的情況下，問題是沒有解的.

畫出由O到C發展的方向，目標函數值增大的方向就能夠找到目標函數并取得最優解

通過對方程組求解，并將坐標代入取得最優值.

二、目標函數與約束條件的非線性發展

例2在滿足f（x）=ax2-c，-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍.

在解答這道問題時可進行優化問題，max（min）f（x）=ax2-c

- 4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

x=3

由f（x）ax2-c 可以知道-4≤a-c≤-1

-1≤4a- c≤ 5

將原來的問題進行充分的轉化成約束條件4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

求出f（3）=9a-c的取值范圍

我們可以做出可行域中的陰影部分，如下圖.

由上圖我們可以指導題目的最優解是A（0，1）和C（3，7）.

a=0，c=7這兩個條件代入9a-c得出結論-1≤9a-c≤20 也就是3x+4y.

三、圖解法的應用能夠使抽象的數學問題更加的具體，能夠更加直觀的表達，將復雜的問題轉化為簡易化

例3一個四面體的頂點與各棱中點共有10個點，在其中取四個不共面的點不同的取法

共有( )

A.150種B.147種

C.144種D.141種

如圖,在圖形的10個點中任意選取4個點作為解題使用，但是在結論中顯示要求這4個點不共面，所以在選取的4個點中排除共面的點就可以了.在圖形中可以顯示，四面體一共有四個面，在每個面中都有6個點，所以對共面的計算就可以采用4×C46，在6條棱中存在的6個中點可以組成4個點共面的3種情況.由圖我們可以得知，在每一條棱上都有三個不同的點，這三個不同的點與所在的棱的對棱的中點又共面，所以在這種情況下，6種四個點共面的情形，所以符合題意的解法是C410-4×C46-3-6=141.故本題的答案應該選（D）.

endprint

關于數學的解題方法有很多種，并且每一種的解題方法都有著自身的特點.在種類眾多的解題方法中，圖解法是應用最為廣泛的一種解題方法.按照所限定的條件，采用幾何直觀繪圖手法，借助對圖形有效的分析，將圖形所包含的內容利用文字數學的形式表現出來.圖解法的特點就是結合圖形的直觀形象，引導啟發學生的思路，以便獲取更加準確的答案.圖解法是數形結合在數學解題過程的集中性體現，由“形”中獲取“數”的方法.

一、目標函數和約束條件都是線性的

例1maxz=3x+y

s.t2x+3y≤24,

x-y≤7,

y≤6,x≥0,

y≥0.

在解題之前可以先作出可行域，如下圖陰影部位OABCD可以表示成在平面區域內可以作為可行域存在.直線l：3x+y=0

根據定理2中顯示，從O點到C點是形成的目標函數逐漸增大的發展方向，所在B點可以得出我們所需要的最值解，這時候B點處z=3x+y所得出的值將達到最大化.

解方程組x- y=7，

2x+3y=2≤4 這時候的B點坐標為（9，2）.所以Zmax=3×9+2=29.

所以由例子1我們可以得出利用線性規劃圖解法進行求解問題的步驟

建立一個完整的直角坐標系，根據相關的約束條件作出線性規劃問題中的可行域，在沒有可行域的情況下，問題是沒有解的.

畫出由O到C發展的方向，目標函數值增大的方向就能夠找到目標函數并取得最優解

通過對方程組求解，并將坐標代入取得最優值.

二、目標函數與約束條件的非線性發展

例2在滿足f（x）=ax2-c，-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍.

在解答這道問題時可進行優化問題，max（min）f（x）=ax2-c

- 4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

x=3

由f（x）ax2-c 可以知道-4≤a-c≤-1

-1≤4a- c≤ 5

將原來的問題進行充分的轉化成約束條件4≤a-c≤-1

-1≤4a-c≤5

求出f（3）=9a-c的取值范圍

我們可以做出可行域中的陰影部分，如下圖.

由上圖我們可以指導題目的最優解是A（0，1）和C（3，7）.

a=0，c=7這兩個條件代入9a-c得出結論-1≤9a-c≤20 也就是3x+4y.

三、圖解法的應用能夠使抽象的數學問題更加的具體，能夠更加直觀的表達，將復雜的問題轉化為簡易化

例3一個四面體的頂點與各棱中點共有10個點，在其中取四個不共面的點不同的取法

共有( )

A.150種B.147種

C.144種D.141種

如圖,在圖形的10個點中任意選取4個點作為解題使用，但是在結論中顯示要求這4個點不共面，所以在選取的4個點中排除共面的點就可以了.在圖形中可以顯示，四面體一共有四個面，在每個面中都有6個點，所以對共面的計算就可以采用4×C46，在6條棱中存在的6個中點可以組成4個點共面的3種情況.由圖我們可以得知，在每一條棱上都有三個不同的點，這三個不同的點與所在的棱的對棱的中點又共面，所以在這種情況下，6種四個點共面的情形，所以符合題意的解法是C410-4×C46-3-6=141.故本題的答案應該選（D）.

endprint